Eύρεση συνάρτησης.

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Eύρεση συνάρτησης.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Σάβ Οκτ 10, 2009 5:50 pm

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f(x), με πεδίο ορισμού το R οι οποίες επαληθεύουν την συναρτησιακή σχέση \mathbf{f(x\cdot y)=x\cdot f(y)+y\cdot f(x)}.


Σεραφείμ Τσιπέλης
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4117
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:
Επικοινωνία cretanman

Re: Eύρεση συνάρτησης.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Οκτ 10, 2009 6:07 pm

Για x=y=1 παίρνουμε f(1)=1.

Παραγωγίζοντας τη δοσμένη ως προς y παίρνουμε xf'(x)=xf'(1)+f(x).

Για x\neq 0 παίρνουμε:

\displaystyle\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\displaystyle\frac{f'(1)}{x} άρα

\left(\displaystyle\frac{f(x)}{x}\right)'=\left(f'(1)ln|x|\right)'

άρα αν x>0 παίρνουμε \displaystyle\frac{f(x)}{x}=f'(1)lnx + c_1 ενώ αν x<0 παίρνουμε \displaystyle\frac{f(x)}{x}=f'(1)ln(-x) + c_2.

Επειδή η συνάρτηση ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής άρα πρέπει

f(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x) άρα f(0)=c_1=c_2. Λόγω της f(1)=1 παίρνουμε c_1=c_2=0 και f(0)=0.

Οπότε f(x)=f'(1)xln|x| για κάθε x\in\mathbb{R}^{\star} και f(0)=0 η οποία επαληθεύει την αρχική για οποιαδήποτε τιμή του f^{\prime}(1).

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Κορυφή
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 417
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Eύρεση συνάρτησης.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Σάβ Οκτ 10, 2009 6:22 pm

Ωραια και απλη λυση ;)
καπως οχι σχολικα χρησιμοποιωντας μονο την συνεχεια :D μπορουμε να δουμε οτι....
f(0)=0
για x,y>0 θετουμε g(u)=\frac{f(e^u)}{e^u}
Ισχυει ομως τοτε,
g(x+y)=g(x)+g(y),για καθε x,y στο R.
Aρα, g(x)=cx ή f(x)=cxlnx
ομοια για τα αρνητικα


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Μάκης Χατζόπουλος

Re: Eύρεση συνάρτησης.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Οκτ 10, 2009 7:28 pm

Μου θύμισε μια άσκηση που λέει:
Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f(x), με πεδίο ορισμού το R οι οποίες επαληθεύουν την συναρτησιακή σχέση
f (x + y − xy) + xf (y) + yf (x) = f (x) + f (y)

Μην προσπαθήσετε να την λύσετε γιατί δεν θυμάμαι ακριβώς την λύση και την εκφώνηση!!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3689
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Eύρεση συνάρτησης.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Κυρ Οκτ 11, 2009 1:03 pm

cretanman έγραψε:Για x=y=1 παίρνουμε f(1)=1.
Παραγωγίζοντας τη δοσμένη ως προς y παίρνουμε xf'(x)=xf'(1)+f(x).
Για x\neq 0 παίρνουμε:
\displaystyle\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\displaystyle\frac{f'(1)}{x} άρα
\left(\displaystyle\frac{f(x)}{x}\right)'=\left(f'(1)ln|x|\right)'
άρα αν x>0 παίρνουμε \displaystyle\frac{f(x)}{x}=f'(1)lnx + c_1 ενώ αν x<0 παίρνουμε \displaystyle\frac{f(x)}{x}=f'(1)ln(-x) + c_2.

Επειδή η συνάρτηση ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής άρα πρέπει
f(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x) άρα f(0)=c_1=c_2. Λόγω της f(1)=1 παίρνουμε c_1=c_2=0 και f(0)=0.

Οπότε f(x)=f'(1)xln|x| για κάθε x\in\mathbb{R}^{\star} και f(0)=0 η οποία επαληθεύει την αρχική για οποιαδήποτε τιμή του f^{\prime}(1).
Αλέξανδρος
Αλέξανδρε καλημέρα
διαφωνώ λίγο σε κάποια σημεία της απάντησης
ας δούμε
\boxed{f(xy)=xf(y)+yf(x),\,\,x,y\in\mathbb{R}},παραγωγίσιμη

βρίσκω f(1)=0,f(0)=0

παραγωγίζοντας τη δοσμένη ως προς ψ παίρνουμε xf ' (xy)=xf '(y)+f(x)

αυτή με y=1 δίνει x f '(x)=xf '(1)+f(x) συμφωνούμε

για x\neq 0...καταλήγουμε f(x)=xf '(1)ln|x|+cx

Επειδή η συνάρτηση ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής άρα πρέπει

f(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x),ισχύει,δεν καταλαβαίνω πως βγάζεις τη σχέση για τα c_{1},c_{2}

για x=1 παίρνουμε c=0 άρα f(x)=xf '(1)ln|x|

ενώ f(x)=0 για x=0
η οποία επαληθεύει την αρχική


Φωτεινή Καλδή
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4117
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:
Επικοινωνία cretanman

Re: Eύρεση συνάρτησης.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Κυρ Οκτ 11, 2009 1:45 pm

Φωτεινή έγραψε: Αλέξανδρε καλημέρα
διαφωνώ λίγο σε κάποια σημεία της απάντησης
ας δούμε
\boxed{f(xy)=xf(y)+yf(x),\,\,x,y\in\mathbb{R}},παραγωγίσιμη

βρίσκω f(1)=0,f(0)=0

παραγωγίζοντας τη δοσμένη ως προς ψ παίρνουμε xf ' (xy)=xf '(y)+f(x)

αυτή με y=1 δίνει x f '(x)=xf '(1)+f(x) συμφωνούμε

για x\neq 0...καταλήγουμε f(x)=xf '(1)ln|x|+cx

Επειδή η συνάρτηση ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής άρα πρέπει

f(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x),ισχύει,δεν καταλαβαίνω πως βγάζεις τη σχέση για τα c_{1},c_{2}

για x=1 παίρνουμε c=0 άρα f(x)=xf '(1)ln|x|

ενώ f(x)=0 για x=0
Φωτεινή έχεις δίκιο! Έκανα 2 λάθη κατά τη διάρκεια της λύσης μου από βιασύνη και ζητώ συγγνώμη!

Το πρώτο είναι ότι αν θέσουμε στην αρχική x=y=1 παίρνουμε f(1)=0 και όχι f(1)=1 που έγραψα.

Το δεύτερο είναι ότι μετα τη σχέση \displaystyle\frac{f(x)}{x}=f'(1)lnx + c_1 για x>0 και παίρνουμε \displaystyle\frac{f(x)}{x}=f'(1)ln(-x) + c_2 για x<0, ξέχασα να πολλαπλασιάσω τις σταθερές επί x κι έτσι "πήρα" f(x)=f'(1)xlnx +c_1 για x>0 και f(x) =f'(1)xln(-x)+c_2 για x<0. Oδηγήθηκα λοιπόν σε λάθος συμπέρασμα που όμως επαλήθευε την αρχική κι έτσι "είμουν σίγουρος" ότι όλα είναι ΟΚ.

Διορθώνω λοιπόν την παραπάνω:

Όπως έγραψες f(0)=f(1)=0. Επίσης από την αρχική για x=y=-1 παίρνουμε f(-1)=0. Από τη σχέση \left(\displaystyle\frac{f(x)}{x}\right)'=\left(f'(1)ln|x|\right)' δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για όλο το \mathbb{R}-\{0\} διότι δεν είναι διάστημα κι έτσι f(x)=f'(1)xlnx +c_1x για x>0 και f(x) =f'(1)xln(-x)+c_2x για x<0. Από την f(1)=0 παίρνουμε c_1=0 και από την f(-1)=0 παίρνουμε c_2=0. Άρα τελικά f(x)=f'(1)xln|x| για κάθε x\neq 0 και f(0)=0.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3689
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Eύρεση συνάρτησης.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Κυρ Οκτ 11, 2009 2:23 pm

cretanman έγραψε: Όπως έγραψες f(0)=f(1)=0. Επίσης από την αρχική για x=y=-1 παίρνουμε f(-1)=0. Από τη σχέση \left(\displaystyle\frac{f(x)}{x}\right)'=\left(f'(1)ln|x|\right)' δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για όλο το \mathbb{R}-\{0\} διότι δεν είναι διάστημα κι έτσι f(x)=f'(1)xlnx +c_1x για x>0 και f(x) =f'(1)xln(-x)+c_2x για x<0. Από την f(1)=0 παίρνουμε c_1=0 και από την f(-1)=0 παίρνουμε c_2=0. Άρα τελικά f(x)=f'(1)xln|x| για κάθε x\neq 0 και f(0)=0.

Αλέξανδρος
πολύ ωραία
Αλέξανδρε ,σε ευχαριστώ


Φωτεινή Καλδή
Κορυφή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6595
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Re: Eύρεση συνάρτησης.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Οκτ 11, 2009 2:29 pm

cretanman έγραψε:Άρα τελικά f(x)=f'(1)xln|x| για κάθε x\neq 0 και f(0)=0.
Επιπλέον, επειδή η f είναι παραγωγίσιμη και στο 0 υπάρχει στο \mathbb{R} το όριο
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f^{\prime}(1)x\ln|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}f^{\prime}(1)\ln|x|} οπότε f^{\prime}(1)=0...


Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6595
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Re: Eύρεση συνάρτησης.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Αύγ 17, 2012 12:57 pm

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Μου θύμισε μια άσκηση που λέει:
Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f(x), με πεδίο ορισμού το R οι οποίες επαληθεύουν την συναρτησιακή σχέση
f (x + y − xy) + xf (y) + yf (x) = f (x) + f (y)

Μην προσπαθήσετε να την λύσετε γιατί δεν θυμάμαι ακριβώς την λύση και την εκφώνηση!!


Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες