Δ' ΔΕΣΜΗ 1991

parmenides51 · #1

1. α) Αν $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ είναι πίνακες $\displaystyle{2x2}$ να αποδειχθεί ότι $D(AB)=D(A)\cdot D(B)$
β) Για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ να βρεθούν οι τιμές των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$
οι οποίες επαληθεύουν τη σχέση $\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\ \lambda x \\ \end{matrix} \right]+\lambda \left[ \begin{matrix} y \\ \lambda y \\ \end{matrix} \right]=(\lambda +1)\left[ \begin{matrix} 1 \\ \lambda \\ \end{matrix} \right]$ .

2. α) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και παραγωγίζεται στο ${{x}_{0}}\in \Delta$ .
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to {x}_{0}}\frac{xf({{x}_{0}})-{{x}_{0}}f(x)}{x-{{x}_{0}}}=f({{x}_{0}})-{{x}_{0}}{f}'({{x}_{0}})}$ .
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{f}$
με $f(x)=\sqrt{x+3}+x-3,\,\,x\ge -3$ στο σημείο ${{x}_{0}}=-3$ .

3. α) Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f}$ και $\displaystyle{g}$ οι οποίες έχουν τις εξής ιδιότητες:
$\displaystyle{\bullet}$ είναι συνεχείς στο $\displaystyle{[\alpha,\beta]}$ και παραγωγίσιμες στο $\displaystyle{(\alpha,\beta)}$
$\displaystyle{\bullet}$ για κάθε $\displaystyle{x\in [\alpha,\beta]}$ και $g(x)\ne 0$ και για κάθε $\displaystyle{x\in(\alpha,\beta) }$ είναι ${g}'(x)\ne 0$ και
$\displaystyle{\bullet}$ $f(\beta )g(\alpha )-f(\alpha )g(\beta )=0$
Να αποδείξετε ότι:
i) Για την συνάρτηση $\displaystyle{F}$ με $\displaystyle{F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}}$ εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο $\displaystyle{ [\alpha,\beta]}$ .
ii) Υπάρχει ${{x}_{0}}\in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\frac{{f}'({{x}_{0}})}{{g}'({{x}_{0}})}=\frac{f({{x}_{0}})}{g({{x}_{0}})}}$ .
β) i) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)>0 ,\,\,x\in \mathbb{R}}$ .
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $\displaystyle{F}$ με $F(x)={{\left[ f(x) \right]}^{x}},x\in \mathbb{R}$
ii) Έστω $\displaystyle{ \alpha>0}$ . Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $\displaystyle{g }$ με $g(x)={{\alpha }^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}},\,\,x\in \mathbb{R}$ .

4. α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της $\displaystyle{f:\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\to \mathbb{R}}$
με $\displaystyle{ f(x)=\eta {{\mu }^{2}}x-\sqrt{2}\eta \mu x+2\sqrt{2}}$ .
β) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f }$ με τύπο $f(x)=\left\{ \begin{matrix} & {{e}^{x}}-e,\,\,\,x<1 \\ & \displaystyle\frac{\ln x}{x},\,\,\,\,\,\,x\ge 1 \\ \end{matrix} \right.$
Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου το οποίο περικλείεται
από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ , τον άξονα {x}'x

και τις ευθείες $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=e}$ .

Christos75 · #2

parmenides51 έγραψε:1. α) Αν $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ είναι πίνακες $\displaystyle{2x2}$ να αποδειχθεί ότι $D(AB)=D(A)\cdot D(B)$
β) Για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ να βρεθούν οι τιμές των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$
οι οποίες επαληθεύουν τη σχέση $\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\ \lambda x \\ \end{matrix} \right]+\lambda \left[ \begin{matrix} y \\ \lambda y \\ \end{matrix} \right]=(\lambda +1)\left[ \begin{matrix} 1 \\ \lambda \\ \end{matrix} \right]$ .

Για να δούμε σιγά-σιγά τη λύση του πρώτου θέματος.

α) Θεωρία τότε σχολικού βιβλίου

β)
Μας έχει δοθεί η σχέση: $\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ \lambda x \end{bmatrix}+\lambda .\begin{bmatrix} y\\ \lambda y \end{bmatrix}=(\lambda +1)\begin{bmatrix} 1\\ \lambda \end{bmatrix}$

στην οποία κάνουμε τις απαραίτητες πράξεις και έχουμε:

$\begin{bmatrix} x+2\lambda x\\ x+0\lambda x \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \lambda y\\ \lambda ^{2}y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda +1\\ \lambda (\lambda +1) \end{bmatrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+2\lambda x+\lambda y=\lambda +1 & \\ x+\lambda ^{2}y=\lambda (\lambda +1)& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} (1+2\lambda )x+\lambda y=\lambda +1 & \\ x+\lambda ^{2}y=\lambda (\lambda +1)& \end{Bmatrix}$

Αφού προκύπτει ένα 2x2

γραμικό σύστημα, με την μέθοδο των οριζουσών παίρνω:

$D=\begin{vmatrix} 1+2\lambda & \lambda \\ 1&\lambda ^{2} \end{vmatrix} \Leftrightarrow \lambda ^{2}(1+2\lambda )-\lambda =\lambda (2\lambda ^{2}+\lambda -1)\Leftrightarrow \lambda (2\lambda -1)(\lambda +1)$

Υπολογίζουμε τις ορίζουσες $D_{x},D_{y}$ όπως φαίνεται παρακάτω:

$D_{x}=\begin{vmatrix} \lambda +1 &1 \\ \lambda (\lambda +1)&\lambda ^{2} \end{vmatrix}=\lambda ^{2}(\lambda +1)-\lambda ^{2}(\lambda +1)=0$

και

$D_{y}=\begin{vmatrix} 1+2\lambda & \lambda +1\\ 1&\lambda (\lambda +1) \end{vmatrix}=(\lambda +1)^2.(2\lambda -1)$

Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Αν $D\neq 0\Leftrightarrow \lambda .(2\lambda -1).(\lambda +1)\neq 0\Leftrightarrow \lambda \neq 0\wedge \lambda \neq \frac{1}{2}\wedge \lambda \neq -1$

το σύστημα έχει μοναδική λύση την $\displaystyle{x=\frac{D_{x}}{D} \wedge y=\frac{D_{y}}{D}}$

Δηλαδή: $\displaystyle{x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{0}{\lambda .(2\lambda -1).(\lambda +1)}=0}$

και $\displaystyle{y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{(\lambda +1)^{2}.(2\lambda -1)}{\lambda (2\lambda -1).(\lambda +1)}=\frac{\lambda +1}{\lambda }}$

Συνεπώς η μοναδική λύση του συστήματος είναι: $\displaystyle{(x,y)=(0,\frac{\lambda +1}{\lambda }), \lambda \in \mathbb{R}-\left \{ 0,\frac{1}{2},-1\left. \right \} \right.}$

Αν $\displaystyle{D=0\Leftrightarrow \lambda .(2\lambda -1).(\lambda +1)=0\Leftrightarrow \lambda =0\vee \lambda =\frac{1}{2}\vee \lambda =-1}$

Κατά συνέπεια, έχουμε:

$\cdot$ για $\lambda =0$ το αρχικό σύστημα γίνεται: $\left\{\begin{matrix} x +0y=1& \\ x+0y=0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=0\wedge x=1$ που σημαίνει ότι σύστημα είναι αδύνατο.

$\cdot$ για $\lambda =\frac{1}{2}$ το αρχικό σύστημα γίνεται: $\left\{\begin{matrix} 4x+y=3 & \\ 4x+y=3& \end{matrix}\right.$

που σημαίνει ότι το εν λόγω είναι αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις που δίνονται ως εξής:
$x=\kappa , y=3-4\kappa , \kappa \in \mathbb{R}$

$\cdot$ για $\lambda =-1$ το αρχικό μου σύστημα γίνεται:

$\begin{Bmatrix} -x-y=0 & \\ x+y=0& \end{Bmatrix}\Leftrightarrow x+y=0$

Αν θέσω και εδώ: $x=\phi , y=-\varphi , \varphi \in \mathbb{R}$ δηλαδή και πάλι το αρχικό μας σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Christos75 · #3

parmenides51 έγραψε: 3. α) Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f}$ και $\displaystyle{g}$ οι οποίες έχουν τις εξής ιδιότητες:
$\displaystyle{\bullet}$ είναι συνεχείς στο $\displaystyle{[\alpha,\beta]}$ και παραγωγίσιμες στο $\displaystyle{(\alpha,\beta)}$
$\displaystyle{\bullet}$ για κάθε $\displaystyle{x\in [\alpha,\beta]}$ και $g(x)\ne 0$ και για κάθε $\displaystyle{x\in(\alpha,\beta) }$ είναι ${g}'(x)\ne 0$ και
$\displaystyle{\bullet}$ $f(\beta )g(\alpha )-f(\alpha )g(\beta )=0$
Να αποδείξετε ότι:
i) Για την συνάρτηση $\displaystyle{F}$ με $\displaystyle{F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}}$ εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο $\displaystyle{ [\alpha,\beta]}$ .
ii) Υπάρχει ${{x}_{0}}\in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\frac{{f}'({{x}_{0}})}{{g}'({{x}_{0}})}=\frac{f({{x}_{0}})}{g({{x}_{0}})}}$ .
β) i) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)>0 ,\,\,x\in \mathbb{R}}$ .
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $\displaystyle{F}$ με $F(x)={{\left[ f(x) \right]}^{x}},x\in \mathbb{R}$
ii) Έστω $\displaystyle{ \alpha>0}$ . Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $\displaystyle{g }$ με $g(x)={{\alpha }^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}},\,\,x\in \mathbb{R}$ .

Πάμε να δούμε και αυτό το θεματάκι που για την εποχή του θεωρήθηκε αρκετά προτότυπο.

α)
i) Μας ζητάει να αποδείξουμε ότι ισχύει το θεώρημα Rolle για την συνάρτηση

.

$\cdot$ Η συνάρτηση $\displaystyle{F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}}$ με $g(x)\neq 0$ είναι συνεχής στο $[\alpha ,\beta ]$ ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων που δίνονται από την υπόθεση.

$\cdot$ Η συνάρτηση $\displaystyle{F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}}$ είναι παραγωγίσιμη στο $(\alpha ,\beta )$ ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων που μας δίνεται από την υπόθεση.
Επίσης μας δίνεται εξ' υποθέσεως ότι ισχύει:
$f(\beta ).g(\alpha)-f(\alpha ).g(\beta )=0\Leftrightarrow f(\beta ).g(\alpha)=f(\alpha ).g(\beta )\Leftrightarrow \frac{f(\beta )}{g(\beta )}=\frac{f(\alpha )}{g(\alpha )}\Leftrightarrow F(\alpha )=F(\beta )$

Συνεπώς ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle για την

.

ii) Από το ερώτημα i) για την συνάρτηση

ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle, άρα $\displaystyle{\exists x_{0}\in (\alpha ,\beta ): F'(x_{0})=0}$

Αλλά $\displaystyle{F'(x)=\frac{f'(x).g(x)-f(x).g'(x)}{(g(x))^{2}}}$

Οπότε: $\displaystyle{F'(x_{0})=0\Leftrightarrow f'(x_{0}).g(x_{0})-f(x_{0}).g'(x_{0})=0\Leftrightarrow f'(x_{0}).g(x_{0})=f(x_{0}).g'(x_{0})\Leftrightarrow \frac{f'(x_{0})}{g'(x_{0})}=\frac{f(x_{0})}{g(x_{0})}, x_{0}\in (\alpha ,\beta )}$ και έτσι αποδείξαμε το ζητούμενο.

β)
i) Μας δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{F(x)=(f(x))^{x}, f(x)>0, x\in \mathbb{R}}$ και μας ζητείται να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης

Βάσει των δεδομένων απορρέει το συμπέρασμα ότι : F(x)>0

, οπότε αν λογαριθμήσουμε την δοσμένη σχέση, θα έχουμε:

$\displaystyle{ln(F(x))=ln[f(x)^{x}]}$ και παραγωγίζοντας την προηγούμενη σχέση θα έχουμε:

$(ln(F(x))=ln[f(x)]^x\Rightarrow (ln(F(x))'=(ln[f(x)]^x)'\Leftrightarrow \frac{F'(x)}{F(x)}=(x)'ln(f(x))+x(lnf(x))'\Leftrightarrow \frac{F'(x)}{F(x)}=ln(f(x))+x.\frac{f'(x)}{f(x)}\Leftrightarrow F'(x)=[f(x)]^{x}[lnf(x)+x.\frac{f'(x)}{f(x)}], f(x)>0, x\in \mathbb{R}$

που είναι και η ζητούμενη παράγωγος.

ii) με την ίδια λογική λογαριθμίζουμε και εν συνεχεία παραγωγίζουμε την δοσμένη σχέση αφού g(x)>0

και έχουμε :

$\displaystyle{(ln(g(x)))'=[ln\alpha ^{\sqrt{x^{2}+1}}]'\Leftrightarrow \frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}2xln\alpha \Leftrightarrow g'(x)=\alpha ^{\sqrt{x^{2}+1}}.\frac{xln\alpha }{\sqrt{x^{2}+1}}, \alpha >0}$

και $x\in \mathbb{R}$

όπου είναι και η ζητούμενη παράγωγος.

BAGGP93 · #4

parmenides51 έγραψε:

4. α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της $\displaystyle{f:\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\to \mathbb{R}}$
με $\displaystyle{ f(x)=\eta {{\mu }^{2}}x-\sqrt{2}\eta \mu x+2\sqrt{2}}$ .
β) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f }$ με τύπο $f(x)=\left\{ \begin{matrix} & {{e}^{x}}-e,\,\,\,x<1 \\ & \displaystyle\frac{\ln x}{x},\,\,\,\,\,\,x\ge 1 \\ \end{matrix} \right.$
Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου το οποίο περικλείεται
από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ , τον άξονα και τις ευθείες $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=e}$ .

Καλησπέρα σε όλους.

α)Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με

$\displaystyle{f^\prime(x)=2\,\eta \mu\,x\,\sigma \upsilon \nu\,x-\sqrt{2}\,\sigma \upsilon \nu\,x=\sqrt{2}\,\sigma \upsilon \nu\,x\left(\sqrt{2}\,\eta \mu\,x-1\right)}$

Για $\displaystyle{x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ είναι

$\displaystyle{f^\prime(x)=0\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu\,x\left(\sqrt{2}\,\eta \mu\,x-1\right)=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}\ \lor\, x=\frac{\pi}{2}}$

Επίσης, $\displaystyle{f^\prime(x)<0\ \forall x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right)\,\,,f^\prime(x)>0\ \forall x\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)}$

Επομένως, η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αυξουσα στο διάστημα $\displaystyle{\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]}$ ,

γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\displaystyle{\left[0,\frac{\pi}{4}\right]}$ και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο και μέγιστο στα σημεία

$\displaystyle{x_1=\frac{\pi}{4}}$ και $\displaystyle{x_2=\frac{\pi}{2}}$ αντίστοιχα, τους αριθμούς, $\displaystyle{f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3\sqrt{2}+1}{2}\,\,,f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+\sqrt{2}}$

β)Η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στα διαστήματα $\displaystyle{\left(-\infty,1\right)\,\,,\left(1,+\infty\right)}$ ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων

Θα εξετάσουμε τώρα την συνέχεια της συνάρτησης αυτής στο σημείο $\displaystyle{x=1}$

$\displaystyle{\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}\left(e^{x}-e\right)=e-e=0=f(1)}$

$\displaystyle{\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln 1}{1}=0=f(1)}$

Έτσι, η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και στο σημείο $\displaystyle{x=1}$ και άρα σε όλο το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Το ζητούμενο εμβαδό ισούται με $\displaystyle{E=\int_{0}^{e}\left|f(x)\right|\,dx}$ και επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής έχουμε ότι

$\displaystyle{E=\int_{0}^{1}\left|f(x)\right|\,dx+\int_{1}^{e}\left|f(x)\right|\,dx}$

Είναι,

$\displaystyle{0\leq x\leq 1\Rightarrow 1\leq e^{x}\leq e\Rightarrow 1-e\leq e^{x}-e\leq 0}$

$\displaystyle{1\leq x\leq e\Rightarrow 0\leq \ln x\leq 1\Rightarrow 0\leq \frac{\ln x}{x}\leq \frac{1}{x}}$

Συνεπώς,

$\displaystyle{\begin{aligned} E&=\int_{0}^{1}\left(e-e^{x}\right)\,dx+\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx\\&=\int_{0}^{1}\,d\left(e\,x-e^{x}\right)+\int_{1}^{e}\,d\left(\frac{1}{2}\ln^2 x\right)\\&=\left[e\,x-e^{x}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{1}{2}\ln^2 x\right]_{1}^{e}\\&=1+\frac{1}{2}\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}}$

BAGGP93 · #5

parmenides51 έγραψε:

2. α) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και παραγωγίζεται στο ${{x}_{0}}\in \Delta$ .
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to {x}_{0}}\frac{xf({{x}_{0}})-{{x}_{0}}f(x)}{x-{{x}_{0}}}=f({{x}_{0}})-{{x}_{0}}{f}'({{x}_{0}})}$ .
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{f}$
με $f(x)=\sqrt{x+3}+x-3,\,\,x\ge -3$ στο σημείο ${{x}_{0}}=-3$ .

α)

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}\frac{x\,f(x_0)-x_0\,f(x)}{x-x_0}&=\lim_{x\to x_0}\frac{x\,f(x_0)-x_0\,f(x)+x_0\,f(x_0)-x_0\,f(x_0)}{x-x_0}\\&=\lim_{x\to x_0}\frac{-x_0\left(f(x)-f(x_0)\right)+f(x_0)\left(x-x_0\right)}{x-x_0}\\&=\lim_{x\to x_0}\left[f(x_0)-x_0\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)\right]\\&=f(x_0)-x_0\,f^\prime(x_0)\end{aligned}}$

β)Είναι $\displaystyle{f(-3)=-6}$ και

$\displaystyle{\lim_{x\to -3}\frac{f(x)-f(-3)}{x+3}=\lim_{x\to -3}\frac{\sqrt{x+3}+x+3}{x+3}=\lim_{x\to -3}\frac{1+\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+3}}=+\infty}$

Βλέπουμε ότι η $\displaystyle{f}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο $\displaystyle{x_0=-3}$ και άρα δεν ορίζεται η εφαπτομένη

στο σημείο αυτό.

Δ' ΔΕΣΜΗ 1991

Δ' ΔΕΣΜΗ 1991

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1991

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1991

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1991

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1991

Μέλη σε σύνδεση