Κωνική

KARKAR · #1

: Κωνική.png (7.78 KiB) Προβλήθηκε 649 φορές

Η έλλειψη είναι η πλάγια τομή του κώνου , ενώ η βάση είναι φυσικά κύκλος (αγνοήστε την αδεξιότητα του σχήματος ) .

Να διερευνηθεί κάτω από ποιες προϋποθέσεις -κι εφόσον μπορεί να συμβεί - κύκλος και έλλειψη έχουν το ίδιο εμβαδόν .

#2

Διαγράφεται.

#3

Υπάρχει σημαντικό λάθος στα παραπάνω, που όμως πιστεύω ότι θα διορθώσω ως το απόγευμα (με πιθανή κατάργηση αυτού του μηνύματος).

[Το υποπτεύθηκα από χθες βράδυ ... όταν έθεσα x=0

(μετά την αρχική ανάρτηση και αμέσως πριν τον ύπνο)

]

Γιώργος Μπαλόγλου

KARKAR · #4

: Κωνική - συμβολή.png (6.43 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές

Συμβολή στη συζήτηση : Επειδή $E_{\kappa }=\pi R^2$ και $E_{\varepsilon }=\pi ab$ , αρκεί να είναι $BC^2=BS\cdot PQ$

Το παραπάνω δεν είναι σωστό , το

είναι μεγαλύτερο από τον μικρό άξονα της έλλειψης

#5

gbaloglou έγραψε:Υπάρχει σημαντικό λάθος στα παραπάνω, που όμως πιστεύω ότι θα διορθώσω ως το απόγευμα (με πιθανή κατάργηση αυτού του μηνύματος).

Ξέρω που είναι το λάθος αλλά δεν έχω χρόνο, οπότε διαγράφω την αρχική ανάρτηση -- αν τα καταφέρω, καθώς φαίνεται να υπάρχει κάποιο πρόβλημα.

Γιώργος Μπαλόγλου

#6

Δίνω κάποια αποτελέσματα (με σχετική επιφύλαξη ... παρά τις σχετικές επαληθεύσεις (για x=R

ΚΑΙ

)):

Αν τα δύο άκρα του μεγάλου άξονα της ελλειπτικής τομής είναι τα (-R, 0, 0)

και

, όπου

, τότε εύκολα έχουμε $z=\displaystyle\frac{h(R-x)}{R}$ και μήκος μεγάλου άξονα = $\displaystyle\frac{\sqrt{R^2(R+x)^2+h^2(R-x)^2}}{R}$ . Όχι και τόσο εύκολα, το μήκος του μικρού άξονα της ελλειπτικής τομής προκύπτει ίσο με $2\sqrt{Rx}$ . [Η απλότητα του αποτελέσματος με κάνει να πιστεύω ότι μου διέφυγε κάποιο απλό τέχνασμα, λόγω και του προχωρημένου της ώρας ίσως: θα επανέλθω με τις οδυνηρές λεπτομέρειες αν δεν επέμβει κανείς άλλος και αν δεν βρω κάτι άλλο αύριο ή μεθαύριο...]

Συμπεραίνουμε ότι για να ισχύει η ζητούμενη ισότητα εμβαδών (ελλειπτικής τομής και κυκλικής βάσης) πρέπει και αρκεί να ισχύει η

x(R^2(R+x)^2+h^2(R-x)^2)=4R^5

ή, μετά την παραγοντοποίηση,

(x-R)((R^2+h^2)x^2+R(3R^2-h^2)x+4R^4)=0.

Ύστερα από την σχετική διερεύνηση της προκύψασας δευτεροβαθμίου συμπεραίνω ότι υπάρχουν δύο αποδεκτές λύσεις (στο (0, R)

) αν και μόνον αν η διακρίνουσα είναι μη αρνητική, δηλαδή αν και μόνον αν $h\geq \sqrt{11+8\sqrt{2}}R.$ Οι λύσεις αυτές είναι οι

$x=\displaystyle\frac{R(h^2-3R^2)\pm R\sqrt{h^4-22R^2h^2-7R^4}}{2(h^2+R^2)}.$

Αν πληρούται η παραπάνω συνθήκη μπορεί να δειχθεί ότι το μέγιστο εμβαδόν της ελλειπτικής τομής επιτυγχάνεται για

$x=\displaystyle\frac{R(h^2-R^2)-R\sqrt{h^4-14R^2h^2+R^4}}{3(h^2+R^2)}$ .

Απλό παράδειγμα: σε κώνο ύψους h=20

και ακτίνας R=4

οι λύσεις είναι $χ\approx 1,058$ και $x\approx 2,3266$ (που αντιστοιχούν σε τέμνοντα επίπεδα κλίσεων $\approx 36,02^0$ και $\approx 18,3^0$ ), ενώ το μέγιστο εμβαδόν επιτυγχάνεται για $x\approx 1,6096$ (τέμνον επίπεδο κλίσης $\approx 28.04^0$ ) και ισούται προς $\approx 16,75\pi$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

#7

gbaloglou έγραψε:Δίνω κάποια αποτελέσματα (με σχετική επιφύλαξη ... παρά τις σχετικές επαληθεύσεις (για ΚΑΙ )):

Αν τα δύο άκρα του μεγάλου άξονα της ελλειπτικής τομής είναι τα και , όπου , τότε εύκολα έχουμε $z=\displaystyle\frac{h(R-x)}{R}$ και μήκος μεγάλου άξονα = $\displaystyle\frac{\sqrt{R^2(R+x)^2+h^2(R-x)^2}}{R}$ . Όχι και τόσο εύκολα, το μήκος του μικρού άξονα της ελλειπτικής τομής προκύπτει ίσο με $2\sqrt{Rx}$ . [Η απλότητα του αποτελέσματος με κάνει να πιστεύω ότι μου διέφυγε κάποιο απλό τέχνασμα, λόγω και του προχωρημένου της ώρας ίσως: θα επανέλθω με τις οδυνηρές λεπτομέρειες αν δεν επέμβει κανείς άλλος και αν δεν βρω κάτι άλλο αύριο ή μεθαύριο...]

Δίνω μια απόδειξη βασισμένη κυρίως σε ομοιότητες ορθογωνίων τριγώνων στο συνημμένο σχήμα (και υπο-σχήματα), δεν είναι τελικά και τόσο οδυνηρές οι λεπτομέρειες:

Από την $\displaystyle\frac{z}{h}=\frac{R-x}{R}$ υπολογίζεται το $z=\displaystyle\frac{h(R-x)}{R}$ (που χρησιμοποιήθηκε και στον υπολογισμό του μήκους του μεγάλου άξονα).

Από τις $u=\displaystyle\frac{R-x}{2}$ και $\displaystyle\frac{s}{u}=\frac{\frac{z}{2}}{h-\frac{z}{2}}=...=\frac{R-x}{R+x}$ προκύπτει η $s+u=\displaystyle\frac{R(R-x)}{R+x}$ .

Άμεσα προκύπτει τώρα η $t=\sqrt{R^2-(s+u)^2}=\displaystyle\frac{2R\sqrt{Rx}}{R+x}$ .

Από την $\displaystyle\frac{w}{v}=\frac{s}{u}=\frac{R-x}{R+x}$ προκύπτει η $w=\displaystyle\frac{(R-x)v}{R+x}$ .

Τέλος, αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές των

,

στην $\displaystyle\frac{b}{t}=\frac{v}{v+w}$ προκύπτει το ζητούμενο $b=\sqrt{Rx}$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

#8

gbaloglou έγραψε:Συμπεραίνουμε ότι για να ισχύει η ζητούμενη ισότητα εμβαδών (ελλειπτικής τομής και κυκλικής βάσης) πρέπει και αρκεί να ισχύει η

ή, μετά την παραγοντοποίηση,

Ύστερα από την σχετική διερεύνηση της προκύψασας δευτεροβαθμίου συμπεραίνω ότι υπάρχουν δύο αποδεκτές λύσεις (στο ) αν και μόνον αν η διακρίνουσα είναι μη αρνητική, δηλαδή αν και μόνον αν $h\geq \sqrt{11+8\sqrt{2}}R.$ Οι λύσεις αυτές είναι οι

$x=\displaystyle\frac{R(h^2-3R^2)\pm R\sqrt{h^4-22R^2h^2-7R^4}}{2(h^2+R^2)}.$

Οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης εμβαδού (για σταθερή ακτίνα βάσης

καθώς ο κώνος ψηλώνει και το ύψος

τείνει στο $+\infty$ ) μας αφήνουν με την εντύπωση ότι υπάρχει μόνον μία τομή του γραφήματος με την $y=\pi R^2$ (και ότι μόνον μία από τις παραπάνω δύο λύσεις είναι αποδεκτή): λάθος, όπως δείχνει ο παραπάνω τύπος το όριο της μεγαλύτερης λύσης καθώς το

τείνει στο $+\infty$ είναι

, άρα απλώς απαιτείται μια 'μεγέθυνση' του γραφήματος κοντά στο R=4

! [πρώτο συνημμένο]

Αν πληρούται η παραπάνω συνθήκη μπορεί να δειχθεί ότι το μέγιστο εμβαδόν της ελλειπτικής τομής επιτυγχάνεται για

$x=\displaystyle\frac{R(h^2-R^2)-R\sqrt{h^4-14R^2h^2+R^4}}{3(h^2+R^2)}$ .

Εδώ πράγματι το γράφημα αποκαλύπτει ένα λαθάκι: αν μείνει ο τύπος όπως είναι ... τότε, για

ίσο πχ προς

, το όριο του

καθώς το

τείνει στο $+\infty$ είναι

, ενώ τα αντίστοιχα γραφήματα δίνουν $\approx 1,3$ ! [δεύτερο συνημμένο]

O σωστός τύπος -- από μηδενισμό παραγώγου και δευτεροβάθμια -- είναι

$x=\displaystyle\frac{2R(h^2-R^2)-R\sqrt{h^4-14R^2h^2+R^4}}{3(h^2+R^2)},$

οπότε το όριο του

καθώς το

τείνει στο $+\infty$ είναι $\displaystyle\frac{R}{3}$ (και βέβαια 1,333...

στην περίπτωση R=4

).

Απλό παράδειγμα: σε κώνο ύψους και ακτίνας οι λύσεις είναι $χ\approx 1,058$ και $x\approx 2,3266$ (που αντιστοιχούν σε τέμνοντα επίπεδα κλίσεων $\approx 36,02^0$ και $\approx 18,3^0$ ), ενώ το μέγιστο εμβαδόν επιτυγχάνεται για $x\approx 1,6096$ (τέμνον επίπεδο κλίσης $\approx 28.04^0$ ) και ισούται προς $\approx 16,75\pi$ .

Παγωτό χωνάκι -- άνοιξη είναι, δοκιμάστε το

Γιώργος Μπαλόγλου

#9

Ας δώσουμε και το εμβαδόν της ελλειπτικής τομής ως συνάρτησης της γωνίας κλίσης τομής $\gamma$ :

Από τις $\epsilon \phi \gamma =\displaystyle\frac{z}{R+x}$ και $z=\displaystyle\frac{h(R-x)}{R(R+x)}$ προκύπτει η $x=\displaystyle\frac{R(h-R\epsilon \phi \gamma )}{h+R\epsilon \phi \gamma }$ , οπότε με αντικατάσταση στους τύπους ημιαξόνων και ελλειπτικού εμβαδού (βλέπε προηγούμενες αναρτήσεις) προκύπτει ο τύπος

$E(\gamma )=\displaystyle\frac{\pi hR\sqrt{(R^2+\epsilon \phi ^2\gamma)(h-R\epsilon \phi \gamma )}}{(h+R\epsilon \phi \gamma )^{\frac{3}{2}}}}$ , όπου $0<\gamma <\tau o\xi \epsilon \phi (h/R)$

[Στις οριακές τιμές $\gamma =0$ και $\gamma =\tau o\xi \epsilon \phi (h/R)$ ο παραπάνω τύπος δίνει $\pi R^2$ και

, ως όφειλε.]

Γιώργος Μπαλόγλου

Κωνική

Κωνική

Re: Κωνική

Re: Κωνική

Re: Κωνική

Re: Κωνική

Re: Κωνική

Re: Κωνική

Re: Κωνική

Re: Κωνική

Μέλη σε σύνδεση