Τριπλή ισότητα

KARKAR · #1

: Τριπλή ισότητα.png (8.95 KiB) Προβλήθηκε 873 φορές

Σε δεδομένο τρίγωνο $\displaystyle ABC , AB<AC$ , από σημείο

της

φέραμε ευθεία $\varepsilon//BC$ .

Παίρνουμε σημείο

της

και σημείο

της $\varepsilon$ , ώστε να είναι : DE=DC=SB

.

Η

τέμνει την

στο

, η δε παράλληλη από το

προς την

τέμνει την

στο

.

Δείξτε ότι : BP=PQ=QC

#2

KARKAR έγραψε:Σε δεδομένο τρίγωνο $\displaystyle ABC , AB<AC$ , από σημείο της φέραμε ευθεία $\varepsilon//BC$ .
Παίρνουμε σημείο της και σημείο της $\varepsilon$ , ώστε να είναι : .Η τέμνει την στο , η δε παράλληλη από το προς την τέμνει την στο .Δείξτε ότι :

Με $BC\parallel ES \Rightarrow \vartriangle BCP \sim \vartriangle SEP \Rightarrow \dfrac{{BP}}{{PS}} = \dfrac{{PC}}{{PE}} \Rightarrow$ $\dfrac{{BP}}{{BP + PS}} = \dfrac{{PC}}{{PC + PE}} \Rightarrow \boxed{\frac{{BP}}{{SB}} = \dfrac{{PC}}{{CE}}}:\left( 1 \right)$ και με

$PQ\parallel ED \Rightarrow \vartriangle CPQ \sim \vartriangle CED \Rightarrow$ $\dfrac{{PQ}}{{DE}} = \dfrac{{QC}}{{DC}} = \dfrac{{PC}}{{CE}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \dfrac{{PQ}}{{DE}} = \dfrac{{QC}}{{DC}} = \dfrac{{BP}}{{SB}}\mathop \Rightarrow \limits^{DE = DC = SB} \boxed{BP = PQ = QC}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#3

Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει την ευθεία

στο σημείο έστω

Από $BS\parallel = EZ$ και $QP\parallel DE$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{BP}{BS} = \frac{BP}{EZ} = \frac{CP}{CE} = \frac{CQ}{CD} = \frac{QP}{DE}\ \ \ ,(1)$

Από (1)

και

$\Longrightarrow$ BP = CQ = QP

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

KARKAR · #4

Η παραπάνω άσκηση είναι η το αντίστροφο του εξής - πολύ δυσκολότερου - προβλήματος : Να βρεθούν

σημεία P,Q

επί των πλευρών AB,AC

, τριγώνου $\displaystyle ABC$ , ώστε να είναι BP=PQ=QC

.

Ποιά σχέση πρέπει να πληρούν οι πλευρές του τριγώνου , ώστε το πρόβλημα να έχει λύση ;

#5

KARKAR έγραψε:Η παραπάνω άσκηση είναι η το αντίστροφο του εξής - πολύ δυσκολότερου - προβλήματος :
Να βρεθούν σημεία επί των πλευρών , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , ώστε να είναι .

Ποιά σχέση πρέπει να πληρούν οι πλευρές του τριγώνου , ώστε το πρόβλημα να έχει λύση ;

Αυτό το ενδιαφέρον πρόβλημα κατασκευής, έχει συζητηθεί και παλιότερα Εδώ.

Κώστας Βήττας.

Τριπλή ισότητα

Τριπλή ισότητα

Re: Τριπλή ισότητα

Re: Τριπλή ισότητα

Re: Τριπλή ισότητα

Re: Τριπλή ισότητα

Μέλη σε σύνδεση