ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

Ας ξεκινήσουμε να κινούμαστε και προς τα πίσω με τα θέματα των Κύκλων.
Συνήθως ήταν ξεχωριστά τα θέματα Άλγεβρας , Γεωμετρίας και Τριγωνομετρίας.
Τα αρχικά σημαίνουν ΠΟΛΥΤΕΧΝ(ΙΚΟΣ) - ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ(ΗΜΑΤΙΚΟΣ) -ΓΕΩ(ΠΟΝΟ)ΔΑΣ(ΟΛΟΓΙΚΟΣ) ΚΥΚΛΟΣ .
Άλλοτε οι παραπάνω κύκλοι είχαν διαφορετικά θέματα, άλλοτε είχαν κοινά θέματα.
Ταξινομημένα συγκεντρώνονται και τα παραπάνω θέματα σαν προτείνονται στο Ευρετήριο Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων.

1. Αν $\Pi (x)={{x}^{2}}+2\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|x+\left( 1+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}} \right)\left( 1+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)$ , όπου ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ είναι δοσμένοι μιγαδικοί αριθμοί,
να δείξετε ότι $\Pi (x)\ge 0$ για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{x}$ . Πότε μπορεί να ισχύει η ισότητα;

2. α) Τι καλείται συνδυασμός των $\displaystyle{\nu}$ πραγμάτων ανά $\displaystyle{\kappa}$ ;
β) Να αποδείξετε τον τύπο που δίνει το πλήθος των συνδυασμών των $\displaystyle{\nu}$ πραγμάτων ανά $\displaystyle{\kappa}$ . Υποτίθεται ότι $1\le \kappa \le \nu$ .

3. α) Πότε μια συνάρτηση $\displaystyle{\phi(x)}$ λέγεται συνεχής σε ένα σημείο ${{x}_{0}}$ του πεδίου ορισμού της;
Πότε μια συνάρτηση $\displaystyle{\phi(x)}$ λέγεται συνεχής σε ένα διάστημα;
β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $\displaystyle{\phi(x)}$ που δίνεται από το τύπο $\displaystyle{\phi (x)={{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x},\,\,x\ne 0}$
και $\displaystyle{\phi(0)=0}$ είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

4. Δίνεται ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές $\displaystyle{\Pi(x)}$ βαθμού $\ge 2$ .
α) Να δείξετε ότι αν ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\rho}$ είναι πολλαπλή ρίζα του $\displaystyle{\Pi(x)}$ τότε ο $\displaystyle{\rho}$ είναι ρίζα της παραγώγου του $\displaystyle{\Pi(x)}$ .
β) Με τη βοήθεια της προηγούμενης ιδιότητας να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{ \beta}$ ώστε
το πολυώνυμο $\Pi (x)={{x}^{4}}+(\alpha -\beta ){{x}^{3}}+2\alpha {{x}^{2}}-5x+4$ να έχει πολλαπλή ρίζα τον αριθμό $\displaystyle{1}$ .

edit
Απλούστευση ονομασίας
μετονομασία

#2

ΘΕΜΑ 2.
α) Τι καλείται συνδυασμός των $\displaystyle{\nu}$ πραγμάτων ανά $\displaystyle{\kappa}$ ;
β) Να αποδείξετε τον τύπο που δίνει το πλήθος των συνδυασμών των $\displaystyle{\nu}$ πραγμάτων ανά $\displaystyle{\kappa}$ . Υποτίθεται ότι $1\le \kappa \le \nu$ .

ΛΥΣΗ

α) Έστω το σύνολο $\displaystyle{\,\,A = \left\{ {{\alpha _1},{\alpha _2},...,{\alpha _\nu }} \right\}\,\,\,\,}$
Συνδυασμό των $\displaystyle{\,\,\nu \,\,}$ πραγμάτων ανά $\displaystyle{\,\,\kappa \,\,}$ με $\displaystyle{1 \le \,\,\kappa \,\, \le \,\,\nu }$ , (συμβολικά $\displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \nu \\ \kappa \\ \end{array}} \right)}$ ) ονομάζουμε κάθε υποσύνολο του $\displaystyle{\,\,{\rm A}\,\,}$ ,το οποίο περιέχει $\displaystyle{\,\,\kappa \,\,}$ στοιχεία .

β) Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{\,\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \nu \\ \kappa \\ \end{array}} \right) = \frac{{\nu !}}{{\kappa !(\nu - \kappa )!}}\,\,\,}$
‘Εστω $\displaystyle{\,\,\,x\,\,}$ το πλήθος των συνδυασμών των $\displaystyle{\,\,\nu \,\,}$ ανά $\displaystyle{\,\,\kappa \,\,}$ . Αν σε κάθε ένα απ΄αυτούς εκτελέσουμε όλες τις μεταθέσεις των $\displaystyle{\,\,\,\kappa \,\,}$ στοιχείων , που είναι $\displaystyle{\,\,\kappa !\,\,\,}$ , θα πάρουμε $\displaystyle{\,\,x \cdot \kappa !\,\,\,\,}$ διατάξεις των $\displaystyle{\,\,\nu \,\,}$ ανά $\displaystyle{\,\,\kappa \,\,}$ .
Αυτές όμως είναι όλες οι διατάξεις των $\displaystyle{\,\,\nu \,\,}$ ανά $\displaystyle{\,\,\kappa \,\,}$ (συμβολικά : $\displaystyle{\,\,\,\Delta _\kappa ^\nu \,\,}$ )
Είναι διαφορετικές γιατί είτε προέρχονται από διαφορετικούς συνδυασμούς είτε , αν προέρχονται από τον ίδιο συνδυασμό , θα διαφέρουν ως προς την τάξη των στοιχείων τους .
Επομένως : $\displaystyle{\,\,\,x \cdot \kappa ! = \Delta _\kappa ^\nu \Leftrightarrow x \cdot \kappa ! = \frac{{\nu !}}{{(\nu - \kappa )!}} \Leftrightarrow x = \frac{{\nu !}}{{\kappa !(\nu - \kappa )!}}}$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

greek_sorcerer · #6

parmenides51 έγραψε: β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $\displaystyle{\phi(x)}$ που δίνεται από το τύπο $\displaystyle{\phi (x)={{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x},\,\,x\ne 0}$
και $\displaystyle{\phi(0)=0}$ είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Mε ύλη εκτός λυκείου:
Η $\displaystyle{\phi (x)}$ είναι γινόμενο μηδενικής επί φραγμένης άρα το όριο στο μηδέν θα ισούται με μηδέν, άρα έχουμε:
$\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x} \right)=0=\varphi (0)}$ ,
άρα συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

υγ: Ορέστη, θα αφήσεις να λύσουμε και εμείς καμια άσκηση??

πολυβόλο είσαι

ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση