Μπαρμπαστάθεια 2013

PanosG · #1

Τα παρακάτω θέματα είναι από τον τοπικό διαγωνισμό Μπαρμπαστάθεια που έγινε προχτές.

ΘΕΜΑ Α
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{1+cosx}{sinx}}$
Α1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f(x)}$
A2. Να βρείτε τα σημεία τομής της $\displaystyle{C_f}$ με τον άξονα $\displaystyle{x'x}$
A3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=2sinx}$ στο διάστημα $\displaystyle{(0,\pi)}$

ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=log(\sqrt{x^2+1}-x)}$
B1 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f(x)}$
B2 Να δείξετε ότι η $\displaystyle{f(x)}$ είναι περιττή
Β3 Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f(x)}$ με την ευθεία $\displaystyle{y=1}$

ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται τετράγωνο $AB\Gamma\Delta$ ,

μέσο του $\Gamma\Delta$ και

η τομή των $A\Gamma$ και

με $\Gamma E=2$
Γ1 Να δείξετε ότι $A\Gamma=6$
Γ2 Να βρεθεί το εμβαδό του τετραγώνου $AB\Gamma\Delta$
Γ3 Να υπολογιστεί η απόσταση του σημείου

από την ευθεία $A\Gamma$ .

ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{{P(x)=(x^2-5x+5)^{2013}+(x^2-4x+4)^{2014}}$
Δ1 Να υπολογίσετε το άθροισμα των συντελεστών του
Δ2 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο έχει παράγοντα το $\displaystyle{x-3}$
Δ3 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{11^{2013}+9^{2014}}$ είναι πολλαπλάσιο του 4

#2

PanosG έγραψε: ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ, Μ μέσο του ΓΔ και Ε η τομή των ΑΓ και ΒΜ με ΓΕ=2
Γ1 Να δείξετε ότι ΑΓ=6
Γ2 Να βρεθεί το εμβαδό του τετραγώνου ΑΒΓΔ
Γ3 Να υπολογιστεί η απόσταση του σημείου Μ από την ευθεία ΑΓ.

: Μπαρμπαστάθεια 2013.png (3.88 KiB) Προβλήθηκε 1188 φορές

Γ1. Επειδή $\displaystyle{{\rm M}\Gamma //{\rm A}{\rm B} \Rightarrow \frac{{\Gamma {\rm E}}}{{{\rm E}{\rm A}}} = \frac{{{\rm M}\Gamma }}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\rm E}{\rm A} = 4}$ .
Άρα $\displaystyle{{\rm A}\Gamma = 6}$ .

Γ2. Αφού η διαγώνιος του τετραγώνου είναι 6 τότε θα είναι $\displaystyle{2{\alpha ^2} = 36 \Leftrightarrow {\alpha ^2} = 18}$ , που είναι και το εμβαδόν του τετραγώνου.

Γ3. Έστω $\displaystyle{{\rm M}{\rm N} \bot {\rm A}\Gamma }$ . Το

είναι το ζητούμενο τμήμα. Στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm M}{\rm N}\Gamma }$ είναι:

$\displaystyle{\eta \mu {45^0} = \frac{{{\rm M}{\rm N}}}{{{\rm M}\Gamma }} \Leftrightarrow {\rm M}{\rm N} = \frac{\alpha }{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt {18} \cdot \sqrt 2 }}{4} = \frac{3}{2}}$

BAGGP93 · #3

PanosG έγραψε:
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{{P(x)=(x^2-5x+5)^{2013}+(x^2-4x+4)^{2014}}$
Δ1 Να υπολογίσετε το άθροισμα των συντελεστών του
Δ2 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο έχει παράγοντα το $\displaystyle{x-3}$
Δ3 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{11^{2013}+9^{2014}}$ είναι πολλαπλάσιο του 4

Δ1) Το άθροισμα των συντελεστών του ισούται με

$\displaystyle{P(1)=\left(1-5+5\right)^{2013}+\left(1-4+4\right)^{2014}=1+1=2}$

Δ2) Επειδή $\displaystyle{P(3)=\left(9-15+5\right)^{2013}+\left(9-12+4\right)^{2014}=\left(-1\right)^{2013}+1=-1+1=0}$

συμπεραίνουμε ότι το $\displaystyle{x-3}$ είναι παράγοντας του πολυωνύμου $\displaystyle{P(x)}$

Δ3) Είναι,

$\displaystyle{x^2-5\,x+5=11\Leftrightarrow \left(x-\frac{5}{2}\right)^2=6+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}\Leftrightarrow x\in\left\{-1,6\right\}}$

$\displaystyle{x^2-4\,x+4=9\Leftrightarrow \left(x-2\right)^2=9\Leftrightarrow x\in\left\{-1,5\right\}}$

Επομένως,

$\displaystyle{P(-1)=11^{2013}+9^{2014}}$ .

Όμως, από το Δ2), ισχύει ότι $\displaystyle{P(x)=\left(x-3\right)\cdot K(x)}$ για κάποιο πολυώνυμο $\displaystyle{K(x)}$ , οπότε

$\displaystyle{P(-1)=-4\cdot K(-1)\Rightarrow 11^{2013}+9^{2014}=4\cdot \left(-K(-1)\right)}$ , όπως θέλαμε.

#4

PanosG έγραψε:
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=log(\sqrt{x^2+1}-x)}$
B1 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f(x)}$
B2 Να δείξετε ότι η $\displaystyle{f(x)}$ είναι περιττή
Β3 Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f(x)}$ με την ευθεία $\displaystyle{y=1}$

Β1. Αν $\displaystyle{x \ge 0}$ , $\displaystyle{{x^2} + 1 > {x^2} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} > x}$

Αν $\displaystyle{x < 0}$ , η σχέση $\displaystyle{\sqrt {{x^2} + 1} > x}$ , ισχύει πάντα
Άρα $\displaystyle{{D_f} = R}$ .

Β2. Για κάθε $\displaystyle{x, - x \in R}$ , $\displaystyle{f( - x) + f(x) = \log \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right) + \log \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) = }$
$\displaystyle{\log \left( {(\sqrt {{x^2} + 1} + x)(\sqrt {{x^2} + 1} - x)} \right) = \log ({x^2} + 1 - {x^2}) = \log 1 = 0.}$
Οπότε $\displaystyle{f( - x) = - f(x)}$ . Δηλαδή η συνάρτηση

είναι περιττή.

Β3. $\displaystyle{f(x) = 1 \Leftrightarrow \log \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) = \log 10 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} = x + 10}$ , $\displaystyle{x \ge - 10}$

$\displaystyle{{x^2} + 1 = {x^2} + 20x + 100 \Leftrightarrow x = - \frac{{99}}{{20}}}$

Ιστοσελίδα · #5

Θα ήθελα περισσότερες πληροφορίες για αυτόν το διαγωνισμό, που γίνεται; σε ποιους απευθύνται, προς τιμή ποιανού!
ευχαριστώ

Christos.N · #6

Πηγή EME Άρτας

BAGGP93 · #7

Ας μην μείνει αναπάντητο το πρώτο.

PanosG έγραψε:Τα παρακάτω θέματα είναι από τον τοπικό διαγωνισμό Μπαρμπαστάθεια που έγινε προχτές.

ΘΕΜΑ Α
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{1+cosx}{sinx}}$
Α1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f(x)}$
A2. Να βρείτε τα σημεία τομής της $\displaystyle{C_f}$ με τον άξονα $\displaystyle{x'x}$
A3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=2sinx}$ στο διάστημα $\displaystyle{(0,\pi)}$

Α1) $\displaystyle{D\left(f\right)=\left\{x\in\mathbb{R}:\sin x\neq 0\right\}=\mathbb{R}-\left\{k\,\pi: k\in\mathbb{Z}\right\}}$

Α2) Τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ με τον άξονα των τετμημένων είναι της μορφής $\displaystyle{\left(x,f(x)\right)}$

όπου $\displaystyle{x}$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=0\,,x\in D\left(f\right)}$ .

Έστω $\displaystyle{x\in\mathbb{R}-\left\{k\,\pi: k\in\mathbb{Z}\right\}}$ λύση της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=0}$

Τότε, $\displaystyle{1+\cos x=0\Leftrightarrow \cos x=-1}$ και άρα για αυτό το $\displaystyle{x}$ έχουμε

$\displaystyle{\sin^2\,x+\cos^2\,x=1\Rightarrow \sin^2\,x+1=1\Rightarrow \sin x=0\Rightarrow \exists\,m\in\mathbb{Z}: x=m\,\pi}$ , άτοπο.

Α3) Για $\displaystyle{x\in\left(0,\pi\right)}$ έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned} f(x)=2\,\sin x&\Leftrightarrow \frac{1+\cos x}{\sin x}=2\,\sin x\\&\Leftrightarrow 2\,\sin^2\,x=1+\cos x\\&\Leftrightarrow 2-2\,\cos^2\,x-1-\cos x=0\\&\Leftrightarrow 2\,\cos^2\,x+\cos x-1=0\\&\Leftrightarrow \cos^2\,x+\frac{\cos x}{2}=\frac{1}{2}\\&\Leftrightarrow \left(\cos x+\frac{1}{4}\right)^2=\frac{9}{16}\\&\Leftrightarrow \cos x\in\left\{\frac{1}{2},-1\right\}\\&\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}\end{aligned}}$

PanosG · #8

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Θα ήθελα περισσότερες πληροφορίες για αυτόν το διαγωνισμό, που γίνεται; σε ποιους απευθύνται, προς τιμή ποιανού!
ευχαριστώ

Να τονίσω ότι ο διαγωνισμός είναι για τα παιδία της Γ Λυκειου παρόλο που τα θέματα είναι στην ύλη της Β.

#9

BAGGP93 έγραψε:
$\displaystyle{P(-1)=-4\cdot K(-1)\Rightarrow 11^{2013}+9^{2014}=4\cdot \left(-K(1)\right)}$ , όπως θέλαμε.

Βαγγέλη, για ξαναδές το αυτό.

Το -K(1)

είναι βέβαια τυπογραφική αβλεψία για το -K(-1)

, αλλά η ουσία δεν αλλάζει. Όμως το σημαντικό είναι ότι πρέπει ακόμα να δείξεις ότι K(-1)

ακέραιος, που είναι η ουσία της άσκησης.

Μ.

sokratis lyras · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε:
BAGGP93 έγραψε:
$\displaystyle{P(-1)=-4\cdot K(-1)\Rightarrow 11^{2013}+9^{2014}=4\cdot \left(-K(1)\right)}$ , όπως θέλαμε.
Βαγγέλη, για ξαναδές το αυτό.

Το είναι βέβαια τυπογραφική αβλεψία για το , αλλά η ουσία δεν αλλάζει. Όμως το σημαντικό είναι ότι πρέπει ακόμα να δείξεις ότι ακέραιος, που είναι η ουσία της άσκησης.

Μ.

Για να αποφύγουμε όλα αυτά.. $11^{2013}\equiv -1\mod 4$ και $9^{2014}\equiv 1\mod 4$

#11

Συγχαρητήρια αξίζουν στην κυρία Μπαρμαστάθη, που με την πρωτοβουλία της αυτή, κρατά ζωντανή την μνήμη του μεγάλου μαθηματικού και συζύγου της, Χρήστου Μπαρμπαστάθη.

Μπαρμπαστάθεια 2013

Μπαρμπαστάθεια 2013

Re: Μπαρμπαστάθεια 2013

Re: Μπαρμπαστάθεια 2013

Re: Μπαρμπαστάθεια 2013

Re: Μπαρμπαστάθεια 2013

Re: Μπαρμπαστάθεια 2013

Re: Μπαρμπαστάθεια 2013

Re: Μπαρμπαστάθεια 2013

Re: Μπαρμπαστάθεια 2013

Re: Μπαρμπαστάθεια 2013

Re: Μπαρμπαστάθεια 2013

Μέλη σε σύνδεση