Δύο κύκλοι

kostas_zervos · #1

: ask159.png (10.96 KiB) Προβλήθηκε 589 φορές

Δίνεται κύκλος C_1

κέντρου

και ακτίνας

και ένα σημείο του

. Με κέντρο το

και ακτίνα

γράφουμε κύκλο C_2

.

Το σημείο

κινείται στον κύκλο C_2

και από το

φέρνουμε τις εφαπτόμενες $SP\;,\;SQ$ στον C_1

.

α)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου

του

.
β)Να βρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του (PQ)

.

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε μέθοδος εντός ή εκτός φακέλου...

S.E.Louridas · #2

Καλημέρα στον Κώστα Ζερβό και στους Μοναχικούς, Καλοκαιρινούς, Κυριακάτικους φίλους, συναδέλφους και επισκέπτες του mathematica.

Μία μόνο σκέψη σε hide, ώστε να ασχοληθούν και άλλοι λύτες:
1ο) Είναι το αντίστροφο του κύκλου C_2

με πόλο

και δύναμη (ή λόγο) R^2

.

2ο) Στο ορθογώνιο τρίγωνο MOQ

έχουμε την υποτείνουσα OQ=R

σταθερή, οπότε το ελάχιστο, μέγιστο του

εξαρτάται από το αντίστοιχο μέγιστο, ελάχιστο του

που εξαρτάται από το αντίστοιχα ελάχιστο, μέγιστο του

καθότι $OM \cdot OS = R^2 ...$

edit: Εξαγωγή της απόκρυψης μετά την παρέμβαση του Νίκου (κάτω).

#3

kostas_zervos έγραψε:
Το συνημμένο ask159.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται κύκλος κέντρου και ακτίνας και ένα σημείο του . Με κέντρο το και ακτίνα γράφουμε κύκλο .

Το σημείο κινείται στον κύκλο και από το φέρνουμε τις εφαπτόμενες $SP\;,\;SQ$ στον .

α)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του .
β)Να βρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του .

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε μέθοδος εντός ή εκτός φακέλου...

: Δύο κύκλοι.png (30.55 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές

α) Επειδή ${R^2} = OM \cdot OS$ το

είναι ομόλογο του

στην αντιστροφή $\boxed{H(O,{R^2})}$ .

Επειδή το

ανήκει στον κύκλο $({k_2})$ , το

θα ανήκει στον κύκλο $({k_3})$ που έχει

διάμετρο το $K'\,D'$ . όπου $K'\,\,,\,\,D'$ είναι τα ομόλογα των αντιδιαμετρικών σημείων

$K\,,\,\,D$ αντίστοιχα του $({k_1})$ στην προαναφερθείσα αντιστροφή .

Τα $K'\,\,,\,\,D'$ στη συγκεκριμένη άσκηση προκύπτουν από τις σχέσεις :

$OK' \cdot (R + 3R) = {R^2} \Rightarrow \boxed{OK' = \frac{R}{4}}$ και $OD' \cdot (3R - R) = {R^2} \Rightarrow \boxed{OD' = \frac{R}{2}}$ .

β) Είναι $P{M^2} = OM \cdot OS \Rightarrow 4P{M^2} = 4OM \cdot OS \Rightarrow P{Q^2} = 4OM \cdot OS$ .

Μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μήκους

έχουμε όταν το

βρεθεί στις θέσεις ${S_2}$

και ${S_1}$ αντίστοιχα και είναι : $P{Q_{\max }} = \dfrac{{R\sqrt {15} }}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,P{Q_{min}} = R\sqrt 3$ .

Φιλικά Νίκος

kostas_zervos · #4

και

Λείπει μια λύση με αναλυτική γεωμετρία για να δικαιολογήσουμε και το φάκελο....

#5

kostas_zervos έγραψε::

Λείπει μια λύση με αναλυτική γεωμετρία για να δικαιολογήσουμε και το φάκελο)

Αναλυτικά:

: Αναλυτικά_2_κύκλοι_ok.png (24.74 KiB) Προβλήθηκε 445 φορές

(Βασικά στο πρώτο ερώτημα).

Επιλέγω αρχή το

κέντρο του κύκλου $({k_1})$ και άξονα οριζόντιο την ευθεία

.

Έτσι $({k_1}) \to {x^2} + {y^2} = {R^2}\,\,,\,\,({k_2}) \to {(x - R)^2} + {y^2} = {(3R)^2}$ .

Αν S(a,b)

αφού ανήκει στον $({k_2})$ θα επαληθεύει την ${(a - R)^2} + {b^2} = {(3R)^2}\,\,(1)$ .

Η ευθεία $PQ \to ax + by = {R^2}\,\,(2)$ ως πολική του

στον κύκλο $({k_1})$ .

Για κάθε M(x,y)

σημείο του τόπου θα είναι :

$\left\{ \begin{gathered} ax + by = {R^2} \hfill \\ y = \dfrac{b}{a}x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \dfrac{{8Rx}}{{R - 2x}} \hfill \\ b = \dfrac{{8ry}}{{R - 2x}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Τώρα η (1)

γίνεται: $8{x^2} + 8{y^2} + 2Rx - {R^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{{{(x + \dfrac{R}{8})}^2} + {y^2} = {{(\dfrac{{3R}}{8})}^2}}$ . Συνεπώς το

ανήκει στον κύκλο με την πιο πάνω εξίσωση .

Δεύτερο ερώτημα.

Η χορδή

του κύκλου $({k_1})$ γίνεται μέγιστη όταν το απόστημα της

γίνει ελάχιστο δηλαδή αν το

βρεθεί στη θέση ${S_2}$ και ομοίως ελάχιστη αν το

βρεθεί στη θέση ${S_1}$ και προκύπτουν:

$\boxed{P{Q_{\max }} = \frac{{R\sqrt {15} }}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,P{Q_{min}} = R\sqrt 3 }$

Φιλικά Νίκος

kostas_zervos · #6

Δύο κύκλοι

Δύο κύκλοι

Re: Δύο κύκλοι

Re: Δύο κύκλοι

Re: Δύο κύκλοι

Re: Δύο κύκλοι

Re: Δύο κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση