Καλοκαιρινή συναρτησιακή 33

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f\left ( x^{2}+f(y)-y\right )=f(x)^{2}-2013f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Thanasis Tasoulas · #2

Η λύση είναι λάθος και την αφήνω μόνο για να μάθουν όσοι δεν το ξέρουν αυτό το λάθος.
Μια περίπλοκη λύση:
$f({{x}^{2}}+f(y)-y)={{f}^{2}}(x)-2013f(y),(1)$
$(1):y=0:f({{x}^{2}}+f(0))={{f}^{2}}(x)-2013f(0),(2)$
$(1):x=0:f(f(x)-x)={{f}^{2}}(0)-2013f(x),(3)$
$(1):y={{x}^{2}}:f\left( f({{x}^{2}}) \right)={{f}^{2}}(x)-2013f({{x}^{2}}),(4)$
$(2):x=-x:f({{x}^{2}}+f(0))={{f}^{2}}(-x)-2013f(0)$ , άρα
${{f}^{2}}(x)={{f}^{2}}(-x)\Rightarrow \color{red} f(x)=f(-x)$ ή $\color{red} f(x)=-f(-x),\forall x\in \mathbb{R}$ .
Edit: Έσβησα τη συνέχεια που είχα δώσει γιατί και αυτή είχε λάθη.

Εκείνο το σημείο που τονίζω με τα κόκκινα γράμματα είναι λάθος αφού η συνάρτηση μπορεί να είναι σε ένα υποδιάστημα του R άρτια και στο επόμενο να είναι περιττή και επομένως δεν είναι απαραίτητο να είναι μόνο άρτια ή μόνο περιττή επομένως ο ισχυρισμός μου ότι η f θα πρέπει να είναι είτε άρτια είτε περιττή σε όλο το R δε ευσταθεί.
Επομένως η παραπάνω λύση είναι λάθος.
Ευχαριστώ τον socrates για την επισήμανση.

Thanasis Tasoulas · #3

Επαναφορά.

#4

Δείτε:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=526796

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 33

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 33

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 33

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 33

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 33

Μέλη σε σύνδεση