Επαναληπτική

pana1333 · #1

Καλημέρα. Μια δική μου....πιστεύω απλή αλλά διδακτική για επανάληψη.....

Δίνονται οι μιγαδικοί z,w

με $\left| z^{2}+w^{2}\right|=1$ .

Α) Να δείξετε ότι $\left|\frac{z}{i} -w\right|=\frac{1}{\left|z+iw \right|}$

Β) Αν επιπλέον $\left|\frac{z}{i} -w\right|=\left| w-zi\right|$ να δείξετε ότι

i) $z+iw=\frac{1}{\bar{z}-i\bar{w}}$

ii) Να δείξετε ότι $\left|-\bar{z} \right|+\left|w \right|\geq 1$

iii) Να δείξετε ότι $Im\left(z\bar{w} \right)\left\leq \left|z\bar{w} \right|$

pito · #2

Καλημέρα Χρήστο, δίνω μια λύση:

α) Είναι $\displaystyle |z^{2}+w^{2}|=|(z-iw)(z+iw)|=1\Leftrightarrow |z-iw||z+iw|=1\Leftrightarrow |i||\frac{z}{i}-w||z+iw|=1 (1)$ , όμως και $\displaystyle |z+wi|\neq 0$ γιατί αν
|z+wi|=0

, τότε και 0=1

, άτοπο. Έτσι (1): $\displaystyle |\frac{z}{i}-w|=\frac{1}{|z+iw|}$ (2)

β) Λόγω της (2) και της δοσμένης είναι $\displaystyle |z-iw|=|w-zi|\Leftrightarrow (z-iw)(\bar{z}+i\bar{w})=(w-zi)(\bar{w}+i\bar{z})\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow z\bar{w}=w\bar{z} (3)$

Ακόμη $\displaystyle |z^{2}+w^{2}|=1\Leftrightarrow (z^{2}+w^{2})(\bar{z}^{2}+\bar{w}^{2})=1\Leftrightarrow |z|^{4}+(z\bar{w}-w\bar{z})^{2}+2|z|^{2}|w|^{2}+|w|^{4}=1\Leftrightarrow (|z|^{2}+|w|^{2})^{2}=1\Leftrightarrow |z|^{2}+|w|^{2}=1 (4)$ (λόγω και της (3)).

Έτσι και $\displaystyle |z+iw|^{2}=(z+iw)(\bar{z}-i\bar{w})=|z|^{2}+i(w\bar{z}-z\bar{w})+|w|^{2}=1 \Leftrightarrow$ , συνεπώς και $\displaystyle z+iw=\frac{1}{\bar{z}-i\bar{w}}$

γ) Είναι $\displaystyle |-\bar{z}|+\+|w|=|z|+|iw|\geq |z+iw|\Leftrightarrow |-\bar{z}|+|w|\geq 1$

δ) Από τη βασική ανισότητα $\displaystyle Im(z)\leq |Im(z)|\leq |z|$ ( με απόδειξη: αν $\displaystyle z=x+yi$ με $x,y\in R$ είναι $y\leq |y|$ που ισχύει και
$|y|\leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\Leftrightarrow y^{2}\leq x^{2}+y^{2}\Leftrightarrow x^{2}\geq 0$ , που ισχύει ) προκύπτει και το ζητούμενο.

pana1333 · #3

Μυρτώ ευχαριστώ για την λύση σου. Δίνω τα β) (βi) και δ) (βiii) λίγο διαφορετικά

β) Είναι $\frac{1}{\left|z+wi \right|}=\left|w-iz \right|\Leftrightarrow \left|w-iz \right|\left|z+wi \right|=1\Leftrightarrow \left|\bar{w} \right+i\bar{z}|\left|z+wi \right|=1\Leftrightarrow$ \displaystyle{\left|i \right|\left|\bar{z}-\bar{wi} \right|\left|z+wi \right|=1} $\Leftrightarrow \left|\left|z+wi \right|^{2} \right|=1$ , άρα $\left|z+wi \right|^{2}=1\Leftrightarrow z+wi=\frac{1}{\bar{z}-\bar{w}i}$ .

δ) Είναι $\left( z+iw\right)\left(\bar{z}-i\bar{w} \right)=1\Leftrightarrow \left|z \right|^{2}+\left(z\bar{w}+w\bar{z} \right)i+\left|w \right|^{2}=1\Leftrightarrow$ \displaystyle{\left|z \right|^{2}+2Im\left(z\bar{w} \right)+\left|w \right|^{2}=1} $\Leftrightarrow 2Im\left(z\bar{w} \right)=1-\left|z \right|^{2}-\left|w \right|^{2}$

Επίσης υψώνουμε στο τετράγωνο την (βii) και έχουμε $\left( \left|z \right|+\left|w \right|\right)^{2}\geq 1\Leftrightarrow \left|z \right|^{2}+2\left|z \right|\left|w \right|+\left|w \right|^{2}\geq 1$ \displaystyle{\Leftrightarrow 2\left|z \right|\left|\bar{w} \right|\geq 1-\left|z \right|^{2}-\left|w \right|^{2}\Leftrightarrow 2\left|z\bar{w} \right|\geq 2Im\left(z\bar{w} \right)} $\Leftrightarrow Im\left(z\bar{w} \right)\leq \left|z\bar{w} \right|$

Επαναληπτική

Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Μέλη σε σύνδεση