ΣΜΑ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #1

1976
Ανωτάτη Σχολή Μηχανικών Αεροπορίας (Σ.Μ.Α)
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΖΗΤΗΜΑ Ιον. Έπι δύο δοθεισών ασυμβάτων ευθειών (ε1) και (ε2) όλισθαίνουν αντιστοίχως τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ μέ δοθέντα μήκη ΑΒ = α και ΓΔ=β. Να δειχθεί ότι ό όγκος του τετραέδρου ΑΒΓΔ παραμένει σταθερός κατά την όλίσθησιν αυτήν.

ΖΗΤΗΜΑ 2ον. Διά του κέντρου Ο του εγγεγραμμένου κύκλου εις τρίγωνον ΑΒΓ, φέρομεν τάς ΘΟΙ, ΗΟΖ, ΕΟΔ, παραλλήλους αντιστοίχως προς τάς πλευράς ΒΓ, ΓΑ, ΑΔ του τριγώνου και περατουμένας εις τάς πλευράς του τριγώνου. 'Εάν δίδωνται τά μήκη λ,μ,ν των ΘΟΙ, ΗΟΖ, ΕΟΚ αντιστοίχως, νά κατασκευασθεί τό τρίγωνον ΑΒΓ.

ΖΗΤΗΜΑ 3ον. Νά κατασκευασθεί τρίγωνον ΑΒΓ έγγεγραμμένον εις κύκλον (Ο, R) και του οποίου αi πλευραι ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ διέρχονται αντιστοίχως άπό τό δοθέντα σημείο O_3

,

.

ΖΗΤΗΜΑ 4ον. Δίδεται κύκλος (Ο, R) και εν σημείον Ρ κείμενον έκτος αυτού. Έκ του Ρ φέρομεν εις τον κύκλον Ο τάς έφαπτομένας ΡΑ και ΡΑ', και τυχούσαν τέμνουσαν ΡΒΓ της περιφερείας Ο. Στρεφόμενης της ΡΒΓ περί τό Ρ νά ευρεθούν οι γεωμετρικοί τόποι των ορθοκέντρων Η και Η' των τριγώνων ΑΒΓ και Α'ΒΓ. Επίσης νά ευρεθεί και ό
γ. τόπος του μέσου της ΗΗ'.

ΖΗΤΗΜΑ 5ον. Δίδεται περιφέρεια διαμέτρου ΑΟΒ ίσης προς 2R. Σημείον Ρ κινείται επί της διαμέτρου. 'Επί την διάμετρον υψούμεν εις τό Ρ κάθετον ή οποία ορίζει έπί της περιφερείας τό σημείον Μ. Νά ευρεθεί ό γ. τόπος σημείου Σ της ΡΜ τέτοιον, ώστε νά αληθεύει ή ίσότης: $A\Sigma ^2 = \frac {4}{3} AM^2 \; (1)$ ώς και τό μήκος του τόπου.

Υ.Γ. Και εδώ,όπως και στα αντίστοιχα θέματα του 1975, το κείμενο είναι "σκαναρισμένο", χωρίς δική μου επέμβαση

Antonis_Z · #2

Μια ιδέα για το 5ο.

Θεωρώ την ευθεία που είναι κάθετη στην

στο

,η οποία θα τέμνει την

στο

.
Είναι: $AS^2=\frac{4}{3}AM^2\Leftrightarrow AP\cdot AI=\frac{4}{3}AP\cdot AB\Leftrightarrow AI=\frac{4}{3}AB=ct$ .
Παρατηρούμε λοιπόν ότι κάθε σημείο του ζητούμενου γ.τ "βλέπει" υπό ορθή γωνία ένα σταθερό τμήμα του

,άρα ο γ.τ είναι ο κύκλος με διάμετρο το

( με $AI=\frac{8}{3}R$ )
Ελπίζω να είναι σωστό...

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #3

ZHTHMA 1o.

: Ογκος_Τετραεδρου.png (12.15 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

Τα σταθερού μήκους ευθύγραμμα τμήματα $AB\, ,\, CD$ ολισθαίνουν πάνω σε δύο ευθείες $\epsilon_1 , \epsilon_2$ αντιστοίχως.
Κρατάμε σταθερό το ευθ. τμήμα

.
Οι ευθείες AB , CD

είναι ασύμβατες, άρα το σημείο

και η ευθεία $\epsilon_2$ , ορίζουν ένα επίπεδο , έστω

.
Όταν το σταθερού μήκους ευθύγραμμο τμήμα $CD=b\,$ , ολισθαίνει πάνω στην $\epsilon_2$ , το ύψος $BL=\upsilon\,\,$ του τριγώνου BCD

, παραμένει σταθερό.
Άρα $\displaystyle (BCD)= \frac{1}{2} \cdot b \cdot \upsilon = ct$
Η απόσταση του σημείου AK=h

του σημείου

από το επίπεδο

είναι σταθερή. Άρα ο όγκος

του τετραέδρου ADCD

είναι
$\displaystyle V = \frac{1}{3} (BCD) \cdot AK = \frac {1}{6} \cdot b \cdot \upsilon \cdot h = ct$
Ομοίως, διατηρώντας το

σταθερό και ολισθαίνοντας το

πάνω στην ευθεία $\epsilon_1$ (δεν έχει σχεδιαστεί στο σχήμα) , ο όγκος
του τετραέδρου ABCD

παραμένει και πάλι σταθερός με $\displaystyle (CABD) = \frac{1}{3}(ABD)\cdot \upsilon ' =V$ , όπου $\upsilon '$ η απόσταση του
σημείου

από το επίπεδο που ορίζουν τα σημεία A, B, D

.

ΣΜΑ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΣΜΑ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΣΜΑ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΣΜΑ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση