Μιγαδικοί 45

mathxl · #1

45. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς

που είναι τέτοιοι ώστε $\left |z-\mid z+1\mid\right| =\left |z+\mid z-1\mid\right|$

#2

Είναι:

$\displaystyle{\left| {z - \left| {z + 1} \right|} \right| = \left| {z + \left| {z - 1} \right|} \right| \Leftrightarrow {\left| {z - \left| {z + 1} \right|} \right|^2} = {\left| {z + \left| {z - 1} \right|} \right|^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( {z - \left| {z + 1} \right|} \right)\left( {\bar z - \left| {z + 1} \right|} \right) = \left( {z + \left| {z - 1} \right|} \right)\left( {\bar z + \left| {z - 1} \right|} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow z\bar z - z\left| {z + 1} \right| - \bar z\left| {z + 1} \right| + {\left| {z + 1} \right|^2} = z\bar z + z\left| {z - 1} \right| + \bar z\left| {z - 1} \right| + {\left| {z - 1} \right|^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow {\left| {z + 1} \right|^2} - {\left| {z - 1} \right|^2} = \left( {z + \bar z} \right)\left( {\left| {z + 1} \right| + \left| {z - 1} \right|} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow 2\left( {z + \bar z} \right) = \left( {z + \bar z} \right)\left( {\left| {z + 1} \right| + \left| {z - 1} \right|} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( {z + \bar z} \right)\left( {\left| {z + 1} \right| + \left| {z - 1} \right| - 2} \right) = 0.}$

Άρα, έχουμε δύο περιπτώσεις:

$\bullet$ $\displaystyle{z + \bar z = 0 \Leftrightarrow z \in \mathbb{I},}$ ή

$\bullet$ $\displaystyle{\left| {z + 1} \right| + \left| {z - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow z \in \left[ { - 1,1} \right].}$

#3

mathxl έγραψε:45. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς που είναι τέτοιοι ώστε $\left |z-\mid z+1\mid\right| =\left |z+\mid z-1\mid\right|$

Υψώνοντας στη δευτέρα και μετά τις συνήθεις πράξεις θα καταλήουμε στη μορφή:

$\displaystyle{\left( {\left| {z + 1} \right| + \left| {z - 1} \right| - 2} \right)\left( {z + \overline z } \right) = 0 \Rightarrow \left| {z + 1} \right| + \left| {z - 1} \right| = 2 \vee z + \overline z = 0}$

Η δεύτερη δηλώνει πως κάθε φανταστικός αποτελεί και λύση (δεκτό αφού μία επαλήθευση θα μας πείσει)

Η πρώτη έχει ως λύσεις όλους τους μιγαδικούς (πραγματικούς στην ουσία) που έχουν ως εικόνα κάποιο εσωτερικό σημείο
του άξονα x'x

με άκρα

και

καθώς και τα άκρα αυτά που είναι απλό να δειχθεί πως επαληθεύουν.

Αυτό προκύπτει με πολλούς τρόπους. Ένας από αυτούς είναι η τριγωνική ανισότητα:

$\displaystyle{\left| {z + 1} \right| + \left| {z - 1} \right| \ge \left| {z + 1 - (z - 1)} \right| = 2}$

Η ισότητα ισχύει αν και μόνον τα διανύσματα θέσεως των εικόνων των z+1, 1-z

είναι ομόρροπα.

Δηλαδή:

Υπάρχει $\lambda>0$ ώστε:

$\displaystyle{x + 1 = \lambda (1 - x) \wedge y = - \lambda y\mathop \Rightarrow \limits^{\lambda > 0} x = \frac{{\lambda - 1}}{{\lambda + 1}},y = 0}$

Όμως:

$\displaystyle{x = \frac{{\lambda - 1}}{{\lambda + 1}} = \frac{{2\lambda - \lambda - 1}}{{\lambda + 1}} = \frac{{2\lambda }}{{\lambda + 1}} - 1 > - 1}$

και

$\displaystyle{x = \frac{{\lambda - 1}}{{\lambda + 1}} = \frac{{\lambda + 1 - 2}}{{\lambda + 1}} = 1 - \frac{2}{{\lambda + 1}} < 1}$ .

Κάθε προαναφερθέν σημείο, δηλαδή της μορφής (x,0)

με $-1\le x \le 1$ επαληθεύει την αρχική.

Y.Γ: Από καθαρή απροσεξία δεν ασχολήθηκα με τα άκρα που φανερά επαληθεύουν. Τα πρόσθεσα τώρα. 12/07/2011

parmenides51 · #4

σ' έχω δεί , κάπου κάπου σε ξέρω

μάλλον στο παλιό

ίδωμεν

parmenides51 · #5

εύρηκα

από το παλιό

mathxl · #6

Ποιος είναι ο ξένος μαθηματικός διαγωνιμσός;; Για να ενημερώσω το έγγραφο.

parmenides51 · #7

την άσκηση την πρότεινε αρχικά ο Θωμάς Ραϊκόφτσαλης εκεί

ρώτα τον ίδιο αν δεν αναφέρεται στην συζήτηση εκεί

mathxl · #8

Ο Θωμάς δεν θυμαται τι έφαγε χτες

. Όποιος ξέρει τον διαγωνισμό ας δώσει την πληροφορία.

#9

Υπάρχει και στο βιβλίο των Adreescu & Andrica σελ. 166 (όπως κι άλλες από αυτές που πρότεινε ο Βασίλης).
Δεν αναφέρει (το) διαγωνισμό εκεί.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Μιγαδικοί 45

Μιγαδικοί 45

Re: Μιγαδικοί 45

Re: Μιγαδικοί 45

Re: Μιγαδικοί 45

Re: Μιγαδικοί 45

Re: Μιγαδικοί 45

Re: Μιγαδικοί 45

Re: Μιγαδικοί 45

Re: Μιγαδικοί 45

Μέλη σε σύνδεση