Συνάρτηση κοίλη

Ανδρέας Πούλος · #1

Χθές το Σάββατο στο "Καλαμαρί" στη Θεσσαλονίκη σε μία ενδιαφέρουσα ημερίδα για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις
ανάμεσα στα άλλα εμφανίστηκε η συνάρτηση $f(x)= \frac{lnx - x}{e^{x}}$

για την οποία τονίστηκε η απόδειξη ότι είναι κοίλη έχει αρκετές δυσκολίες.
Το βράδυ στην ταβέρνα ο Νίκος Ζανταρίδης έδωσε μία απόδειξη, η οποία πράγματι σε ένα σημείο της είχε ένα τέχνασμα.
Ζητείται μία απόδειξη ότι η δεδομένη συνάρτηση είναι κοίλη.
Ας ασχοληθούν με αυτήν πρώτα οι υποψήφιοι μαθητές για τις εξετάσεις και μετά οι υπόλοιποι.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

dennys · #2

Eπειδή είδα την λύση του Νίκου θια ήθελα να πώ τι σκέφτηκα εγώ για την συνάρτηση

θεωρητικά χωρίς υπολογισμούς πλήν ...

Να πώ οτι η συνάρτηση $f(x)=e^{-x}(lnx-x)<0$ αφού $lnx\le x-1<,x>0\Rightarrow lnx-x<0$

και η παράγωγος της f{'}>0,x>0

Eπειδή η συνάρτηση $f <0, f\nearrow$ και έχει ασύμπτωτες τους άξονες $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=0$

αρα και $\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ πρέπει

κοίλη......Εδώ θέλει λίγο ξεδιάλυμα

Eίναι επίσης πολύ ωραία τα όρια για τις ασύμπτωτες.

mathxl · #3

Πότε συζητήθηκε αυτό και το έχασα;;
Μια λύση είναι η εξής
Έστω $g\left( x \right) = {e^x}f\left( x \right) = \ln x - x,x > 0$ .
Είναι
$g'\left( x \right) = {e^x}\left( {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right) = \frac{1}{x} - 1$ οπότε
$g''\left( x \right) = {e^x}\left( {f''\left( x \right) + f\left( x \right) + 2f'\left( x \right)} \right) = - \frac{1}{{{x^2}}} <0\Rightarrow$
$f''\left( x \right) < - 2f'\left( x \right) - f\left( x \right) = \left( {\ln x - x + 2 - \frac{2}{x}} \right){e^{ - x}}$

και επειδή η ${\ln x - x + 2 - \frac{2}{x}}$ έχει μέγιστο στο

με τιμή $\ln 2 - 1 < 0$ έπεται ότι για κάθε x > 0

ισχύει:
$f''\left( x \right) < \left( {\ln x - x + 2 - \frac{2}{x}} \right){e^{ - x}} \le \left( {\ln 2 - 1} \right){e^{ - x}} < 0$ και έτσι λαμβάνουμε το ζητούμενο.

dennys · #4

Μακρυά από τον Ζαντακ ,χάνεις τα κλειδιά φίλε Βασίλη , αλλά γεωμετρίστηκες με τον

κ. Κώστα.

Αστειεύομαι

nikoszan · #5

dennys ο ΚΛΕΙΔΑΡΑΣ!!!!
Ν.Ζ.

dennys · #6

Αφήνοντας την πιο πάνω θεωρητικη άποψη έκανα τα εξής

$f(x)=e^{-x}(lnx-x)=-e^{-x}(x-lnx)=-g(x)$

Είναι $g{'}{'}(x)=\cfrac{e^{-x}(1+2x-2x^{2}+x^{3}-x^{2}lnx}{x^2})>0$

γιατί $1+2x-2x^{2}+x^{3}-x^{2}lnx \ge 1+2x-2x^{2}+x^{3}-x^{2}(\cfrac{x}{2})=k(x)$

γιατί ισχύει $lnx\le (1/e)x\le (1/2)x$ !!!!!!!!!(βλέπε εφαπτομένη στο e) και k(x)>0

(απλό)

αρα g{'}{'}>0

αρα είναι κυρτή και η -g(x)=f(x)

κοίλη.

Ανδρέας Πούλος · #7

Βασίλη, μιλούσατε συνεχώς με τον Δόρτσιο και τον Καπελίδη.
Αυτά παθαίνουν οι μαθητές των τελευταίων θρανίων και μετά θέλουν να περάσουν και την τάξη.
Τον Σεπτέμβριο κύριε και λίγο σού είναι.
Dennys, είπαμε να είσαι καλός μαθητής, αλλά όχι και σπασίκλας. Θα δημιουργήσει αντιπάθειες.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

mathxl · #8

Έντονες οι προσωπικότητες στο τραπέζι...που να πρωτοσυγκεντρωθείς...άμα έχεις απέναντι σου τον Αινστάιν (τουλάχιστον φυσιογνωμικά) και δίπλα σου τον κύριο Δόρτσιο..η κεραία χάνει τα υπόλοιπα σήματα. Μόνο εσύ Ανδρέα άκουγες ντόλμπι σαράουντ (ίσως εξαιτίας της γεωπολιτικής σου θέσης στο τραπέζι

). Όμορφα ήταν εχθές το βράδυ.

#9

Από τι φαίνεται περάσατε καλά, και έχασα πολλά !!!!.

dennys · #10

Πράγματικά φανταστική η χθεσινή βραδυά με τα νηστήσιμα μπιφτεκολουκάνικα και

την ωραία αύρα υπέροχων ανθρώπων , αυτής της ωραίας απασχόλησης των μαθηματικών,

θα ήθελα όλους να σας ευχαριστήσω για την θαυμάσια παρέα που κάναμε. Θα μου μείνει αξέχαστη

και ενα λάθος απο τον Βασίλη που δεν είχε φωτογραφική . Αυτα αποθανατίζονται.

Διονύσης (dennys)

Ανδρέας Πούλος · #11

Μελετάμε την κυρτότητα της συνάρτησης $f(x)=e^{-x}lnx - xe^{-x}$ .
Αυτή έχει ως πρώτη παράγωγο την $f'(x)=e^{-x}(-lnx + \frac{1}{x}+x -1)$ .
Αν η πρώτη παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα, τότε η αρχική συνάρτηση θα είναι κοίλη.
Παρατηρούμε ότι ο παράγοντας $e^{-x}$ είναι συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού που μας ενδιαφέρει.
Αν το ίδιο συμβαίνει και με τον δεύτερο παράγοντα και αποδείξουμε είναι και αυτή συνάρτηση που παίρνει μόνο θετικές τιμές στο πεδίο ορισμού της,
τότε από γνωστό θεώρημα (άσκηση του σχολικού βιβλίου) και η παράγωγος συνάρτηση θα είναι γνησίως φθίνουσα.
Ο δεύτερος παράγοντας παίρνει θετικές τιμές είναι απλό. Ο ισχυρισμός μας βασίζεται στην γνωστή εφαρμογή του σχολικού βιβλίου lnx ≤ x-1

.
Από τον δεύτερο παράγοντα η -lnx

είναι συνάρτηση γνησίως φθίνουσα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x) = \frac{1}{x}+x - 1$ και μελετάμε τη μονοτονία της. Η παράγωγος της γράφεται $g'(x) = \frac{(1-x)(1+x)}{x^{2}}$ .
Για x > 1

η παράγωγος είναι αρνητική άρα η συνάρτηση

είναι γνησίως φθίνουσα. Μένει να εξετάσουμε το διάστημα (0, 1)

ώστε να αποδείξουμε πλήρως ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη.
Τώρα, εξετάζουμε το δεύτερη πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της

στο διάστημα (0, 1)

.
Επειδή ισχύει $f''(x)=e^{-x}[lnx - \frac{1}{}x-x + 1 -\frac{1}x{}- \frac{1}{x^{2}}+1]$ , η συνάρτηση αυτή παίρνει αρνητικές τιμές (εύκολο να αποδειχθεί) στο διάστημα (0, 1)

.
Το δεδομένο αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Άρα, ισχύει ο αρχικός ισχυρισμός μας.

Τελικά, τα νηστίσιμα μπιφτέκια δίνουν ιδέες!

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#12

H άσκηση είναι από την ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα και ελπιδοφόρα παρουσίαση του Δημήτρη Μπαρούτη και, αν κατάλαβα και αποδίδω σωστά το πνεύμα του, αποτελεί και ένα προτεινόμενο παράδειγμα λιγότερο 'υπαρξιακού' τέταρτου θέματος. Δίνω και εγώ μια λύση (με διπλή χρήση της $lnx\leq x-1$ ).

Όπως ήδη παρατηρήθηκε, αρκεί να δειχθεί η 1+2x-2x^2+x^3-x^2lnx>0.

Για $0<x\leq 1$ η ανισότητα είναι προφανής. Για $1<x\leq 2$ επίσης ισχύει λόγω της

$1+2x-2x^2+x^3-x^2lnx\geq 1+2x-2x^2+x^3+x^2(1-x)=1+x(2-x)>0$ .

Θέτοντας g(x)=1+2x-2x^2+x^3-x^2lnx

παρατηρούμε ότι g(2)>0

(μόλις αποδείχτηκε) και ότι για x>2

$g'(x)=2-5x+3x^2-2xlnx\geq 2-5x+3x^2+2x(1-x)=(x-1)(x-2)>0,$

άρα η ζητούμενη ανισότητα ισχύει και για x>2

.

Γιώργος Μπαλόγλου

#13

Καλησπέρα!
Εύχομαι πάντα να περνάτε καλά και να μαζεύεστε παρεϊτσα για να τα λέτε όμορφα κι ωραία!
Επιτρέψτε μου όμως να στηλιτεύσω το εξής:

Ας ασχοληθούν με αυτήν πρώτα οι υποψήφιοι μαθητές για τις εξετάσεις και μετά οι υπόλοιποι.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Εγώ πειθάρχησα και δεν απάντησα. Κοιτάζοντας όμως όλες τις απαντήσεις παρατήρησα πως όλοι ανεξαιρέτως είναι συνάδελφοι!
Πόσο καλύτερο θα ήταν να μπαίνουν τα θέματα που προορίζονται για μαθητές στον ειδικό φάκελο.
Πιστεύω πως από τη στιγμή που μπαίνουν σε οποιοδήποτε άλλο φάκελο θα πρέπει να είναι ανοικτά σε όλους
χωρίς να αποθαρρύνεται κανένας.
Το έχω ξαναπεί και θα το λέω συνεχώς γιατί έτσι είναι το δίκαιο.

Να συνεχίσετε να περνάτε καλά. Θα χαιρόμαστε κι εμείς μαζί σας!
Καλό απόγευμα.

Ανδρέας Πούλος · #14

Χρήστο,
έχεις απόλυτο δίκαιο.
Έχουμε όμως όλοι οι εμπλεκόμενοι, ένα δικαιολογητικό.
Ήταν θέμα μιας κουβέντας, που την κάναμε τρώγοντας μεζεδάκια και πίνοντας οίνον.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

hsiodos · #15

Καλή Ανάσταση σε όλους

"Σερφάροντας" έπεσα πάνω στην ενδιαφέρουσα αυτή συζήτηση .Η άλγεβρα πάντα βοηθά!

Για κάθε $\displaystyle{x > 0\,}$ έχουμε: $\displaystyle{ \ln \left( {\frac{x}{2}} \right) \le \frac{x}{2} - 1 \Rightarrow \ln \left( {\frac{x}{2}} \right) + \ln 2 \le \frac{x}{2} - 1 + \ln 2 < \frac{x}{2} \Rightarrow \ln x < \frac{x}{2}}$

Τώρα για κάθε $\displaystyle{x > 0\,}$ βρίσκουμε: $\displaystyle{ e^x f{''} (x) = \,\, - \frac{1}{{x^2 }} - \frac{2}{x} + \ln x - x + 2\, \Rightarrow e^x f{''} (x) = \,\, - \frac{1}{{x^2 }} - \left[ {\left( {\frac{2}{x} + \frac{x}{2}} \right) - 2} \right] + \left( {\ln x - \frac{x}{2}} \right) < 0}$

και έτσι $\displaystyle{f{''} (x) < 0}$

Γιώργος

Συνάρτηση κοίλη

Συνάρτηση κοίλη

Re: Συνάρτηση κοίλη

Re: Συνάρτηση κοίλη

Re: Συνάρτηση κοίλη

Re: Συνάρτηση κοίλη

Re: Συνάρτηση κοίλη

Re: Συνάρτηση κοίλη

Re: Συνάρτηση κοίλη

Re: Συνάρτηση κοίλη

Re: Συνάρτηση κοίλη

Re: Συνάρτηση κοίλη

Re: Συνάρτηση κοίλη

Re: Συνάρτηση κοίλη

Re: Συνάρτηση κοίλη

Re: Συνάρτηση κοίλη

Μέλη σε σύνδεση