Η άσκηση του Μαρτίου 2013 από N.Zανταρίδη

parmenides51 · #1

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathb R\to\mathb R}$ ισχύει:

$\displaystyle{\int_{1-f(1-x)}^{f'(x)-f(x)}(f^2(t)-f(t))dt+f'(x)+f(1-x)=1+f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathb R}$ και $\displaystyle{ f(0)=1}$ .

1) Να δείξετε ότι:

α) $\displaystyle{f'(x)=1+f(x)-f(1-x)}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in \mathb R}$

β) $\displaystyle{f(x)=x^2+1\,\, , x \in \mathb R}$

2) Να δείξετε ότι το σημείο της $\displaystyle{C_f}$ που απέχει την μικρότερη απόσταση από το σημείο $\displaystyle{A(5,0)}$ είναι το $\displaystyle{M_o(1,2)}$ .

3) α) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου $\displaystyle{\Omega}$ που περικλείεται από την $\displaystyle{C_f}$ , τον άξονα $\displaystyle{x′x}$ , τον άξονα $\displaystyle{y′y}$ και το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AM_o}$ .

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{M_o}$ και χωρίζει το χωρίο $\displaystyle{\Omega}$ σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

4) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{ln(f(x))}dx>\frac{\beta-\alpha}{\alpha\beta}$ όταν $\displaystyle{0<\alpha<\beta}$ .

Υ.Γ.1 Οι υπόλοιποι μήνες : ΝΟΕ 12 , ΔΕΚ 12 , ΙΑΝ 13, ΦΕΒ 13, ΑΠΡ 13

Υ.Γ.2. Ανανεώθηκαν και οι Επαναληπτικές Ασκήσεις με Πολλά ερωτήματα

makisman · #2

1. α)

Έστω $g(x)=f'(x)-f(x),h(x)=1-f(1-x), x \in R$

τότε η δεδομένη σχέση γράφεται

$\displaystyle{\int_{h(x)}^{g(x)}{(f^{2}(t)-f(t)})dt+g(x)-h(x)=0\Leftrightarrow \int_{h(x)}^{g(x)}{(f^{2}(t)-f(t)+1})dt=0}$

όμως $f^2(t)-f(t)+1> 0 , x\in R$

- αν υπάρχει $x\in R$ ώστε g(x)<h(x)

τότε $\displaystyle{\int_{h(x)}^{g(x)}{(f^{2}(t)-f(t)+1})dt<0}$ ,άτοπο
- αν υπάρχει $x\in R$ ώστε g(x)>h(x)

τότε $\displaystyle{\int_{h(x)}^{g(x)}{(f^{2}(t)-f(t)+1})dt>0}$ ,άτοπο

άρα $g(x)=h(x), x\in R \Rightarrow \displaystyle{f'(x)=1+f(x)-f(1-x)}$

β)
$\displaystyle{f'(x)=1+f(x)-f(1-x)}$ , (1)

για $x \rightarrow 1-x$ έχω
$\displaystyle{f'(1-x)=1+f(1-x)-f( x)}$
και προσθέτωντας κατα μέλη
$\displaystyle{f'(x)+f'(1-x)=2\Rightarrow f(x)-f(1-x)=2x+c}$

για x=0

και

έχω

άρα $f(x)-f(1-x)=2x-1\Rightarrow f(1-x)=f(x)-2x+1$

αντικαθιστώντας στην (1)

έχω $f'(x)=2x\Rightarrow f(x)=x^2+c' \Rightarrow f(x)=x^2+1$ αφού f(0)=1

GMANS · #3

Συνεχίζοντας...
2)έστω
$M(x,f(x))\epsilon C_f$ αν $d(x)=d(A,M)=\sqrt{(x-5)^2+(x^2+1)^2}, η g(x)=(x-5)^2+(x^2+1)^2$
είναι παρ/μή με
g'(x)=(x-1)(4x^2+4x+10)

επομένως

οπότε

και

Έστω

και

το εμβαδόν μεταξύ
C_f,xx',x=0,x=1 ,E_2

το εμβαδόν του τριγώνου ABM_0

,

$E_1=\int_{0}^{1} f(x)dx=\frac{4}{3}$ τ.μ.

$E_2=\frac{4\cdot2 }{2} =4$

άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι
$E=4+\frac{4}{3}=\frac{16}{3}$ τ.μ.
3) επειδή E_1<E_2

άρα η ζητούμενη ευθεία τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα

στο $\Gamma (t,0),1<t<5$
Αν
E_3

είναι το εμβαδόν του τριγώνου $A\Gamma M_0$ πρέπει $E_3=\frac{E}{2}\Leftrightarrow \frac{(5-t)2)}{2}=\frac{8}{3}\Leftrightarrow t=\frac{7}{3}$ δηλαδή
$\Gamma (\frac{7}{3},0),(\Gamma M_0):y=-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$
4) H προς απόδειξη σχέση γράφεται:
$\int_{a}^{\beta }\frac{1}{ln(f(x))}dx>\int_{a}^{\beta }\frac{1}{x^2}dx$
αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε $x\epsilon [\alpha ,\beta ]$ είναι:
$\frac{1}{ln(x^2+1)}>\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow x^2>ln(x^2+1)$ που ισχύει μια και η H(x)=x^2-ln(x^2+1)

είναι παρ/μη με H'(x)>0

για

άρα

Η άσκηση του Μαρτίου 2013 από N.Zανταρίδη

Η άσκηση του Μαρτίου 2013 από N.Zανταρίδη

Re: Η άσκηση του Μαρτίου 2013 από N.Zανταρίδη

Re: Η άσκηση του Μαρτίου 2013 από N.Zανταρίδη

Μέλη σε σύνδεση