Επίθεση στις άρρητες 18

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {5{x^2} - 2x + 10} + \sqrt {5{x^2} - 10x + 10} = 2\sqrt {3{x^2} + 6x - 9} }$ .

Γιώργος Απόκης · #2

Μία... επιθετική λύση!

Τα πρώτα δύο τριώνυμα είναι θετικά άρα πρέπει $\displaystyle{3x^2+6x-9\geq 0\Leftrightarrow x\in(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)}$ .

Yψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε :

$\displaystyle{5x^2-2x+10+5x^2-10x+10+2\sqrt{5x^2-2x+10}\sqrt{5x^2-10x+10}=12x^2+24x-36\Rightarrow }$

$\displaystyle{x^2+18x-28=\sqrt{5x^2-2x+10}\sqrt{5x^2-10x+10}\Rightarrow}$

$\displaystyle{ (x^2+18x-28)^2=\sqrt{5x^2-2x+10}^2\sqrt{5x^2-10x+10}^2\Rightarrow }$

$\displaystyle{x^4+36x^3+268x^2-1008x+784=25x^4-60x^3+120x^2-120x+100\overset{:4}\Rightarrow 6x^4-24x^3-37x^2+222x-171=0}$

Έχουμε $\displaystyle{171=3^2\cdot 19}$ και το πολυώνυμο έχει διπλή ρίζα το $\displaystyle{x=3}$ . Με το σχήμα Horner παίρνουμε την ισοδύναμη εξίσωση :

$\displaystyle{4(x-3)^2(6x^2+12x-19)=0}$ . To τριώνυμο έχει ρίζες $\displaystyle{\frac{-6\pm 5\sqrt{6}}{6}}$ που ανήκουν στο $\displaystyle{(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)}$

αλλά δεν επαληθεύουν. Άρα, $\displaystyle{x=3}$ .

Γιώργος Απόκης · #3

Γιώργος Απόκης έγραψε: To τριώνυμο έχει ρίζες $\displaystyle{\frac{-6\pm 5\sqrt{6}}{6}}$ που ανήκουν στο $\displaystyle{(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)}$
αλλά δεν επαληθεύουν.

Φυσικά δεν έκανα αντικατάσταση στην αρχική! Όταν υψώνουμε το $\displaystyle{x^2+18x-28}$ στο τετράγωνο, πρέπει

$\displaystyle{x^2+18x-28\geq 0\Leftrightarrow x\in(-\infty,-9-\sqrt{109}]\cup[-9+\sqrt{109},+\infty)}$ και οι δύο ρίζες δεν ανήκουν στο σύνολο.

#4

mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {5{x^2} - 2x + 10} + \sqrt {5{x^2} - 10x + 10} = 2\sqrt {3{x^2} + 6x - 9} }$ .

Kαι μια λίγο διαφορετική λύση:

Μια προφανής λύση είναι η $\displaystyle{x=3}$ ' Θέτοντας τώρα $\displaystyle{x-3=y}$ . η δοσμένη εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{\sqrt{5y^2 +28y+49}+\sqrt{5y^2 +20y+25}=2\sqrt{3y^2 +24y+36}}$ . (1). Τα τριώνυμα στο πρώτο μέλος της δοσμένης, έχουν διακρίνουσα

αρνητική και άρα είναι θετικά, για κάθε $\displaystyle{x\in R}$ . Πρέπει λοιπόν να είναι $\displaystyle{3x^2 +6x=9\geq 0}$ , από όπου προκύπτει

ότι $\displaystyle{x\leq -3-3\sqrt{2}}$ ή $\displaystyle{x\geq -3+3\sqrt{2}}$

Tώρα η (1) ισοδύναμα γράφεται: $\displaystyle{5y^2 +28y+49+5y^2 +20y+25+2\sqrt{5y^2 +28y+49}\sqrt{5y^2 +20y+25}=4(3y^2 +24y+36)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \sqrt{5y^2 +28y+49}\sqrt{5y^2 +20y+25}=y^2 +24y+35\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(5y^2 +28y+49)(5y^2 +20y+25)=(y^2 +24y+35)^2 \Leftrightarrow 6y^4 +48y^3 +71y^2 =0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{y^2 (6y^2 +48y+71)=0\Leftrightarrow y=0}$ , ή $\displaystyle{6y^2 +48y+71=0}$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι $\displaystyle{y_1 =\frac{-24+5\sqrt{6}}{6} , y_2 =\frac{-24-5\sqrt{6}}{6}}$ και άρα:

$\displaystyle{x=\frac{5\sqrt{6}}{6}-1}$ ή $\displaystyle{x=-\frac{5\sqrt{6}}{6}-1}$ . Οι δύο όμως αυτές άρρητες τιμές του $\displaystyle{x}$ , δεν ικανοποιούν

τους αρχικούς περιορισμούς και άρα απορρίπτονται και συνεπώς δεκτή είναι μόνο η λύση $\displaystyle{x=3}$

mathxl · #5

Δίνω και την ιδέα κατασκευής-λύση.
Αφού γράψουμε τους περιορισμούς , έχουμε:
$\sqrt {5{x^2} - 2x + 10} + \sqrt {5{x^2} - 10x + 10} = 2\sqrt {3{x^2} + 6x - 9} \Leftrightarrow$

$\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {4x} \right)}^2} - {{\left( {2x - 6} \right)}^2}}$
όμως
$\left| {2x + 1} \right| + \left| {2x - 1} \right| \le \sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {4x} \right)}^2} - {{\left( {2x - 6} \right)}^2}} \le \left| {\left( {2x + 1} \right) + \left( {2x - 1} \right)} \right|$

και λαμβάνοντας υπόψη και την τριγωνική θα έχουμε:
$\left| {2x + 1} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \left| {\left( {2x + 1} \right) + \left( {2x - 1} \right)} \right|$
που ισχύει όταν $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ , λύση δεκτή αφού επαληθεύει.

Επίθεση στις άρρητες 18

Επίθεση στις άρρητες 18

Re: Επίθεση στις άρρητες 18

Re: Επίθεση στις άρρητες 18

Re: Επίθεση στις άρρητες 18

Re: Επίθεση στις άρρητες 18

Μέλη σε σύνδεση