Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

[Νίκος Ζαφειρόπουλος]

Δεν γνωριζω αν εχει αναφερθει(δεν εχω διαβασει ακομα ολα τα post) παρομοιο με το Β3 υπηρχε στο βιβλιο β λυκειου ΟΕΔΒ Βαρουχακη κλπ.(εκδοση 1983)

Άλγεβρα Β' Λυκείου , έκδοση 1983 (ΟΕΔΒ), άσκηση 12 , σελ. 24

Αν είναι μια ρίζα της εξίσωσης , να δείξετε ότι:


... κι αν κάνουμε ένα ακόμη " βήμα " πιο πίσω, στην δεκαετία του 70 , θα βρούμε αρκετές ασκήσεις στα πολυώνυμα, που έχουν ομοιότητες με το Β3.

[Χρήστος Δ. Μπίσμπος]

Καλησπέρα σε όλους

Σύμφωνα τουλάχιστο με τις μέχρι τώρα ανακοινώσεις των υπευθύνων του σχεδίου ΑΘΗΝΑ για τα ΑΕΙ,
οι εισακτέοι στα Τμήματα των Πολυτεχνείων αυξάνονται κατά 40%-50%.
Συνεπώς, οι όποιες αναταράξεις στις προσδοκίες των υποψηφίων προκάλεσε το Β3
μάλλον θα απορροφηθούν σχετικά εύκολα εφέτος,
τουλάχιστο για τα Τμήματα των Πολυτεχνείων.
Οι σχετικές βάσεις μάλλον δύσκολα θα ξεπεράσουν τα 16.000 μόρια.
Ϊσως το στοιχείο αυτό και να ερμηνεύει και το θέμα Β3 ως προειδοποίηση για τα θέματα του 2014.

Φιλικά

Χρήστος Δ. Μπίσμπος

[killbill]

Θα ήθελα την άποψή σας για τον εξής τρόπο λύσης του Γ2:

αντί να δείξει ένας μαθητής την μονοτονία της προκειμένου να αποδείξει ότι είναι 1-1, λέει το εξής:

Θα αποδείξουμε ότι η μοναδική τιμή για την οποία είναι για , οπότε τότε αν τότε υποχρεωτικά . Δηλαδή ισοδύναμα θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει άλλη τιμή του εκτός από το για την οποία

αναζητώντας τις λύσεις της έχουμε:

Άρα η είναι η μοναδική λύση.

και αφού δεν μπορεί παρά κλπ

έτσι ξεπερνιέται και το εμπόδιο στην περίπτωση που η δεν ήταν 1-1, αλλά για μια τιμή που μας ενδιαφέρει υπάρχει μοναδικό ώστε

τι λέτε;

Αν κάνεις και την επαλήθευση στην εξίσωση για την τιμή που βρήκες, διότι έλυσες την εξίσωση με συνεπαγωγές, τότε η λύση δεν νομίζω να κολλάει κάπου.

δεν σε κατάλαβα... Τι εννοείς;

[stavrosm67]

Παρακολουθώντας όλες αυτές τις μέρες τις δημοσιεύσεις περί των θεμάτων των Μαθηματικών Κατεύθυνσης ομολογώ ότι αν κάποια από τα μέλη της επιτροπής εξετάσεων (θεματοδότες) παρακολουθούν τα όσα γράφονται θα διασκεδάζουν αρκετά …. γιατί θεωρώ ότι πέτυχαν το σκοπό τους.
και θα εξηγήσω αμέσως τι εννοώ:
Είναι αφελές να πιστεύουμε ότι το θέμα Β3 απευθυνόταν σε μαθητές.
Ήταν καθαρά ένα θέμα περισσότερο για όλους εμάς (τους καθηγητές εννοώ) και λιγότερο για τους μαθητές .
Ψάχνουμε να βρούμε αν είχε μπει σε Ολυμπιάδες ή το 1970 ή το 1821….
ε και; κάποτε θα είχαν δημοσιευτεί …παρόμοια θέματα.
Και τώρα τι;
Θα κάνουμε τέτοια θέματα από δώ και πέρα;
Όταν μια εβδομάδα λοιδωρούμε τα μέλη της επιτροπής θεμάτων για τα θέματα
της Γενικής Παιδείας , ήταν φυσικό να μας στήσουν για λίγο στον τοίχο….
Στα υπόλοιπα θέματα κατά τη γνώμη μου πάντα έδειξαν να φοβούνται να μπουν σε νέα μονοπάτια…
Λίγο πολύ ανακυκλωμένα θέματα παλιότερων ετών και όχι κάτι το νέο.
Άρα ως προς τι η δυσκολία;
Επειδή δεν μπήκαν αυτά που προτείναμε εμείς τελευταία στιγμή στους μαθητές μας τα θέματα ήταν δύσκολα ενώ όσων οι μαθητές μας πήγαν καλά νιώθουμε εξιλεωμένοι και τα θέματα ήταν βατά;
Προσωπικά έτυχε και έλυσα το Β3 …. αυτό όμως σημαίνει κάτι;
Οι μαθητές μου δεν το έλυσαν και αυτό έχει σημασία για μένα.
Δουλειά μας είναι να εκπαιδεύουμε τους μαθητές μας να λύνουν και όχι να καυχιόμαστε για το τι κάνουμε εμείς.
Η Σκηνή έχει στηθεί για τους Μαθητές . Αυτοί είναι οι πραγματικοί πρωταγωνιστές.
Όταν γινόμαστε εμείς οι πρωταγωνιστές ή οι θεματοδότες και τους παραγκωνίζουμε τότε κάτι δεν δουλεύει σωστά.
Τώρα σχετικά με το σύστημα , τα θέματα , την σωστή προετοιμασία των μαθητών είτε μέσα από το σχολείο ή το Φροντιστήριο ,
το σύστημα εισαγωγής στα Πανεπιστήμια κ.λ.π.
είναι μια μεγάλη συζήτηση… που πρέπει και οφείλουμε να καταθέσουμε όλοι τις απόψεις μας σε νεότερη Δημόσια συζήτηση εδώ στο Mathematica …
Γιατί πρέπει να σταματήσει αυτό που συμβαίνει χρόνια τώρα, να παίρνουν αποφάσεις για εμάς τους καθηγητές (Φροντιστές και Σχολικούς) και για τους μαθητές κάποιοι οι οποίοι δεν έχουν μπει καν σε σχολική αίθουσα και δεν έχουν καμμία διδακτική εμπειρία.
Σας ευχαριστώ για το χρόνο σας

Σταύρος Μπιτσακάκης
Μαθηματικός – Φροντιστής
Καλαμάτα

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΟΝ killbill

Έχουμε πάρα πολλές φορές εδώ στο mathematica, συζητήσει το θέμα αυτό: Όταν λύνουμε μια εξίσωση χωρίς να βάλλουμε τους περιορισμούς, έχουμε μεν το δικαίωμα να το κάνουμε, αλλά πρέπει στο τέλος να αντικαταστήσουμε τις λύσεις στην αρχική, για να δούμε αν είναι δεκτές ή όχι.
Δες ένα παράδειγμα: Να λυθεί η εξίσωση: . Aν την λύσεις με τον τρόπο που έλυσες και την δική σου, θα βρεις ότι ή . Κοίταξε τώρα ότι δεν πρέπει να δεχτούμε και τις δύο λύσεις. Την , την απορρίπτουμε διότι δεν επαληθεύει την δοσμένη.

[kochris]

Θα ήθελα την άποψή σας για τον εξής τρόπο λύσης του Γ2:

αντί να δείξει ένας μαθητής την μονοτονία της προκειμένου να αποδείξει ότι είναι 1-1, λέει το εξής:

Θα αποδείξουμε ότι η μοναδική τιμή για την οποία είναι για , οπότε τότε αν τότε υποχρεωτικά . Δηλαδή ισοδύναμα θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει άλλη τιμή του εκτός από το για την οποία

αναζητώντας τις λύσεις της έχουμε:

Άρα η είναι η μοναδική λύση.

και αφού δεν μπορεί παρά κλπ

έτσι ξεπερνιέται και το εμπόδιο στην περίπτωση που η δεν ήταν 1-1, αλλά για μια τιμή που μας ενδιαφέρει υπάρχει μοναδικό ώστε

τι λέτε;

Αν κάνεις και την επαλήθευση στην εξίσωση για την τιμή που βρήκες, διότι έλυσες την εξίσωση με συνεπαγωγές, τότε η λύση δεν νομίζω να κολλάει κάπου.

δεν σε κατάλαβα... Τι εννοείς;

Εφόσον δεν ετέθησαν όλοι οι αναγκαίοι περιορισμοί στην αρχή θα πρέπει στο τέλος να κάνουμε επαλήθευση των πιθανών λύσεων

[killbill]

Σύμφωνοι, εγώ που έχω λάθος?
Βρίσκω την μοναδική λύση η οποία επαληθεύει την δηλαδή την

κάνοντας επαλήθευση για παίρνουμε που ισχύει, άρα δεκτή

[kochris]

Σύμφωνοι, εγώ που έχω λάθος?
Βρίσκω την μοναδική λύση η οποία επαληθεύει την δηλαδή την

για παίρνουμε που ισχύει.

Αν κάνεις την επαλήθευση δεν υπάρχει λάθος.

[killbill]

άρα γιατί αναφέρθηκε παραπάνω ότι "Αν κάνεις και την επαλήθευση στην εξίσωση για την τιμή που βρήκες, διότι έλυσες την εξίσωση με συνεπαγωγές, τότε η λύση δεν νομίζω να κολλάει κάπου."

ο τρόπος που προτείνω που έχει λάθος επομένως; αφού η λύση που βρίσκω είναι μοναδική και επαληθεύει και την αρχική εξίσωση. Άρα δεν υπάρχει άλλη τιμή εκτός από το για την οποία η κάνει 1.
Άρα υποχρεωτικά θα πρέπει

που είναι το λάθος;

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Σύμφωνοι, εγώ που έχω λάθος?
Βρίσκω την μοναδική λύση η οποία επαληθεύει την δηλαδή την

κάνοντας επαλήθευση για παίρνουμε που ισχύει, άρα δεκτή

Δεν σου έγραψα ότι έκανες λάθος. Αλλά ότι έπρεπε οπωσδήποτε να φανεί το (απλο) βήμα της επαλήθευσης . Πρέπει να δει ο βαθμολογητής ότι συνειδητά δεν έβαλες περιορισμούς, διότι είχες σκοπό να κάνεις επαλήθευση. Αυτό, όσο απλό και να είναι πρέπει οπωσδήποτε να αναφερθεί, αλλιώς θα κοπούν κάποια μόρια.

[killbill]

α, εντάξει. Μάλλον δεν ερμήνευσα σωστά το "η λύση που βρήκες δεν κολλάει κάπου". Θεώρησα ότι η λύση που πρότεινα για το Γ2 είναι άκυρη.
Εδώ στο forum δεν ανέφερα ότι η λύση επαληθεύει την αρχική εξίσωση για λόγους συντομίας μιας και είναι πολύ προφανές ότι την επαληθεύει. Εννοείται ότι στο κανονικό γραπτό θα αναφέρεις ότι "που επαληθεύει την αρχική".

κερδίζω χρόνο αποφεύγοντας να μελετήσω το 1-1 δηλαδή την μονοτονία. Σκέφτηκα, γιατί να πρέπει να αποδείξω το 1-1, αφού το μόνο που μας ενδιαφέρει είναι να παίρνει η συνάρτηση την τιμή μόνο μια φορά. Τις άλλες τιμές δεν μας ενδιαφέρει, ας τις παίρνει όσες φορές θέλει!! οπότε δεν με ενδιαφέρει να εξετάσω και να αποδείξω ότι είναι 1-1 παντού!

άρα σωστός ο τρόπος λύσης μου, χωρίς να αποδείξω το 1-1 με την μονοτονία;

ευχαριστώ

[KARKAR]

D2.png (7.42 KiB) Προβλήθηκε 3375 φορές

Η είναι γνησίως αύξουσα και τα εμπλεκόμενα ολοκληρώματα είναι τα ισοπλατή ( πλάτους )

"σχεδονοτραπέζια" του σχήματος . Αρκεί λοιπόν

[Doloros]

Θανάση ( Για τους μη Γεωμέτρες KARKAR ) είσαι υπέροχος !!

Νίκος

[S.E.Louridas]

Σχετικά με τις Πανελλαδικές εξετάσεις.
Από το Γιώργο Σ. Τασσόπουλο,
Σχολικό Σύμβουλο Μαθηματικών.
Θα ήθελα να παρακαλέσω την επιτροπή των Πανελλαδικών εξετάσεων Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, που «κατασκεύασε» το θέμα Β3, αν έχει την καλοσύνη να μας πληροφορήσει για το αν ο ελάχιστος θετικός αριθμός κ που επαληθεύει τη σχέση: |v|< κ, είναι ή όχι ο 4 και πως θα τον βρούμε. Έτσι θα κατανοήσουμε και το σκεπτικό κατασκευής του. Μήπως όμως πληροφορήθηκαν τον αριθμό αυτό από κάπου και με βάση αυτή την πληροφορία πορεύτηκαν. Η ενδεικτική λύση τους πάντως κάτι τέτοιο προδίδει. (Γενική απόδειξη της Πρότασης, γνωστής ως θεώρημα Cauchy για το φράγμα ριζών πολυωνύμου. Βλέπε και Θ.Ν. Καζαντζή «Πολυώνυμα» σελίδα 226). Ως ελάχιστη ένδειξη του ότι επεξεργάστηκαν το θέμα, προκειμένου να επισημάνουν το βαθμό δυσκολίας του, θα ήταν η παρουσίαση εκ μέρους τους μιας λύσης διαφορετικής από τη Γενική λύση, αφού, όπως διαπιστώσαμε, υπάρχουν αρκετές.

(*) Ο συνάδελφος και προσωπικός φίλος μου Γιώργος Τασσόπουλος είναι ο Πρόεδρος της συντακτικής επιτροπής του ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ της Ε.Μ.Ε., είναι συγγραφέας πολλών βιβλίων όπως της προηγούμενης Γεωμετρίας του Ο.Ε.Δ.Β. (Του βιβλίου του οργανισμού δηλαδή) και Σχολικός σύμβουλος επί των Μαθηματικών και προσωπικά θεωρώ τιμή μου να συνεργάζομαι μαζί του σε Μαθηματικά Θέματα.

[Μπάμπης Στεργίου]

Χαιρετίζω την ...απορία που εκφράζει ο διακεκριμένος συνάδελφος και φίλος Γιώργος Τασσόπουλος .

Ελπίζω να πάρει κάποια στιγμή απάντηση από την ΚΕΕ , όπως και μεις, άλλωστε στις τόσες απορίες που έχουμε εκφράσει.

Μπάμπης

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[Demetres]

Δεν μπορώ να κατανοήσω αρκετή από την γκρίνια σχετικά με το Β3. Το θέμα όπως το βλέπω εγώ που είμαι έξω από τα σχολικά μαθηματικά της Ελλάδος είναι πιο εύκολο από πολλά θέματα που έχω δει που θέλουν πολλαπλές εφαρμογές θεωρήματος μέσης τιμής, Bolzano κ.τ.λ. Η μόνη διαφορά είναι η πολύ καλύτερη προετοιμασία που γίνεται στα δεύτερα σε σχέση με το πρώτο.

Κατανοώ το επιχείρημα ότι θα ήταν προτιμότερο να εμφανιστεί αργότερα τέτοιο ερώτημα παρά στην δεύτερη άσκηση. Θα πρόσθετα ότι το μόνο που δεν μου άρεσε προσωπικά ήταν ότι έπαιρνε 8 από τους 25 βαθμούς της δεύτερης άσκησης. Δηλαδή σχεδόν το 1/3 των βαθμών της συγκεκριμένης άσκησης απευθυνόταν μόνο στους άριστους μαθητές. Θα προτιμούσα μικρότερη βαθμολογία σε αυτό το ερώτημα και γιατί όχι να αρχίσουμε επιτέλους να βλέπουμε περισσότερα παρόμοια ερωτήματα μέσα στα γραπτά εξετάσεων. (Ένα ποσοστό γύρω στο 10% αλλά διεσπαρμένο παρά μόνο σε ένα ερώτημα.)

Δεν έχω ακόμη αρκετή πείρα από φοιτητές στην Ελλάδα και την Κύπρο αλλά από την Αγγλία που γνωρίζω σε όλα τα μαθηματικά τμήματα πλην ελαχίστων εξαιρέσεων υπάρχει μια γκρίνια για το επίπεδο των φοιτητών. Κυρίως διότι ενώ μπορεί π.χ. να γνωρίζουν απέξω τις αρχικές μιας πληθώρας συναρτήσεων (δεν κυνηγούν τα αυτοί) έχουν τεράστια αδυναμία στο να απαντούν οποιοδήποτε ερώτημα για το οποίο δεν έχουν διδαχθεί κάτι παρόμοιο.

Ο τρόπος που λύσανε το πρόβλημα κάποια από τα πανεπιστήμια εκεί, είναι η καθιέρωση επιπλέον εξετάσεων τις οποίες ζητούν από τους φοιτητές να έχουν παρακαθίσει. Οι εξετάσεις στις οποίες αναφέρομαι είναι οι STEP και είναι με διαφορά ότι καλύτερο έχω δει από εξετάσεις σε σχολική ύλη. (Απευθύνονται όμως μόνο στους άριστους.) Μπορείτε να δείτε περισσότερα σχετικά με τις εξετάσεις εδώ.

Το ερώτημα Β3 είναι αρκετά κοντά στο πνεύμα αυτών των εξετάσεων. Τις οποίες όπως προανέφερα χρησιμοποιούν κάποια από τα καλύτερα μαθηματικά τμήματα στην Αγγλία για να διαλέξουν μεταξύ των άριστων φοιτητών που έχουν κάνει αιτήσεις σε αυτά. Για ένα καλύτερο επίπεδο φοιτητών θα ήθελα μελλοντικά να βλέπω περισσότερα ερωτήματα όπως το Β3.

Γράφοντας αυτά μου κίνησε την περιέργεια αν πράγματι οι εξεταστές τα είχαν υπόψη τους και αν εμπνεύστηκαν από αυτά. Φυσικά δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι για οτιδήποτε αφούν έχουν παρατεθεί και άλλες πηγές με παρόμοια θέματα με το Β3 αλλά παραθέτω και ένα αρκετά κοντινό από τα STEP του 1998. (5ο ερώτημα του STEP-II.)

Για σύγκριση με τα χρονικά περιθώρια, οι μαθητές είχαν να λύσουν 6 από τα 14 θέματα σε διάστημα τριών ωρών. Δηλαδή μισή ώρα για το κάθε θέμα αν αποφασίσουν αμέσως ποια από αυτά θα δουλέψουν. Να προσθέσω όμως ότι εκεί δεν κηνυγάνε το απόλυτο άριστα. Δεν έχω στατιστικά για τα paper του 1998 αλλά σε αντίστοιχο paper του 2012 βλέπω ότι το outstanding ήταν 91/120 το οποίο ελήφθη από το 9% όσων παρακάθισαν τις εξετάσεις.

[S.E.Louridas]

Η διαμαρτυρίες για το έχουν βάση για δύο λόγους:
1) Διότι είναι ένα «παράξενο» ερώτημα σε κακή θέση (τοποθετημένο νωρίς) και αυτό είναι ολέθριο για τους καλούς κυρίως μαθητές που πιθανόν κόλησαν, αφού έχασαν χρόνο.
Ναι όταν ο λύτης δεν βρίσκεται πίσω από το γραφείο του έχοντας πιο πίσω του την Μαθηματική του βιβλιοθήκη φτιάχνοντας και ένα frape και δίπλα το τηλέφωνο για να ρωτήσει αν χρειαστεί, αλλά βρίσκεται σε θέση μάχης ζωής σε περιορισμένο χρόνο για να γίνει φοιτητής (δεν είναι φοιτητής), ο θεματοδότης που δεν λαμβάνει υπ’ όψη τον τεράστιο για την περίσταση παράγοντα ψυχολογία δεν κάνει για αυτή τη δουλειά.
Για να ξεκαθαρίσουμε επιτέλους τα πράγματα, η δυσκολία της επίλυσης του από ανθρώπους που εκφράστηκαν με θάρρος στο θέμα αυτό δεν έχει να κάνει με το ότι δεν είναι καλοί λύτες (μην τους βγάλουμε και άσχετους). Έχει να κάνει και μόνο με το γεγονός ότι προσπάθησαν να το επιλύσουν στο πνεύμα των διδαγμένων. Στην Α΄ Λυκείου π.χ. η διδασκαλία χειρισμού της έννοιας διάταξη στην επίλυση ασκήσεων και σύμφωνα πάντα με τις οδηγίες καλύπτεται τελείως επιδερμικά, αφού οι ώρες που πρέπει να διατεθούν για το κεφάλαιο αυτό είναι ελάχιστες. Εμπέδωσε για παράδειγμα ο Μαθητής και σύμφωνα πάντα με το πρόγραμμα διδασκαλίας από το Υπουργείο την λειτουργική σημασία του "αρκεί" στις ανισότητες;
Το θέμα λοιπόν δεν είναι να βάλουμε δύσκολο θέμα που η δυσκολία του έγκειται στο ότι στηρίζεται σε ανεπαρκή διδασκαλία της αντίστοιχης θεωρητικής βάσης, αλλά αν βάλουμε δύσκολο θέμα αυτό να γίνει σε τίμιο παιχνίδι.
2) Το θέμα αυτό έχει και δόση πονηριάς παρά εξυπνάδας. Δηλαδή έξυπνο θέμα αυστηρής ανισότητας σημαίνει να απέχει από την τιμή κατά Το θέμα αυτό είναι της ίδιας νοοτροπίας επίλυσης με το να ζητούσε , ώστε να βάλουμε στο παιχνίδι και το έτος που έγινε ο διαγωνισμός αυτός.
Ας δούμε την εξής διαδικασία:


αν επιλέξουμε τώρα τέτοιο που όταν , έχουμε βέλτιστη κάλυψη του θέματος που δόθηκε.
Μπαίνει λοιπόν το ερώτημα, γιατί επελέγει ο και όχι κάποιος άλλος πραγματικός αριθμός;

[gbaloglou]

Όπως ήδη συζητήσαμε εδώ, η μέγιστη σε μέτρο ρίζα του μιγαδικού πολυωνύμου του Β3 επιτυγχάνεται για και είναι η πραγματική λύση της , περίπου



Γιώργος Μπαλόγλου

[mathxl]

Για αυτούς που απορούν ακόμα (έχω μείνει παξυμάδι στο γιατί ακόμα απορούν).... γιατι το β3 είναι ότι να'ναι...

Μη ακριβή στοιχεία μοιάζει να έδωσε το βαθμολογικό μου...αφού στα 100 γραπτά βρέθηκε 1 μόνο.
Έλα όμως που τελικά στα 1075 γραπτά βρέθηκαν μόνο 2 που το έλυσαν. Cheers και μην παρασύρεστε από τα μαθηματικά που γνωρίζετε...να ακούτε τους μάχιμους δασκάλους.
Ο Σωτήρης το έγραψε και αυτός σωστά , όπως πριν ο Δημήτρης...ο Μπάμπης....κτλ κτλ κτλ

'Αλλο 1/100 και άλλο ...2/1075
Διόρθωσα για δεύτερη φορά τον αριθμό γραπτών (καλά που δεν δίνω στατιστική...... στους πολλαπλασιασμούς φυσάω)