Συναρτησιακή

Dimitris X · #1

Να δείξετε ότι αν

γνησίως αύξουσα συνάρτηση ώστε $f:N \to [1,\infty)$ έτσι ώστε:

τότε $f(n)=n ,\forall n \in N$ .

#2

Δημήτρη η άσκησή σου ισχύει ακόμη και στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι απλά πολλαπλασιαστική (δηλαδή ισχύει f(mn)=f(m)f(n)

για

). Πόσο μάλλον εαν είναι πλήρως πολλαπλασιαστική όπως μας την έδωσες.

Για μια απόδειξη μπορείτε να διαβάσετε το άρθρο που παραθέτει ο κ. Μαυρογιάννης και ο Ηλίας (Ilias_Zad) εδώ, θεώρημα το οποίο έχει αποδείξει ο Erdos.

Φαντάζομαι όμως ότι η απόδειξη που έχεις στο μυαλό σου είναι elementary για να μπορεί να την κατανοήσει κάποιος που ασχολείται με Ολυμπιάδες.

Αλέξανδρος

Dimitris X · #3

Ναι Αλέξανδρε(μπορώ να σου μιλαω στον ενικό έτσι??) η λύση που ξέρω είναι κατάλληλη για ολυμπιάδες.Θα περιμένω μήπως κάποιος βρει μια ωραία λύση......

#4

Είναι το Α2 του 24ου Putnam.

http://www.mat.itu.edu.tr/gungor/IMO/ww ... utn63.html

Κοιτάξτε και το πρόσφατο θέμα εδώ

viewtopic.php?f=50&t=3087&p=17293#p17293

Η απόδειξη που γνωρίζω είναι διαφορετική.

Φιλικά,

Αχιλλεας

#5

Ας δούμε λοιπόν μία στοιχειώδη προσέγγιση στο πρόβλημα του Δημήτρη με χρήση της πλήρους πολλαπλασιαστικότητας της συνάρτησης.

Καταρχήν λόγω συνόλου τιμών έχουμε $f(n)\geq 1$ για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο

. Επίσης $f(1)=f(1\cdot 1)=f^2(1)$ άρα f(1)=1

. Συνεπώς

για κάθε

(λόγω μονοτονίας).

Ας πάρουμε τώρα δύο διαφορετικούς αριθμούς $m,n\geq 2$ και ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle\frac{\ln{f(m)}}{\ln{m}}\neq \displaystyle\frac{\ln{f(n)}}{\ln{n}}$ δηλαδή

$\displaystyle\frac{\ln{f(m)}}{\ln{f(n)}}\neq \displaystyle\frac{\ln{m}}{\ln{n}}$ . Θα δουλέψουμε με την περίπτωση

$0<\displaystyle\frac{\ln{f(m)}}{\ln{f(n)}} < \displaystyle\frac{\ln{m}}{\ln{n}}$ (και ανάλογα παίρνουμε και τις υπόλοιπες περιπτώσεις).

Τότε υπάρχουν θετικοί ακέραιοι k,l

που είναι τέτοιοι ώστε

$0<\displaystyle\frac{\ln{f(m)}}{\ln{f(n)}} < \displaystyle\frac{k}{l}< \displaystyle\frac{\ln{m}}{\ln{n}}$ διότι ανάμεσα σε δύο πραγματικούς υπάρχει πάντοτε ένας ρητός.

Η ανισότητα $\displaystyle\frac{\ln{f(m)}}{\ln{f(n)}} < \displaystyle\frac{k}{l}$ (λόγω της πλήρους πολλαπλασιαστικότητας) δίνει $f(m^l)<f(n^k) \ \ (1)$ ενώ η ανισότητα

$\displaystyle\frac{k}{l}< \displaystyle\frac{\ln{m}}{\ln{n}}$ δίνει $n^k < m^l \ \ (2)$

Οι (1),(2)

έρχονται σε αντίφαση λόγω της μονοτονίας της συνάρτησης.

Άρα τελικά $\displaystyle\frac{\ln{f(m)}}{\ln{m}}= \displaystyle\frac{\ln{f(n)}}{\ln{n}} = c$ για κάποιο θετικό αριθμό

. άρα

για κάθε $n\geq 2$ .

Λόγω της f(2)=2

παίρνουμε

άρα $\boxed{f(n)=n, \ \ \forall n\in\mathbb{N}}$ .

Αλέξανδρος

EDIT: Δημήτρη φυσικά και πρέπει να μου μιλάς στον ενικό!

#6

Μια διαφορετική λύση: Η οποία είναι λανθασμένη αφού υπέθεσα πως το σύνολο τιμών είναι το $\color{red} \mathbb{N}$ .

Πρέπει f(4) = 4

και αφού η

είναι γνησίως αύξουσα τότε f(n) = n

για κάθε $n \leqslant 4$ . Προχωράμε επαγωγικά. Θα δείξουμε με επαγωγή στο

ότι

για κάθε $n \leqslant 2k$ . Έχουμε ήδη δείξει τις περιπτώσεις k=1,2

.

Αλλά

από την επαγωγική υπόθεση, και 2k = f(2k) < f(2k+1) < f(2k+2) = 2k+2

άρα

.

Άρα επαγωγικά ισχύει ο ισχυρισμός μας και άρα έχουμε f(n)=n

για κάθε

.

Dimitris X · #7

Demetres έγραψε:Μια διαφορετική λύση:

Πρέπει και αφού η είναι γνησίως αύξουσα τότε για κάθε $n \leqslant 4$ . Προχωράμε επαγωγικά. Θα δείξουμε με επαγωγή στο ότι για κάθε $n \leqslant 2k$ . Έχουμε ήδη δείξει τις περιπτώσεις .

Αλλά από την επαγωγική υπόθεση, και άρα .

Άρα επαγωγικά ισχύει ο ισχυρισμός μας και άρα έχουμε για κάθε .

Νομίζω ότι υπάρχει λάθος......
To γεγονός ότι η f είναι γνησίως αύξουσα νομίζω ότι δεν μας δίνει κάτι συγκεκριμένο......(το σύνολο τιμών είναι $[1,\infty)$ )

#8

Dimitris X έγραψε: Νομίζω ότι υπάρχει λάθος......

Έχεις δίκιο

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση