Ἀντιδιαμετρικά σημεῖα στήν σφαῖρα

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Ἔστω ὅτι ἡ ἐπιφάνεια σφαίρας γράφεται ὡς ἕνωση τριῶν κλειστῶν συνόλων. Δείξατε ὅτι τουλάχιστον ἕνα ἐξ αὐτῶν τῶν κλειστῶν περιέχει ζεῦγος ἀντιδιαμετρικῶν σημείων.

#2

Είναι ουσιαστικά το θεώρημα Borsuk-Ulam στις δύο διαστάσεις. Δυστυχώς σε αντίθεση με την περίπτωση του κύκλου, σε αυτήν την περίπτωση δεν θυμάμαι να έχω δει κάποια πιο στοιχειώδη απόδειξη. (Π.χ. απόδειξη η οποία να μην γενικεύεται σε περισσότερες διαστάσεις.)

Ανδρέας Πούλος · #3

Έκανα μία ανεπιτυχή (ουσιαστικά λανθασμένη προσπάθεια απόδειξης), το λάθος μου το εξήγησε ο Μιχάλης Λάμπρου σε προσωπική επικοινωνία.
Μετά βρήκα κάτι που φωτίζει την κατάσταση.Πρόκειται για µία άλλη έκδοση του θεωρήματος των Borsuk-Ulam.
Το ισοδύναμο αυτό θεώρημα ονομάζεται Lyusternik-Shnirelmann.
Το βρήκα στην διπλωματική εργασία στο Πολυτεχνείο του Α.Π.Θ. του Αλέξανδρου Γελαστόπουλου, παλιού μαθητή στον όμιλο Μαθηματικών του Π.Σ.Π.Θ..
Η εργασία του είναι δημοσιευμένη εδώ:
http://vivliothmmy.ee.auth.gr/1186/1/Thesis.pdf.

Αν δούμε τις σελίδες 36-37 της διπλωματικής, το θεώρημα αυτό διατυπώνεται ως εξής:
Έστω τα κλειστά σύνολα

,

, ...,

, που καλύπτουν τη σφαίρα $S^{n}$ .
Δηλαδή, $\bigcup_{i=1}^{n+1}{A_{i}}= S^{n}$ .
Τότε ένα τουλάχιστον από τα σύνολα

περιέχει δύο αντιδιαµετρικά σηµεία

και

.
Αν για

θέσουμε τον αριθμό 3 είναι η περίπτωση που συζητάμε.
Βέβαια, ο Γ.-Σ. Σμυρλής ζητά υποθέτω μία απόδειξη όχι βασισμένη σε "γνωστά" θεωρήματα.

Ανδρέας Πούλος

Γ.-Σ. Σμυρλής · #4

Ἡ γενίκευση πράγματι ἰσχύει:

Ἄν ἡ σφαῖρα γραφτεῖ ὡς ἕνωση κλειστῶν, τότε τουλάχιστον ἕνα ἐξ αὐτῶν περιέχει ζεῦγος ἀντιδιαμετρικῶν σημείων.

Αύτό ἀποτελεῖ ἀμεση συνέπεια τοῦ θεωρήματος Borsuk-Ulam:

Κάθε συνεχής συνάρτηση $f: S^n\to\mathbb R^n$ λαμβάνει τήν ἴδια τιμή σέ δύο ἀντιδιαμετρικά σημεῖα.

Ἡ ἀπόδειξη προκύπτει ὡς ἑξῆς: Ὁρίζομε τήν συνάρτηση $f:S^n\to\mathbb R^n$ ὡς ἑξῆς:

$\displaystyle{ f(x) \,=\, \big(\mathrm{dist}(x,A_1),\ldots,\mathrm{dist}(x,A_n)\big), }$

ὅπου $\mathrm{dist}(x,B)$ ἡ ἀπόσταση τοῦ σημείου

ἀπό τό σύνολο

. Ἐπειδή τά A_i

εἶναι συμπαγῆ, ὡς κλειστά ὑποσύνολα συμπαγοῦς, τότε $\mathrm{dist}(x,A_i)=0$ ἄν καί μὀνον ἄν $x\in A_i$ . Χάριν τοῦ Θεωρήματος Borsuk-Ulam ὑπάρχει $x\in S^n$ , ὥστε f(-x)=f(x)

ἤ

$\displaystyle{ \big(\mathrm{dist}(-x,A_1),\ldots,\mathrm{dist}(-x,A_n)\big) = \big(\mathrm{dist}(x,A_1),\ldots,\mathrm{dist}(x,A_n)\big). }$

Ἄν γιά κάποιο $k=1,\ldots,n$ ἰσχύει ὅτι $\mathrm{dist}(x,A_k)=\mathrm{dist}(-x,A_k)=0$ , τότε $x,-x\in A_k$ . Ἄν $\mathrm{dist}(x,A_k)>0$ , διά κάθε $k=1,\ldots,n$ , τότε τά

καί

δέν ἀνήκουν σέ κανένα ἀπό τά $A_1,\ldots,A_N$ , ἄρα ἀνήκουν στό $A_{n+1}$ .

#5

Ας αποδειχθεί και το αντίστροφο. Πιο συγκεκριμένα, θεωρώντας ως γνωστό ότι

Ἄν ἡ σφαῖρα γραφτεῖ ὡς ἕνωση κλειστῶν, τότε τουλάχιστον ἕνα ἐξ αὐτῶν περιέχει ζεῦγος ἀντιδιαμετρικῶν σημείων,

αποδείξτε ότι

Κάθε συνεχής συνάρτηση $f: S^n\to\mathββ R^n$ λαμβάνει τήν ἴδια τιμή σέ δύο ἀντιδιαμετρικά σημεῖα.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #6

Ἀπαιτεῖ τήν γνώση τοῦ ἑξῆς:

Τό δύναται νά γραφεῖ ὡς ἕνωση κλειστῶν του ὑποσυνόλων, τά ὁποῖα δέν περιέχουν ζεύγη ἀντιδιαμετρικῶν σημείων.

Στοιχειῶδες μέν ἀλλά ὄχι ἐντελῶς προφανές.

Ἀντιδιαμετρικά σημεῖα στήν σφαῖρα

Ἀντιδιαμετρικά σημεῖα στήν σφαῖρα

Re: Ἀντιδιαμετρικά σημεῖα στήν σφαῖρα

Re: Ἀντιδιαμετρικά σημεῖα στήν σφαῖρα

Re: Ἀντιδιαμετρικά σημεῖα στήν σφαῖρα

Re: Ἀντιδιαμετρικά σημεῖα στήν σφαῖρα

Re: Ἀντιδιαμετρικά σημεῖα στήν σφαῖρα

Μέλη σε σύνδεση