ΣΥΣΤΗΜΑ 23 (Mihai Bencze 2005)

nikoszan · #1

Να λυθεί το συστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{{1 + x}} + 2\sqrt {\frac{{2y}}{{1 + y}}} = 3\\ \frac{2}{{1 + y}} + 2\sqrt {\frac{{2z}}{{1 + z}}} = 3\\ \frac{2}{{1 + z}} + 2\sqrt {\frac{{2x}}{{1 + x}}} = 3\\ \left( {x,y,z \in \left( {0. + \infty } \right)} \right) \end{array} \right.}$
Ν.Ζ.

S.E.Louridas · #2

Απλά για ένα Καλοκαιρινό γειά στον Νίκο, μέσα όμως σε απόκρυψη για να ασχοληθούν και άλλοι λύτες.

Αν $\sqrt {\frac{{2x}} {{1 + x}}} = \sqrt {2 - \frac{2} {{1 + x}}} = a \Rightarrow \frac{2} {{1 + x}} = 2 - a^2 .$
Αρκεί λοιπόν να επιλύσουμε το σύστημα
$a^2 - 2b + 1 = 0,\quad b^2 - 2c + 1 = 0,\quad c^2 - 2a + 1 = 0,$ που οδηγεί με Μαθηματική ακρίβεια στην ισότητα a=b=c=1

δηλαδή στο x=c=z=1

.

edit: Έγινε άρση της απόκρυψης.

kostas_zervos · #3

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το συστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{{1 + x}} + 2\sqrt {\frac{{2y}}{{1 + y}}} = 3\\ \frac{2}{{1 + y}} + 2\sqrt {\frac{{2z}}{{1 + z}}} = 3\\ \frac{2}{{1 + z}} + 2\sqrt {\frac{{2x}}{{1 + x}}} = 3\\ \left( {x,y,z \in \left( {0. + \infty } \right)} \right) \end{array} \right.}$
Ν.Ζ.

Άλλος τρόπος:

Είναι $\dfrac{2x}{x+1}=2-\dfrac{2}{x+1}$ .

Έστω η $f(t)=t+2\sqrt{2-t}\;,\;t\leq 2$ , συνεχής στο $(-\infty,2]$ και παραγωγίσιμη στο $(-\infty,2)$ με $f'(x)=\dfrac{\sqrt{2-t}-1}{\sqrt{2-t}}$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι έχει μέγιστο το f(1)=3

.

Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις έχουμε

$\dfrac{2}{x+1}+2\sqrt{2-\dfrac{2}{x+1}}+\dfrac{2}{y+1}+2\sqrt{2-\dfrac{2}{y+1}}+\dfrac{2}{z+1}+2\sqrt{2-\dfrac{2}{z+1}}=9$ .

Αλλά για κάθε x>0

είναι $x+1>1 \iff \dfrac{2}{x+1}<2$ , επομένως η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

$f\left(\dfrac{2}{x+1}\right)+f\left(\dfrac{2}{y+1}\right)+f\left(\dfrac{2}{z+1}\right)=9$ .

Αλλά $f(t)\leq 3$ με την ισότητα να ισχύει μόνο για t=1

, άρα για να ισχύει η παραπάνω ισότητα θα πρέπει

$\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{2}{y+1}=\dfrac{2}{z+1}=1$ , από όπου έχουμε (x,y,z)=(1,1,1)

(που επαληθεύει).

parmenides51 · #4

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το συστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{{1 + x}} + 2\sqrt {\frac{{2y}}{{1 + y}}} = 3\\ \frac{2}{{1 + y}} + 2\sqrt {\frac{{2z}}{{1 + z}}} = 3\\ \frac{2}{{1 + z}} + 2\sqrt {\frac{{2x}}{{1 + x}}} = 3\\ \left( {x,y,z \in \left( {0. + \infty } \right)} \right) \end{array} \right.}$

θέτω $\displaystyle{f(x)=3-2\sqrt {\frac{2x}{1 + x}}}$ με $\displaystyle{x\in (0,+\infty)}$

και $\displaystyle{g(x)=\frac{2}{1 + x} }$ με $\displaystyle{x\in (0,+\infty)}$

το σύστημα γράφεται $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} g(x)=f(y)\\ g(y)=f(z)\\ g(z)=f(x) \end{array} \right.}$ (S)

η $\displaystyle{f(x)}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ διότι $\displaystyle{f'(x)=-\frac{\displaystyle \frac{2}{(1 + x)^2}}{\displaystyle\sqrt {\frac{2x}{1 + x}}}<0}$

η $\displaystyle{g(x)}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ διότι $\displaystyle{g'(x)=-\frac{2}{(1 + x)^2}<0}$

Έστω $x=\min \{x,y,z\}$ . Τότε έχουμε τις περιπτώσεις $x\leq y\leq z$ ή $x\leq z\leq y$ .

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x\leq y\leq z \mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{g \searrow}g(x)\geq g(y)\geq g(z)\limits{_{\Longrightarrow }^{(S)}f(y)\geq f(z)\geq f(x)\limits{_{\Longrightarrow }^{f \searrow} y\leq z\leq x}$

οπότε $\displaystyle{x\leq y\leq z\leq x \Rightarrow x=y=z}$

άρα $\displaystyle{(x,y,z)=(a,a,a)}$ όπου $\displaystyle{a}$ ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=g(x)}$

είναι $\displaystyle{\frac{2x}{1 + x}=\frac{2x+2-2}{1 + x}=\frac{2(x+1)-2}{1 + x}=\frac{2(x+1)}{1 + x}-\frac{2}{1 + x}=2-\frac{2}{1 + x}}$

$\displaystyle{f(x)=g(x) \Leftrightarrow \frac{2}{{1 + x}} + 2\sqrt {\frac{2x}{1 + x}} = 3 \Leftrightarrow \frac{2}{1 + x} + 2\sqrt {2- \frac{2}{1 + x}} = 2+1}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \sqrt {2- \frac{2}{1 + x}}^2 -2\sqrt {2- \frac{2}{1 + x}} +1=0 \Leftrightarrow \left( \sqrt {2- \frac{2}{1 + x}}-1\right)^2=0 }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \sqrt {2- \frac{2}{1 + x}}=1 \Rightarrow 2- \frac{2}{1 + x}=1 \Leftrightarrow \frac{2}{1 + x}=1 \Leftrightarrow x+1=2 \Leftrightarrow x=1}$ δεκτή

άρα $\displaystyle{(x,y,z)=(1,1,1)}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x\leq z\leq y \mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{g \searrow}g(x)\geq g(z)\geq g(y)\limits{_{\Longrightarrow }^{(S)}f(y)\geq f(x)\geq f(z)\limits{_{\Longrightarrow }^{f \searrow} y\leq x\leq z}$

οπότε $\displaystyle{x\leq z\leq y\leq x \leq z\Rightarrow x=y=z}$

ομοίως έχουμε οτι $\displaystyle{(x,y,z)=(1,1,1)}$

ΣΥΣΤΗΜΑ 23 (Mihai Bencze 2005)

ΣΥΣΤΗΜΑ 23 (Mihai Bencze 2005)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 23 (Mihai Bencze 2005)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 23 (Mihai Bencze 2005)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 23 (Mihai Bencze 2005)

Μέλη σε σύνδεση