A' ΔΕΣΜΗ 1999

parmenides51 · #1

1. α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση $f:\Delta \to \mathbb{R}$ παρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο $\displaystyle{x_0}$ του διαστήματος $\displaystyle{\Delta }$
τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{x_0}$ τότε ${f}'({{x}_{0}})=0$ .
β) Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ δυο φορές παραγωγίσιμη η οποία σε σημείο $\displaystyle{x_0 \in \mathbb{R}}$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο το $\displaystyle{0}$
και ικανοποιεί τη σχέση ${f}''(x)>4\left( {f}'(x)-f(x) \right)$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ .
i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $g(x)=f(x){{e}^{-2x}}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .
ii) Να αποδείξετε ότι είναι $f(x)\ge 0$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ .

2. α) Έστω ο μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{z = x+yi \,\,, x,y \in \mathbb{R}}$
i) Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{M(x,y)}$ που είναι τέτοια ώστε ${{\left| z-1 \right|}^{2}}+{{\left| z-3-2i \right|}^{2}}=6$ είναι κύκλος.
Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου αυτού.
ii) Έστω $\displaystyle{O}$ η αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου και $\displaystyle{(\varepsilon_1), )\varepsilon_2)}$ είναι οι δυο εφαπτόμενες που άγονται από το $\displaystyle{O}$ προς τον παραπάνω κύκλο.
Να βρείτε τις συντεταγμένες των δυο σημείων επαφής $\displaystyle{M1, M_2}$ .
β) Έστω $\displaystyle{\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}$ δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και έστω $\displaystyle{C}$ κύκλος με κέντρο $\displaystyle{(2,1)}$ και ακτίνα $\displaystyle{1}$ .
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα :
$\displaystyle{E=\{\omega \in \Omega |}$ το σημείο $\displaystyle{M(\omega,1)}$ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου $\displaystyle{C \}}$
$\displaystyle{Z=\{\omega \in \Omega | }$ το σημείο $\displaystyle{N(2,\omega}$ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου $\displaystyle{C \}}$
Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων E,Z

και $E\cup Z$ .

3. α) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι $\left| \overrightarrow{AB} \right|=4,\,\,\left| \overrightarrow{A\Gamma } \right|=6$ και η γωνία των διανυσμάτων $\displaystyle{\overrightarrow{AB}}$ και $\displaystyle{\overrightarrow{A\Gamma }}$ είναι $\displaystyle{\frac{\pi }{3}}$ .
Αν $\displaystyle{M}$ είναι το μέσο της πλευράς $\displaystyle{B\Gamma}$ τότε
i) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος $\overrightarrow{AM }$
ii) Να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος $\overrightarrow{AB}$ πάνω στο διάνυσμα $\overrightarrow{AM }$ είναι το διάνυσμα $\displaystyle{\frac{14}{19}\overrightarrow{AM}}$
β) Έστω $\displaystyle{A,B \,\,\, \nu\,\, x \,\, \nu}$ πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι πραγματικοί αριθμοί.
Έστω ότι ισχύει ${{A }^{2}}+AB +\mathbb{I}={{B }^{2}}+BA+\mathbb{I}=\mathbb{O}}$ όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ είναι ο $\displaystyle{\nu\,\, x \,\, \nu}$ μοναδιαίος πίνακας και $\displaystyle{\mathbb{O} }$ είναι ο μηδενικός $\displaystyle{\nu\,\, x \,\, \nu}$ πίνακας.
Να αποδείξετε ότι :
i) 1. Ο πίνακας $\displaystyle{A+B}$ έχει αντίστροφο
2. $\displaystyle{A=B}$
ii) ο $\displaystyle{\nu}$ είναι άρτιος.

4. α) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(t)=\frac{2t+3}{t+2},\,\,t\in [1,4]}$
i) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I=\int_{1}^{4}{f(t)dt}$
ii) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\int_{1}^{4}{f(t)\frac{x+2}{x+1}{{e}^{\displaystyle\frac{t}{{{x}^{2}}}}}dt,\,\,\,x>0}}$
1. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{{e}^{\displaystyle\frac{1}{{{x}^{2}}}}}\le {{e}^{\displaystyle\frac{t}{{{x}^{2}}}}}\le {{e}^{\displaystyle\frac{4}{{{x}^{2}}}}}}$ για κάθε $\displaystyle{t\in[1,4]}$ και $\displaystyle{ x>0}$ .
2. Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }g(x)}$
β) Έστω $h:[1,+\infty )\to \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση $\displaystyle{h(x)=1999(x-1)+\int_{1}^{x}{\frac{h(t)}{t}dt}}$ για κάθε $x\ge 1$
Να αποδείξετε ότι
i) $h(x)=1999\,x\,\ln x,\,\,\,x\ge 1$
ii) Η $\displaystyle{h}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[1,+\infty )$ .

orestisgotsis · #2

ΠΕΡΙΤΤΑ

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:1. α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση $f:\Delta \to \mathbb{R}$ παρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο $\displaystyle{x_0}$ του διαστήματος $\displaystyle{\Delta }$
τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{x_0}$ τότε ${f}'({{x}_{0}})=0$ .
β) Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ δυο φορές παραγωγίσιμη η οποία σε σημείο $\displaystyle{x_0 \in \mathbb{R}}$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο το $\displaystyle{0}$
και ικανοποιεί τη σχέση ${f}''(x)>4\left( {f}'(x)-f(x) \right)$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ .
i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $g(x)=f(x){{e}^{-2x}}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .
ii) Να αποδείξετε ότι είναι $f(x)\ge 0$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ .

α)Θεώρημα στο σχολικό βιβλίο

βi)Η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με

$\displaystyle{g^\prime(x)=f^\prime(x)\,e^{-2x}-2f(x)\,e^{-2x}=e^{-2x}\left(f^\prime(x)-2f(x)\right)\,,x\in\mathbb{R}}$

Η $\displaystyle{g^\prime}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με

$\displaystyle{g''(x)=-2\,e^{-2x}\left(f^\prime(x)-2f(x)\right)+e^{-2x}\left(f''(x)-2f^\prime(x)\right)=e^{-2x}\left[f''(x)-4\left(f^\prime(x)-f(x)\right)\right]>0\,,x\in\mathbb{R}}$

Επομένως, η $\displaystyle{g}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$

βii)Επειδή η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε σημείο $\displaystyle{x_0\in\mathbb{R}}$ το $\displaystyle{0}$

και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, έπεται ότι $\displaystyle{f(x_0)=0\,\, \kappa \alpha \iota\,\,f^\prime(x_0)=0}$

Έτσι, είναι και $\displaystyle{g^\prime(x_0)=0}$ και αφού η $\displaystyle{g^\prime}$ είναι γνησίως αύξουσα έχουμε

$\displaystyle{g^\prime(x_0)<0\ \forall x<x_0\,\,\,,g^\prime(x)\geq 0\ \forall x\geq x_0}$

Άρα, η $\displaystyle{g}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left(-\infty,x_0\right]}$ , γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left[x_0,+\infty\right)}$ και

$\displaystyle{x<x_0\Rightarrow g(x)>g(x_0)=0\Rightarrow f(x)\,e^{-2x}>0\Rightarrow f(x)>0\,(I)}$

$\displaystyle{x\geq x_0\Rightarrow g(x)\geq g(x_0)=0\Rightarrow f(x)\,e^{-2x}\geq 0\Rightarrow f(x)\geq 0\,(II)}$

Από τις σχέσεις $\displaystyle{(I)\,,(II)}$ είναι $\displaystyle{f(x)\geq 0\,\,,x\in\mathbb{R}}$

Γιώργος Απόκης · #4

2. α) Έστω ο μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{z = x+yi \,\,, x,y \in \mathbb{R}}$
i) Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{M(x,y)}$ που είναι τέτοια ώστε ${{\left| z-1 \right|}^{2}}+{{\left| z-3-2i \right|}^{2}}=6$ είναι κύκλος.
Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου αυτού.
ii) Έστω $\displaystyle{O}$ η αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου και $\displaystyle{(\varepsilon_1), )\varepsilon_2)}$ είναι οι δυο εφαπτόμενες που άγονται από το $\displaystyle{O}$ προς τον παραπάνω κύκλο.
Να βρείτε τις συντεταγμένες των δυο σημείων επαφής $\displaystyle{M1, M_2}$ .
β) Έστω $\displaystyle{\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}$ δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και έστω $\displaystyle{C}$ κύκλος με κέντρο $\displaystyle{(2,1)}$ και ακτίνα $\displaystyle{1}$ .
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα :
$\displaystyle{E=\{\omega \in \Omega |}$ το σημείο $\displaystyle{M(\omega,1)}$ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου $\displaystyle{C \}}$
$\displaystyle{Z=\{\omega \in \Omega | }$ το σημείο $\displaystyle{N(2,\omega}$ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου $\displaystyle{C \}}$
Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων E,Z

και $E\cup Z$ .

Λύση

α) i) Αντικαθιστούμε και έχουμε :

$\displaystyle{|(x-1)+yi|^2+|(x-3)+(y-2)i|^2=6\Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2+x^2-6x+9+y^2-4y+4=6\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{2x^2+2y^2-8x-4y+8=0\Leftrightarrow (x-2)^2+(y-1)^2=1}$ δηλαδή κύκλος με $\displaystyle{K(2,1)}$ και ακτίνα $\displaystyle{1}$ .

ii) Έστω $\displaystyle{(\epsilon):y=ax\Leftrightarrow ax-y=0}$ η εφαπτομένη του κύκλου. Τότε ισχύει :

$\displaystyle{d(K,\epsilon)=\rho\Leftrightarrow \frac{|2a-1|}{\sqrt{a^2+1}}=1\Leftrightarrow (2a-1)^2=a^2+1\Leftrightarrow 3a^2-4a=0\Leftrightarrow a=0,~a=\frac{4}{3}}$ .

Λύνοντας το σύστημα των $\displaystyle{y=0,~y=\frac{4}{3}x}$ με τον κύκλο έχουμε $\displaystyle{M_1(2,0),~M_2\left(\frac{6}{5},\frac{8}{5}\right)}$ .

β) To $\displaystyle{M}$ είναι εσωτερικό σημείο αν και μόνο αν $\displaystyle{(KM)<\rho\Leftrightarrow |w-2|<1\Leftrightarrow -1<w-2<1\Leftrightarrow 1<w<3}$

άρα $\displaystyle{E=\{2\}}$ και το $\displaystyle{N}$ είναι εξωτερικό σημείο αν και μόνο αν

$\displaystyle{(KN)>\rho\Leftrightarrow |w-1|>1\Leftrightarrow w<0~\acute{\eta}~w>2}$ άρα $\displaystyle{Z=\{3,4,5,6\}}$ . Έτσι, $\displaystyle{E\cup Z=\{2,3,4,5,6\}}$ .

O δειγματικός χώρος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα άρα $\displaystyle{P(E)=\frac{1}{6},~P(Z)=\frac{4}{6},~P(E\cup Z)=\frac{5}{6}}$ .

hlkampel · #5

parmenides51 έγραψε:3. α) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι $\left| \overrightarrow{AB} \right|=4,\,\,\left| \overrightarrow{A\Gamma } \right|=6$ και η γωνία των διανυσμάτων $\displaystyle{\overrightarrow{AB}}$ και $\displaystyle{\overrightarrow{A\Gamma }}$ είναι $\displaystyle{\frac{\pi }{3}}$ .
Αν $\displaystyle{M}$ είναι το μέσο της πλευράς $\displaystyle{B\Gamma}$ τότε
i) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος $\overrightarrow{AM }$
ii) Να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος $\overrightarrow{AB}$ πάνω στο διάνυσμα $\overrightarrow{AM }$ είναι το διάνυσμα $\displaystyle{\frac{14}{19}\overrightarrow{AM}}$
β) Έστω $\displaystyle{A,B \,\,\, \nu\,\, x \,\, \nu}$ πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι πραγματικοί αριθμοί.
Έστω ότι ισχύει ${{A }^{2}}+AB +\mathbb{I}={{B }^{2}}+BA+\mathbb{I}=\mathbb{O}}$ όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ είναι ο $\displaystyle{\nu\,\, x \,\, \nu}$ μοναδιαίος πίνακας και $\displaystyle{\mathbb{O} }$ είναι ο μηδενικός $\displaystyle{\nu\,\, x \,\, \nu}$ πίνακας.
Να αποδείξετε ότι :
i) 1. Ο πίνακας $\displaystyle{A+B}$ έχει αντίστροφο
2. $\displaystyle{A=B}$
ii) ο $\displaystyle{\nu}$ είναι άρτιος.

α) i. $\displaystyle{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A\Gamma } = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|\left| {\overrightarrow {A\Gamma } } \right|\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A\Gamma } = 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A\Gamma } = 12\;\left( 1 \right)}$

$\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A\Gamma } } \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A\Gamma } } \right|\;\left( 2 \right)$

${\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A\Gamma } } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A\Gamma } + {\left| {\overrightarrow {A\Gamma } } \right|^2}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)}$

${\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A\Gamma } } \right|^2} = 16 + 24 + 36 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A\Gamma } } \right| = 2\sqrt {19} \;\left( 3 \right)$

$\left( 2 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \sqrt {19}$

ii. Είναι $\pi \rho o{\beta _{\overrightarrow {AM} }}\overrightarrow {AB} //\overrightarrow {AM} \Rightarrow \pi \rho o{\beta _{\overrightarrow {AM} }}\overrightarrow {AB} = \lambda \overrightarrow { \cdot AM} \;\left( 4 \right)$ με $\lambda \in R$

$\displaystyle{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} \cdot \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A\Gamma } }}{2} = \frac{{{{\overrightarrow {AB} }^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A\Gamma } }}{2} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} = \frac{{16 + 12}}{2} \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} = 14\;\left( 5 \right)}$

Όμως $\displaystyle\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AM} \cdot \pi \rho o{\beta _{\overrightarrow {AM} }}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right),\left( 5 \right)} 14 = \lambda {\overrightarrow {AM} ^2} \Rightarrow \lambda = \frac{{14}}{{19}}\;\left( 6 \right)$

$\displaystyle\left( 4 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 6 \right)} \pi \rho o{\beta _{\overrightarrow {AM} }}\overrightarrow {AB} = \frac{{14}}{{19}}\overrightarrow { \cdot AM}$

: Διανυσματα.png (14.23 KiB) Προβλήθηκε 4840 φορές

β) i) 1. Είναι $\displaystyle{{A^2} + AB + I = O \Leftrightarrow A\left( {A + B} \right) = - I \Leftrightarrow - A\left( {A + B} \right) = I}$

Άρα ο πίνακας A + B

είναι αντιστρέψιμος με ${\left( {A + B} \right)^{ - 1}} = - A$

2. Όμως είναι: $\displaystyle{{B^2} + BA + I = O \Leftrightarrow B\left( {A + B} \right) = - I \Leftrightarrow - B\left( {A + B} \right) = I}$

Άρα ${\left( {A + B} \right)^{ - 1}} = - B$

Έτσι $- A = - B \Leftrightarrow A = B$

ii. $\displaystyle{{A^2} + AB + I = O\mathop \Leftrightarrow \limits^{A = B} 2{A^2} = - I \Leftrightarrow {A^2} = \frac{1}{2}\left( { - I} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\left| A \right|^2} = \frac{1}{2}{\left( { - 1} \right)^v}}$

Όμως $\displaystyle {\left| A \right|^2} > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\left( { - 1} \right)^v} > 0 \Rightarrow v\;\dot \alpha \rho \tau \iota o\varsigma$ (*)

(*) Αν $\displaystyle\left| A \right| = 0$ τότε ${\left| A \right|^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\left( { - 1} \right)^v} = 0$ άτοπο

A' ΔΕΣΜΗ 1999

A' ΔΕΣΜΗ 1999

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1999

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1999

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1999

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1999

Μέλη σε σύνδεση