Θέλει Eisenstein;

Ιστοσελίδα · #1

Έστω

πρώτος αριθμός, ώστε να είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των $a,b \in \mathbb{N}$ και p^2

διαιρεί τον

.
Να αποδειχθεί ότι το πολυώνυμο $P(x) = x^{n+2} + ax^{n+1} + bx^{n} + a + b$ δεν παραγοντοποιείται ως γινόμενο δύο πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές, τα οποία να έχουν βαθμό μεγαλύτερο του 1.

Tolis97 · #2

Αν δε κάνω κάπου λάθος: p|a+b,0,...,0,b,a

. Ακόμα $p^2 \nmid b$ (αλλιώς θα ήταν $(a,b) \geq p^2$ ) και $p \nmid 1$ οπότε το

(σύμφωνα με το κριτήριο του Eisenstein) είναι ανάγωγο στο $\mathbb{Q}$ συνεπώς και στο $\mathbb{Z}$

#3

Ο σταθερός όρος είναι το a+b.

Πώς εξασφαλίζεις ότι $p^2 \nmid a+b$ ? Εκτός αν δεν κατάλαβα κάτι.

kostas_zervos · #4

smar έγραψε:Ο σταθερός όρος είναι το Πώς εξασφαλίζεις ότι $p^2 \nmid a+b$ ? Εκτός αν δεν κατάλαβα κάτι.

Μάλλον εννοεί ότι αν p^2|a+b

, τότε (αφού p^2|a

) θα είναι p^2|b

άρα

ΑΤΟΠΟ.

Tolis97 · #5

smar έγραψε:Ο σταθερός όρος είναι το Πώς εξασφαλίζεις ότι $p^2 \nmid a+b$ ? Εκτός αν δεν κατάλαβα κάτι.

Έστω

, αφού

θα είναι $p^2 | (a+b)-a \Rightarrow p^2 | b$ . Τώρα $p^2|a,b \Rightarrow p^2|(a,b) = p$ , άτοπο. Εκτός αν κάνω κάπου λάθος...

Edit: Τώρα το είδα... Η αιτιολόγηση μου είναι ίδια με του κ.Κώστα

#6

Ωραία τώρα είναι σαφές!
Με αυτό που έγραφες θεώρησα ότι χρησιμοποιούσες το

σαν σταθερό όρο.

Θέλει Eisenstein;

Θέλει Eisenstein;

Re: Θέλει Eisenstein;

Re: Θέλει Eisenstein;

Re: Θέλει Eisenstein;

Re: Θέλει Eisenstein;

Re: Θέλει Eisenstein;

Μέλη σε σύνδεση