Μεγιστο Εμβαδο

papel · #1

Δοθεντος τυχαιου κυκλου και σημειου C εκτος κυκλου. Θεωρουμε δυο τυχαια σημεια Α και Β του κυκλου (βλ. σχημα) Να δειξετε οτι το τριγωνο ABC με το μεγιστο εμβαδον ειναι ισοσκελες.

#2

Εστω oτι εχoυμε βρει τα σημεια Α, Β πoυ μεγιστoπoιoυν τo εμβαδoν τoυ τριγωνoυ CAB. Κρατωντας τo Α σταθερo βλεπoυμε oτι η εφαπτoμενη τoυ κυκλoυ στo Β oφειλει να ειναι παραλληλη πρoς την CA: αν oχι τoτε μπoρoυμε να μεγαλωσoυμε τo εμβαδoν αυξανoντας τo υψoς τoυ τριγωνoυ δια της επιλoγης oπoιoυδηπoτε σημειoυ Β'' επι τoυ τoξoυ ΒΒ', oπoυ ΒΒ' η πρoς την CA παραλληλη χoρδη. Ακριβως με τoν ιδιo τρoπo, κρατωντας τo Β σταθερo αυτην την φoρα, βλεπoυμε oτι η εφαπτoμενη τoυ κυκλoυ στo Α oφειλει να ειναι παραλληλη πρoς την CΒ: αυτo oμως σημαινει oτι τo CADB, oπoυ D τo σημειo τoμης των δυo εφαπτoμενων, ειναι ρoμβoς

Γιωργoς Μπαλoγλoυ

#3

ΠΩΣ βρισκoυμε τα σημεια Α, Β πoυ μεγιστoπoιoυν τo εμβαδoν τoυ τριγωνoυ CAΒ? Ευκoλα βλεπoυμε oτι τo κεντρo τoυ κυκλoυ Κ ειναι τo oρθoκεντρo τoυ CAB: αναζητωντας τoν γεωμετρικo τoπo των σημειων Α για τα oπoια τo oρθoκεντρo τoυ CAB, oπoυ Β τo συμμετρικo τoυ Α ως πρoς την CK, ειναι τo Κ ... βρισκω με αναλυτικη oτι αυτoς δεν ειναι αλλoς απo τoν δεξιo κλαδo της υπερβoλης (x+d/2)^2 - y^2 = (d^2)/4, oπoυ C = (-d, 0) -- τo συνoλo δηλαδη των σημειων Α για τα oπoια εχoυμε |AC| - |AK| = d. Τα Α, Β ειναι επoμενως oι τoμες τoυ κυκλoυ και της υπερβoλης.

[Μπερδευτηκα καπως με τις εστιες -- τα κoκκινισμενα δεν στεκoυν, και δεν αξιζει τoν κoπo να διoρθωθoυν

]

Καμμια αλλη ιδεα?

Γιωργoς Μπαλoγλoυ

#4

Έστω D η προβολή του C στην ΑΒ και L,M οι προβολες του Κ αντίστοιχα στις CD , ΑΒ αντίστοιχα
Είναι $\displaystyle{2(CAB)=(AB)(CD)=2(AM)((CL)+(LD))=2rsin \omega(dcos \phi+rcos\omega)}$ , όπου $\displaystyle{\phi =\angle DCK , \omega=\angle AKM , d=(AO) , r=(AK)}$
Τότε $2(CAB)\le 2rsin \omega(d+rcos\omega)}$ η ισότητα ισχύει οταν φ=0 δηλαδή το τρίγωνο CAb είναι ισοσκελές
Υπάρχουν πολλά ισοσκελή τρίγωνα μεγίστου εμβαδού ανάλογα με την ω
Με παραγώγους θα μπορούσαμε να βρούμε ποιο απ'αυτά έχει το μέγιστο εμβαδό, οπότε αυτό θα είναι και το ζητούμενο.

#5

R BORIS έγραψε:Υπάρχουν πολλά ισοσκελή τρίγωνα μεγίστου εμβαδού ανάλογα με την ω
Με παραγώγους θα μπορούσαμε να βρούμε ποιο απ'αυτά έχει το μέγιστο εμβαδό, οπότε αυτό θα είναι και το ζητούμενο.

Επιχειρώ να συνεχίσω την επίλυση από το σημείο που σταμάτησε ο Ροδόλφος, αλλά με διαφορετική προσέγγιση.
Επαναδιατυπώνω το δεύτερο τμήμα του αρχικού προβλήματος:
Από όλα τα ισοσκελή τρίγωνα που έχουν κορυφή σταθερό σημείο εκτός δοσμένου κύκλου και βάση χορδή του κύκλου, προσδιορίστε αυτό με το μέγιστο εμβαδό.

Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και κύκλο με εξίσωση x² + y² = 1. Στον ημιάξονα Οx΄ παίρνουμε σημείο C(c, 0), c < -1.

: megisto embado 01.png (7.74 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

Έστω Α(x, y), B(x, -y), $\displaystyle 0 \le x < 1,\;\;0 < y \le 1$ σημεία του κύκλου. Το τρίγωνο ΑΒC είναι ισοσκελές, με εμβαδόν (ΑΒC) = $\displaystyle \frac{{\left( {x - c} \right) \cdot 2y}}{2} = y \cdot \left( {x - c} \right)$ .
Εφόσον $\displaystyle x^2 + y^2 = 1,$ θα είναι (ΑΒC) = $\displaystyle E\left( x \right) = \sqrt {1 - x^2 } \left( {x - c} \right)$

Περιορίσαμε το x στο [0, 1), γιατί είναι προφανές ότι το τρίγωνο με κορυφές C, A΄(-x, y), B΄(-x, -y) έχει μικρότερο εμβαδό από το ΑΒC, εφόσον έχει ίση βάση (2y) και μικρότερο αντίστοιχο ύψος (-c-x).

Είναι: $\displaystyle E'\;\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - x^2 } }}\left( {x - c} \right) + \sqrt {1 - x^2 } = \frac{{ - 2x^2 + cx + 1}}{{\sqrt {1 - x^2 } }},c < - 1,\;\;\;0 \le x < 1$

Η εξίσωση έχει δύο ρίζες: $\displaystyle x_1 = \frac{{c - \sqrt {c^2 + 8} }}{4} < 0,\;\;\;\;0 < x_2 = \frac{{c + \sqrt {c^2 + 8} }}{4} < 1$ , οπότε παρουσιάζει μέγιστο στο $\displaystyle x_2$ .
Το τρίγωνο με συντεταγμένες $\displaystyle A\left( {x_2 ,\;\sqrt {1 - x_2^2 } } \right),\;B\left( {x_2 ,\; - \sqrt {1 - x_2^2 } } \right),\;C\left( {c,0} \right)$ έχει το μέγιστο εμβαδόν από όλα τα ισοσκελή τρίγωνα με κορυφή το σταθερό σημείο C και βάση ΑΒ χορδή του δοσμένου κύκλου.

Γιώργος Ρίζος

Μεγιστο Εμβαδο

Μεγιστο Εμβαδο

Re: Μεγιστο Εμβαδο

Re: Μεγιστο Εμβαδο

Re: Μεγιστο Εμβαδο

Re: Μεγιστο Εμβαδο

Μέλη σε σύνδεση