ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^3+3\alpha x^2+3\beta x +\gamma =0}$
α) Να βρεθεί σχέση μεταξύ των συντελεστών $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma}$ ώστε οι ρίζες της δοθείσας εξίσωσης να αποτελούν
διαδοχικούς όρους αρμονικής προόδου.
β) Υπό την προϋπόθεση οτι οι συντελεστές $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma }$ είναι πραγματικοί και $\displaystyle{\beta}$ θετικός,
ποια επιπλέον σχέση πρέπει να υπάρχει μεταξύ των $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma }$ ώστε οι ρίζες της εξίσωσης να είναι όλες πραγματικές;
γ) Αν η σχέση που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα, για $\displaystyle{\alpha =2, \gamma=16}$ μας δίνει εξίσωση ως προς $\displaystyle{\beta}$ με διπλή ρίζα,
να υπολογίσετε τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης.

2. Δίνονται τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ βαθμού $\displaystyle{\nu}$ και $\displaystyle{Q(x)}$ βαθμού $\displaystyle{ \mu}$ .
Να αποδειχθεί οτι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τα δοθέντα πολυώνυμα να έχουν κοινή ρίζα είναι να υπάρχουν
δυο μη μηδενικά πολυώνυμα $\displaystyle{P_1(x)}$ βαθμού μικρότερου ή ίσου του $\displaystyle{ \nu -1}$ και $\displaystyle{Q_1(x)}$ βαθμού μικρότερου ή ίσου του $\displaystyle{ \mu-1}$
τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle{P(x) Q_1(x)-Q(x)P_1(x)=0}$

3. α) Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των συνεχών συναρτήσεων και γνωρίζοντας ότι οι συναρτήσεις $\displaystyle{e^x}$ και $\displaystyle{\ln x}$ είναι συνεχείς,
να δείξετε οτι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\ln \frac{e^x-1}{x}}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$
β) Γνωρίζοντας οτι για κάθε $\displaystyle{\alpha >0}$ για την παραπάνω συνάρτηση ισχύει $\displaystyle{\alpha>f(\alpha)>0}$ ,
να δείξετε οτι η ακολουθία $\displaystyle{ x_{\nu}}$ για την οποία $\displaystyle{x_{\nu+1}=f(x_{\nu}) \,\,, x_1=\beta>0}$ συγκλίνει.
Μετά να δειχτεί οτι το όριο της ακολουθίας αυτής είναι ο αριθμός $\displaystyle{0}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Δίνονται τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ βαθμού $\displaystyle{\nu}$ και $\displaystyle{Q(x)}$ βαθμού $\displaystyle{ \mu}$ .
Να αποδειχθεί οτι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τα δοθέντα πολυώνυμα να έχουν κοινή ρίζα είναι να υπάρχουν
δυο μη μηδενικά πολυώνυμα $\displaystyle{P_1(x)}$ βαθμού μικρότερου ή ίσου του $\displaystyle{ \nu -1}$ και $\displaystyle{Q_1(x)}$ βαθμού μικρότερου ή ίσου του $\displaystyle{ \mu-1}$
τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle{P(x) Q_1(x)-Q(x)P_1(x)=0}$

εδώ

ArgirisM · #3

parmenides51 έγραψε: 3. α) Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των συνεχών συναρτήσεων και γνωρίζοντας ότι οι συναρτήσεις $\displaystyle{e^x}$ και $\displaystyle{\ln x}$ είναι συνεχείς,
να δείξετε οτι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\ln \frac{e^x-1}{x}}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$
β) Γνωρίζοντας οτι για κάθε $\displaystyle{\alpha >0}$ για την παραπάνω συνάρτηση ισχύει $\displaystyle{\alpha>f(\alpha)>0}$ ,
να δείξετε οτι η ακολουθία $\displaystyle{ x_{\nu}}$ για την οποία $\displaystyle{x_{\nu+1}=f(x_{\nu}) \,\,, x_1=\beta>0}$ συγκλίνει.
Μετά να δειχτεί οτι το όριο της ακολουθίας αυτής είναι ο αριθμός $\displaystyle{0}$ .

α) Η συνάρτηση είναι αποτέλεσμα της σύνθεσης της $g(x) = \frac{\epsilon ^x -1}{x}$ με την h(x) = lnx

. Γνωρίζουμε πως η

είναι συνεχής στο $(0, + \infty)$ , ως πηλίκο συνεχών σε αυτό συναρτήσεων. Ακόμη, για $x > 0 \Longrightarrow e^x > 1 \Longrightarrow \frac{e^x - 1}{x} > 0 \Longrightarrow g((0, + \infty)) \subseteq (0, + \infty)$ . Η λογαριθμική συνάρτηση είναι συνεχής στο σύνολο των θετικών πραγματικών, επομένως το ίδιο θα ισχύει και στο $g((0, + \infty))$ . Άρα η f = hog

θα είναι συνεχής στο $(0, + \infty)$ , ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων.
β) Από τη συνθήκη της εκφώνησης προκύπτει ότι $x_{\nu + 1} = f(x_{\nu}) < x_{\nu}$ , οπότε η ακολουθία είναι γνησίως φθίνουσα και έχει άνω φράγμα τον αριθμό $\beta$ και ως κάτω φράγμα το

. Συνεπώς η ακολουθία είναι συγκλίνουσα ως μονότονη και φραγμένη. Μένει τώρα να βρούμε το όριο της συνάρτησης. Από τις ιδιότητες της διάταξης για τα όρια προκύπτει ότι $0 \le \displaystyle{\lim_{\nu \to + \infty} x_{\nu} = l \le \beta}$ . Έστω $l \neq 0$ . Από τον αναδρομικό τύπο της ακολουθίας έχουμε $l = ln \frac{e^l - 1}{l} \Longleftrightarrow le^l = e^l -1 \Longleftrightarrow (l - 1)e^l + 1 = 0$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $F(x) = (x - 1)e^x + 1, D_F = (0, \beta]$ . Αυτή είναι παραγωγίσιμη στο $(0, \beta]$ ως πράξη παραγωγίσιμων σε αυτό συναρτήσεων, με F'(x) = xe^x > 0

για

. Επομένως πρόκειται για γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο συγκεκριμένο διάστημα. Το σύνολο τιμών της είναι $F((0, \beta]) = (\displaystyle{\lim_{x \to 0^+} F(x)}, F(\beta)] = (0, (\beta - 1)e^{\beta} + 1]$ . Το

δεν ανήκει στο σύνολο τιμών αυτής της συνάρτησης, επομένως δεν έχει κανένα σημείο μηδενισμού (άτοπο). Άρα πρέπει l = 0

. Πράγματι τότε έχουμε $l = 0 = \displaystyle{\lim_{\nu \to + \infty} ln \frac{e^{x_{\nu}} - 1}{x_{\nu}}$ , αφού για $u = x_{\nu}$ έχουμε $\displaystyle{\lim_{\nu \to + \infty} ln \frac{e^{x_{\nu}} - 1}{x_{\nu}} = \displaystyle{\lim_{u \to 0} ln \frac{e^u - 1}{u}$ . Είναι όμως $\displaystyle{\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ , οπότε θέτοντας $x = \frac{e^u - 1}{u}$ προκύπτει $\displaystyle{\lim_{x \to 1} lnx = 0}$ , το οποίο επιβεβαιώνει ότι l = 0

.

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

#5

Για το θεμα 3 πιο εύκολη λύση νομίζω ότι είναι
(γιΑ την εύρεση του ορίου)
$\displaystyle{l=ln\frac{e^l-1}{l}}$ τότε $\displaystyle{le^l=e^l-1}$ ή $\displaystyle{l=1-e^{-l}}$ kαι για $\displaystyle{y=-l}$ παίρνουμε $\displaystyle{e^y=1+y}$ που είναι γνωστο οτι εχει μοναδική λύση το $\displaystyle{0}$
αλλιώς η $\displaystyle{e^y-y-1 , y\ge 0}$ είναι αύξουσα και εχει προφανή λύση το 0

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση