Τεταρτοβάθμια με παραγοντοποίηση ΙΙ

#1

Να λυθεί η εξίσωση 36x^4+23x^3+2x^2-4x-1=0

.

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 20-2-13 7:13 μμ: άλλαξα το πολυώνυμο γιατί δεν είχα προσέξει και μου βγήκε πολύ εύκολο!

Γιώργος Μπαλόγλου

Atemlos · #2

Να λυθεί η εξίσωση .

H δοσμένη γράφεται σαν $\displaystyle{36{x^4} + 23{x^3} + 2{x^2} - 4x - 1 = 0 \Rightarrow \left( {4{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - x - 1} \right) = 0}$

Τα υπόλοιπα απλά...

#3

Atemlos έγραψε:
H δοσμένη γράφεται σαν $\displaystyle{36{x^4} + 23{x^3} + 2{x^2} - 4x - 1 = 0 \Rightarrow \left( {4{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - x - 1} \right) = 0}$

Τα υπόλοιπα απλά...

Χμμμ.

Ο έλεγχος oτι η παραπάνω παραγοντοποίηση είναι σωστή, είναι βέβαια απλός.

Πιστεύω, όμως, ότι το νόημα της άσκησης είναι "πώς σκεφτήκαμε". Αλλιώς μπορεί να σπείρουμε την υποψία ότι βάλαμε
το δοθέν πολυώνυμo σε ένα πρόγραμμα συμβολικής Άλγεβρας (Maple, Derive κλπ) και εμείς απολαύσαμε το αποτέλεσμα.

Μ.

S.E.Louridas · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ...Πιστεύω, όμως, ότι το νόημα της άσκησης είναι "πώς σκεφτήκαμε"...
Μ.

Σε τέτοιες περιπτώσεις «επιχειρούμε» (εκτός άλλων σκέψεων που πιθανόν οδηγούν σε τέχνασμα) και στον προσδιορισμό παραμέτρων a,b,c,d

(για το συγκεκριμένο πρόβλημα), ώστε να ισχύει 36x^4+23x^3+2x^2-4x+1=(ax^2+bx+1)(cx^2+dx-1)

με την «ελπίδα» να έχουμε συμβιβαστό σύστημα, ως προς a,b,c,d

από τις εξισώσεις των συντελεστών των ομοβάθμιων όρων που στην περίπτωσή μας μάλιστα εργαζόμαστε στους Ακεραίους.

(*) edit: Προσθήκη του ψηφίου 6, στον μεγιστοβάθμιο όρο.

#5

Με αφορμή αυτά που ο Κ. Σωτήρης γράφει πιο πάνω στέλνω πράγματι τις ίδιες σκέψεις που από χθες βράδυ έγραψα αλλά νόμιζα ότι "δεν άξιζαν μια ρακή" και δεν τις έστειλα.

Έστω η συνάρτηση .
$f(x) = 36{x^4} + 23{x^3} + 2{x^2} - 4x - 1 = 0$ επειδή f(0) = - 1 < 0,f(1) > 0

η εξίσωση

έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα και αφού οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι πραγματικοί αριθμοί αναγκαστικά θα έχει τουλάχιστον άλλη μια πραγματική.
Επειδή ο σταθερός όρος είναι

και το $36 = ( - 4) \cdot ( - 9) = 4 \cdot 9 = 2 \cdot 18$ = $( - 2) \cdot ( - 18)$ = $6 \cdot 6 = ( - 6) \cdot ( - 6) = 1 \cdot 36 = ( - 1) \cdot ( - 36)$ υπάρχουν διάφορα τριώνυμα που ενδέχεται να είναι παράγοντες της f(x)

Ξεκινάμε :
$(4{x^2} + ax + 1)(9{x^2} + bx - 1)$ ή $(4{x^2} + ax - 1)(9{x^2} + bx + 1)$ ή ενδεικτικά :
$(2{x^2} + ax - 1)(18{x^2} + bx + 1)$ κ.λ.π.
Από όλες τις περιπτώσεις μόνο η πρώτη δίδει συμβατό αποτέλεσμα.
Βεβαίως η εξίσωση λύνεται και με την μέθοδο του Ludovico Ferrari .

Φιλικά Νίκος

S.E.Louridas · #6

Πρίν λίγα χρόνια όταν επικεφαλής μας ως πρόεδρος της επιτροπής Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε. ήταν ο Τεράστιος ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Θόδωρος Μπόλης (απλησίαστη Μαθηματική και όχι μόνο Αξία που τουλάχιστον ενέπνεε), ένας συνάδελφος από την επιτροπή κατασκεύαζε ένα θέμα (που τελικά μπήκε στον Αντίστοιχο διαγωνισμό Ευκλείδη ή Αρχιμήδη δεν θυμάμαι ακριβώς και μάλιστα κρίθηκε ως πρωτότυπο καλό θέμα) και μας ρωτούσε κάπως συγκρατημένα για το αν οι σκέψεις που έκανε ήταν σωστές κ.τ.λ.
Και ο Θεόδωρος Μπόλης γελώντας του είπε:
Πέρα από τη τελική σκέψη σου που θες να καταθέσεις άσε ελεύθερη την ευρύτερη σκέψη σου να συνεργαστεί με την καρδιά σου, απελευθερώσου και βγάλε όλες τις επι μέρους σκέψεις σου να τις συζητήσουμε και θα δεις ότι θα βγει, ότι το θετικότερο επιδιώκουμε...

#7

Doloros έγραψε:Με αφορμή αυτά που ο Κ. Σωτήρης γράφει πιο πάνω στέλνω πράγματι τις ίδιες σκέψεις που από χθες βράδυ έγραψα αλλά νόμιζα ότι "δεν άξιζαν μια ρακή" και δεν τις έστειλα.

Έστω η συνάρτηση .
$f(x) = 36{x^4} + 23{x^3} + 2{x^2} - 4x - 1 = 0$ επειδή η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα και αφού οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι πραγματικοί αριθμοί αναγκαστικά θα έχει τουλάχιστον άλλη μια πραγματική.
Επειδή ο σταθερός όρος είναι και το $36 = ( - 4) \cdot ( - 9) = 4 \cdot 9 = 2 \cdot 18$ = $( - 2) \cdot ( - 18)$ = $6 \cdot 6 = ( - 6) \cdot ( - 6) = 1 \cdot 36 = ( - 1) \cdot ( - 36)$ υπάρχουν διάφορα τριώνυμα που ενδέχεται να είναι παράγοντες της
Ξεκινάμε :
$(4{x^2} + ax + 1)(9{x^2} + bx - 1)$ ή $(4{x^2} + ax - 1)(9{x^2} + bx + 1)$ ή ενδεικτικά :
$(2{x^2} + ax - 1)(18{x^2} + bx + 1)$ κ.λ.π.
Από όλες τις περιπτώσεις μόνο η πρώτη δίδει συμβατό αποτέλεσμα.

Υπάρχει πάντως ένας απλός τρόπος επιλογής της μιας και μοναδικής παραγοντοποίησης (από τις δέκα πιθανές) ... που δεν απαιτεί μάλιστα να λύσουμε ούτε καν ένα σύστημα! ΚΑΝΕΝΑ

Γιώργος Μπαλόγλου

#8

Ίσως εννοείτε αλλά δεν είμαι σίγουρος αφού λέτε για μία και μοναδική επιλογή τα παρακάτω :
Επειδή ο τρίτου βαθμού όρος έχει συντελεστή από την μια μεριά την παράσταση 9a + 4b

και από την άλλη το πρώτο αριθμό 23 η Διοφαντική εξίσωση 9a + 4b = 23

δίδει $\boxed{{a_0} = 3\,\,\& \,\,{b_0} = - 1}$ ενώ στις περιπτώσεις που οι συντελεστές των δευτεροβαθμίων όρων είναι άρτιοι και οι δύο είναι αδύνατη, έχουμε λιγότερες δοκιμές
Φιλικά Νίκος

#9

Doloros έγραψε:Ίσως εννοείτε αλλά δεν είμαι σίγουρος αφού λέτε για μία και μοναδική επιλογή τα παρακάτω :
Επειδή ο τρίτου βαθμού όρος έχει συντελεστή από την μια μεριά την παράσταση και από την άλλη το πρώτο αριθμό 23 η Διοφαντική εξίσωση δίδει $\boxed{{a_0} = 3\,\,\& \,\,{b_0} = - 1}$ ενώ στις περιπτώσεις που οι συντελεστές των δευτεροβαθμίων όρων είναι άρτιοι και οι δύο είναι αδύνατη, έχουμε λιγότερες δοκιμές
Φιλικά Νίκος

Νίκο πλησιάζεις, υπάρχει πάντως κάτι ακόμη αποτελεσματικότερο (και απλούστερο, θα έλεγα)!

#10

Από την $36x^4+23x^3+2x^2-4x+1=(px^2+ax\pm1)(qx^2+bx\mp1)$ προκύπτουν άμεσα οι pb+qa=23

και $\mp a \pm b = -4$ , δηλαδή, μέσω της $b=a\mp4,$ η

$(p+q)a=23\pm4p$ .

Επειδή τώρα pq=36

, αρκεί να ελεγχθούν οι διαιρετότητες

$37|23\pm144, 20|23\pm72, 15|23\pm48, 13|23\pm36, 12|23\pm24,$

οπότε εύκολα καταλήγουμε στην 13|23-36

και στις

Γιώργος Μπαλόγλου

Τεταρτοβάθμια με παραγοντοποίηση ΙΙ

Τεταρτοβάθμια με παραγοντοποίηση ΙΙ

Re: Τεταρτοβάθμια με παραγοντοποίηση ΙΙ

Re: Τεταρτοβάθμια με παραγοντοποίηση ΙΙ

Re: Τεταρτοβάθμια με παραγοντοποίηση ΙΙ

Re: Τεταρτοβάθμια με παραγοντοποίηση ΙΙ

Re: Τεταρτοβάθμια με παραγοντοποίηση ΙΙ

Re: Τεταρτοβάθμια με παραγοντοποίηση ΙΙ

Re: Τεταρτοβάθμια με παραγοντοποίηση ΙΙ

Re: Τεταρτοβάθμια με παραγοντοποίηση ΙΙ

Re: Τεταρτοβάθμια με παραγοντοποίηση ΙΙ

Μέλη σε σύνδεση