Ἀνοικτό πρόβλημα

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Τό ἀκόλουθο ἀποτελεῖ ἀνοικτό πρόβλημα (to the best of my knowledge), ἀλλά ὄχι ἀπαραιτήτως ἀπαγορευτικά δύσκολο:

Ἔστω S=ABCDE

κυρτό πεντάπλευρο. Φέρομε ὅλες του τίς διαγωνίους ὁπότε σχηματίζεται ἐντός αὐτοῦ ἀπό τίς τομές τῶν διαγωνίων του σέ ἐσωτερικά του σημεῖα μικρότερο ἐσωτερικό πεντάπλευρο S'=A'B'C'D'E'

. Ποιά εἶναι μέγιστη τιμή τοῦ λόγου E(S')/E(S)

, ὅπου

καί

τά ἐμβαδά τῶν δύο πενταπλεύρων.

Ανδρέας Πούλος · #2

Φαίνεται να τείνει στο άπειρο.
Δεν έχω απόδειξη, αλλά μία εμπειρική ένδειξη, ή αν θέλετε μία "χοντροκομμένη" απόδειξη.

Κατασκεύασα (φαίνεται στο συνημμένο σχήμα) ένα πεντάπλευρο ABCDE

με

.
Αν θεωρήσουμε για ευκολία ότι η κορυφή

ανήκει στη μεσοκάθετο της πλευράς

και ότι τείνει στο άπειρο,
τότε το εμβαδόν του πεντάπλευρου ABCDE

τείνει στο άπειρο, ενώ το εμβαδόν του "εσωτερικού" πεντάπλευρου είναι πεπερασμένο,
αφού είναι μικρότερο από αυτό του τετράπλευρου ABCE

.

Ανδρέας Πούλος

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Ἀναφέρεσαι στό ἀντίστροφο πηλίκο. Τό ζητούμενο εἶναι κάποιος ἀριθμός $\alpha\in(0,1)$ .

#4

Μία ασθενής ένδειξη ότι ο ζητούμενος λόγος μεγιστοποιείται στην περίπτωση του κανονικού πενταγώνου: κάνοντας δύο άνισες (πράσινες) πλευρές ίσες (πορτοκαλί) και διατηρώντας το εμβαδόν του 'εξωτερικού' πενταγώνου παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του 'εσωτερικού' πενταγώνου φαίνεται να αυξάνει (καθώς το εμβαδόν του ροζ τετραπλεύρου φαίνεται μεγαλύτερο από το εμβαδόν του γαλάζιου τετραπλεύρου).

Γιώργος Μπαλόγλου

KARKAR · #5

: πεντάγωνο.png (13.81 KiB) Προβλήθηκε 3588 φορές

Αν η εικασία του Γιώργου αληθεύει τότε ο ζητούμενος λόγος είναι $\displaystyle \left( \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$

Αρχιμήδης 6 · #6

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Τό άκόλουθο ἀποτελεῖ ἀνοικτό πρόβλημα (to the best of my knowledge), άλλά ὄχι ἀπαραιτήτως ἀπαραγορευτικά δύσκολο:

Ἔστω κυρτό πεντάπλευρο. Φέρομε ὅλες του τίς διαγωνίους ὁπότε σχηματίζεται ἐντός του ἀπό τίς τομές τῶν διαγωνίων σέ ἐσωτερικά του σημεῖα μικρότερο ἐσωτερικό πεντάπλευρο . Ποιά εἶναι μέγιστη τιμή τοῦ λόγου , ὅπου καί τά ἐμβαδά τῶν δύο πενταπλεύρων.

Θα βόλευε μια συνθήκη που συνδέει το εμβαδόν του μικρού πεντάπλευρου και του μεγάλου η μια συνθήκη που συνδέει το εμβαδόν του μικρού και του νέου που σχηματίζεται από τα μέσα των πλευρών του αρχικού γιατί σίγουρα υπάρχει σχέση μεταξύ του αρχικού και αυτού που σχηματίζεται από τα μέσα των πλευρών του κ.τ.λ

Ανδρέας Πούλος · #7

Ζητώ συγνώμη από τους συναδέλφους για την απροσεξία μου.
Πράγματι, το πρόβλημα έχει ενδιαφέρον και έπρεπε να το "υποψιαστώ", επειδή το έθεσε ο εκλεκτός Γ. Σ-Σμυρλής.
Προς το παρόν αυτό που θα κάνω, είναι να το θέσω στα θέματα για "άμεση ενημέρωση".

Ανδρέας Πούλος

#8

KARKAR έγραψε:
πεντάγωνο.png
Αν η εικασία του Γιώργου αληθεύει τότε ο ζητούμενος λόγος είναι $\displaystyle \left( \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$

Με αρκετά μεγάλη σιγουριά μπορώ να πω ότι η εικασία μου ΔΕΝ αληθεύει:

Θεωρώντας εξωτερικό πεντάγωνο με σταθερές κορυφές (3,0)

,

και μεταβλητή κορυφή (x,-1)

... κατέληξα σε εσωτερικό πεντάγωνο με κορυφές

$(-\displaystyle\frac{39}{29}, \displaystyle\frac{36}{29})$ , $(-\displaystyle\frac{52+x}{24+3x},\displaystyle\frac{5+2x}{8+x})$ , $(\displaystyle\frac{2x-4}{3},0)$ , $(\displaystyle\frac{6x+5}{7},0)$ , $(\displaystyle\frac{65+36x}{59-2x},\displaystyle\frac{32-12x}{59-2x})$ ,

και εμβαδόν (με χρήση οριζουσών, προσοχή στον προσανατολισμό των σημείων, επαληθεύσεις, κλπ)

$E(x)=\displaystyle\frac{1}{2}[\frac{1867-256x-116x^2}{87(8+x)}]+\displaystyle\frac{1}{2}[\frac{29756+9624x-2088x^2}{203(59-2x)}],$

που δυστυχώς δεν έχει μέγιστο στο

αλλά στο

(με μέγιστο εμβαδόν εσωτερικού πενταγώνου 2,6027

, και σταθερό εμβαδόν εξωτερικού πενταγώνου

)

[Η επιλογή των αρχικών σημείων ήταν τελείως αυθαίρετη και έγινε για λόγους απλότητας (;!) πράξεων.]

Γιώργος Μπαλόγλου

#9

gbaloglou έγραψε:
KARKAR έγραψε:
πεντάγωνο.png
Αν η εικασία του Γιώργου αληθεύει τότε ο ζητούμενος λόγος είναι $\displaystyle \left( \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$
Με αρκετά μεγάλη σιγουριά μπορώ να πω ότι η εικασία μου ΔΕΝ αληθεύει:

Διευκρίνηση: αυτό που δεν ισχύει είναι το εμμέσως προταθέν (στην πρώτη μου ανάρτηση) λήμμα, ότι δηλαδή κρατώντας τρεις πλευρές και το εμβαδόν του αρχικού πενταγώνου σταθερά, και κάνοντας τις άλλες δύο πλευρές ίσες ( x=0

παρακάτω), αυξάνουμε το εμβαδόν του εσωτερικού πενταγώνου.

[Καθόλου δεν αποκλείεται δηλαδή ο μέγιστος λόγος όντως να επιτυγχάνεται στο κανονικό πεντάγωνο και να είναι αυτός που παρέθεσε ο KARKAR (ίσος περίπου προς 0,146

, έναντι περίπου 0,081

στο παρακάτω παράδειγμα): η μη ισχύς ενός κατά τα άλλα ελπιδοφόρου λήμματος δεν προδικάζει την μη ισχύ της εικασίας!]

Θεωρώντας εξωτερικό πεντάγωνο με σταθερές κορυφές , , , και μεταβλητή κορυφή ... κατέληξα σε εσωτερικό πεντάγωνο με κορυφές

$(-\displaystyle\frac{39}{29}, \displaystyle\frac{36}{29})$ , $(-\displaystyle\frac{52+x}{24+3x},\displaystyle\frac{5+2x}{8+x})$ , $(\displaystyle\frac{2x-4}{3},0)$ , $(\displaystyle\frac{6x+5}{7},0)$ , $(\displaystyle\frac{65+36x}{59-2x},\displaystyle\frac{32-12x}{59-2x})$ ,

και εμβαδόν (με χρήση οριζουσών, προσοχή στον προσανατολισμό των σημείων, επαληθεύσεις, κλπ)

$E(x)=\displaystyle\frac{1}{2}[\frac{1867-256x-116x^2}{87(8+x)}]+\displaystyle\frac{1}{2}[\frac{29756+9624x-2088x^2}{203(59-2x)}],$

που δυστυχώς δεν έχει μέγιστο στο αλλά στο (με μέγιστο εμβαδόν εσωτερικού πενταγώνου , και σταθερό εμβαδόν εξωτερικού πενταγώνου )

[Η επιλογή των αρχικών σημείων ήταν τελείως αυθαίρετη και έγινε για λόγους απλότητας (;!) πράξεων.]

Γιώργος Μπαλόγλου

#10

Εμπνεόμενος από τα παραπάνω τολμώ να προτείνω μία υπολογιστική προσέγγιση:

Αν A=(1,0)

,

είναι οι κορυφές του εξωτερικού πενταγώνου, με $q\geq0$ , $s\geq0$ , $v\leq0$ (βλέπε συνημμένο), τότε οι κορυφές του εσωτερικού πενταγώνου είναι οι

$A'=(\displaystyle\frac{-ps+su+pv-qu+prv-qru}{ps-su+v-q+rv-qr}, \displaystyle\frac{psv-qsu+sv-qs}{ps-su+v-q+rv-qr}),$

$B'=(\displaystyle\frac{pv-qu}{v-q},0),$

$C'=(\displaystyle\frac{rv-su}{v-s},0),$

$D'=(\displaystyle\frac{qr-qu-rv+su+prv-psu}{qr-qu-v+s+pv-ps}, \displaystyle\frac{qrv-qsu-qv+qs}{qr-qu-v+s+pv-ps}),$

$E'=(\displaystyle\frac{-q-qr+s-ps}{-q-qr-s+ps}, \displaystyle\frac{-2qs}{-q-qr-s+ps}).$

Με χρήση οριζουσών για τα εμβαδά προκύπτουν οι τύποι

$(ABCDE)=(EAB)+(EBC)+(ECD)=\displaystyle\frac{s+q-2v+qr-ps}{2}$ και

(A'B'C'D'E')=(E'A'B')+(E'B'C')+(E'C'D')=

$=\displaystyle\frac{qrv-qsu-qv+qs}{2(qr-qu-v+s+pv-ps)}(\frac{rv-su}{v-s}+\frac{q+qr-s+ps}{-q-qr-s+ps})$

$-\displaystyle\frac{psv-qsu+sv-qs}{2(ps-su+v-q+rv-qr)}(\frac{pv-qu}{v-q}+\frac{q+qr-s+ps}{-q-qr-s+ps})$

$+\displaystyle\frac{qs}{-q-qr-s+ps}(\frac{-ps+su+pv-qu+prv-qru}{ps-su+v-q+rv-qr}-\frac{qr-qu-rv+su+prv-psu}{qr-qu-v+s+pv-ps}).$

Βλέπουμε λοιπόν ότι η μεγιστοποίηση του λόγου $\displaystyle\frac{A'B'C'D'E'}{ABCDE}$ ανάγεται στην μεγιστοποίηση μιας συνάρτησης έξι μεταβλητών που ικανοποιούν τις αρχικές ανισότητες $q\geq0$ , $s\geq0$ , $v\leq0$ και επίσης, λόγω κυρτότητας, τις ανισότητες

$(1-u)s-(1-r)v\geq0,$

$(1+u)s-(1+r)v\geq0,$

$(1-u)q-(1-p)v\geq0,$

$(1+u)q-(1+p)v\geq0,$

$(1-p)s-(1-r)q\geq0,$

$(1+r)q-(1+p)s\geq0,$

$(s-q)u+(p-r)v-ps+qr\geq0.$

(Οι παραπάνω ανισότητες κυρτότητας προκύπτουν -- με κάποιες επαναλήψεις -- από τις εξισώσεις των πέντε ακμών του ABCDE

, την παρατήρηση ότι για κάθε δύο γειτονικές κορυφές του ABCDE

οι υπόλοιπες τρεις και το (0,0)

κείνται στην ίδια πλευρά της αντίστοιχης ακμής, και τις αρχικές ανισότητες $q\geq0$ , $s\geq0$ , $v\leq0$ .)

Έκανα ότι ήταν δυνατόν για να ελέγξω την ορθότητα των παραπάνω τύπων. Αν κάποιος διαθέτει το κατάλληλο πακέτο και τον απαιτούμενο χρόνο, ας 'τρέξει' το πρόβλημα ... και αν καταλήξει στις $u\approx 0$ , $v\approx -0,726$ , $r\approx 0,618$ , $s\approx 1,175$ , $p\approx -0,618$ , $q\approx 1,175$ ... τότε θα είμαστε σίγουροι και για την ορθότητα των τύπων και για την ορθότητα της περί κανονικού πενταγώνου εικασίας

[Δεν ξέρω ως ποιο βαθμό θα αποτελούσε πρόβλημα το γεγονός ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης δεν είναι φραγμένο: σε μια τέτοια περίπτωση μπορούμε να θεωρήσουμε όλες τις μεταβλητές μικρότερες ή ίσες κατ' απόλυτο τιμή του

ή του

, κλπ κλπ]

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 14-12-13 11:15 πμ: έγινε μία διόρθωση στο εμβαδόν του ABCDE

( $-q\rightarrow+q$ ) -- έλεγχα τα δύσκολα και μου ξέφυγαν τα εύκολα... (Στην περίπτωση του κανονικού πενταγώνου ... όντως έχουμε τώρα $(A'B'C'D'E')\approx 0,386\approx 0,146\cdot 2,627\approx 0,146\cdot (ABCDE)$ .)

Γιώργος Μπαλόγλου

#11

Ισχυρές ενδείξεις υπέρ της ισχύος της εικασίας:

Αν θεωρήσουμε ισοσκελή πεντάγωνα ( p=-r, q=s, u=0

), οπότε έχουμε να μεγιστοποιήσουμε την

$f(r,s,v)=\displaystyle\frac{rs}{(2rs-v-rv+s)(rs+s-v)}\cdot (\displaystyle\frac{v(rv-v+s)}{v-s}+\frac{s-v-rv}{1+r})$

με μόνους πλέον περιορισμούς τους $r\geq0$ , $v\leq0$ , $s\geq0$ , $s-v+rv\geq0$ , το πρόβλημα είναι πλέον στα πλαίσια του WolframAlpha, με την βοήθεια του οποίου βγάζω μέγιστο $\approx 0,145898$ (η τιμή που αντιστοιχεί στο κανονικό πεντάγωνο) για $r=\phi -1\approx 0,618034$ και -- εδώ είναι το ενδιαφέρον -- $v=-(\phi -1)s\approx -0,618034s$ (σχέση 'ύψους-βάθους' που ισχύει και στο κανονικό πεντάγωνο): έχουμε δηλαδή να κάνουμε με μία απειρία συμμετρικών 'ημικανονικών' πενταγώνων -- με σταθερό λόγο πάνω πλευράς και παράλληλης διαγωνίου -- στα οποία ο ζητούμενος λόγος είναι σταθερός (και, πιθανότατα, μέγιστος).

[Ίσως υπάρχουν και άλλα που πρέπει να ειπωθούν εδώ, αλλά πρέπει επίσης να φύγω.]

Γιώργος Μπαλόγλου

Ανδρέας Πούλος · #12

Γιώργο,
η έρευνά σου σχετίζεται με αυτό τι θέμα; viewtopic.php?f=62&t=41551.
Με εντυπωσιάζει η επιμονή σου, αλλά και οι τεχνικές για να φτάσεις σε αυτά τα αποτελέσματα.

Ανδρέας Πούλος

#13

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Γιώργο,
η έρευνά σου σχετίζεται με αυτό τι θέμα; viewtopic.php?f=62&t=41551.
Με εντυπωσιάζει η επιμονή σου, αλλά και οι τεχνικές για να φτάσεις σε αυτά τα αποτελέσματα.

Ανδρέα όντως, το θεματάκι που αναφέρεις προέκυψε στην πορεία, συγκεκριμένα στον καθορισμό των ανισοτήτων κυρτότητας που απαιτεί η μεγιστοποίηση της συνάρτησης: αν δεν ίσχυε η συγκεκριμένη ανισότητα που πρότεινα ... τα πράγματα θα ήταν κάπως παράξενα!

Όσον αφορά στις τεχνικές μου, πιστεύω γενικά στον υπολογισμό και στον πειραματισμό, και ως βοηθητικά μέσα για εμάς και ως εργαλείο ενεργοποίησης (engagement tool) για μαθητές και φοιτητές (για πολλούς από τους οποίους η 'θεωρητική' απόδειξη είναι απροσπέλαστη).

Για το πρόβλημα των πενταγωνικών εμβαδών ... ευελπιστώ σε συνέχεια

Γιώργος Μπαλόγλου

#14

gbaloglou έγραψε:Ισχυρές ενδείξεις υπέρ της ισχύος της εικασίας:

Αν θεωρήσουμε ισοσκελή πεντάγωνα (), οπότε έχουμε να μεγιστοποιήσουμε την

$f(r,s,v)=\displaystyle\frac{rs}{(2rs-v-rv+s)(rs+s-v)}\cdot (\displaystyle\frac{v(rv-v+s)}{v-s}+\frac{s-v-rv}{1+r})$

με μόνους πλέον περιορισμούς τους $r\geq0$ , $v\leq0$ , $s\geq0$ , $s-v+rv\geq0$ , το πρόβλημα είναι πλέον στα πλαίσια του WolframAlpha, με την βοήθεια του οποίου βγάζω μέγιστο $\approx 0,145898$ (η τιμή που αντιστοιχεί στο κανονικό πεντάγωνο) για $r=\phi -1\approx 0,618034$ και -- εδώ είναι το ενδιαφέρον -- $v=-(\phi -1)s\approx -0,618034s$ (σχέση 'ύψους-βάθους' που ισχύει και στο κανονικό πεντάγωνο): έχουμε δηλαδή να κάνουμε με μία απειρία συμμετρικών 'ημικανονικών' πενταγώνων -- με σταθερό λόγο πάνω πλευράς και παράλληλης διαγωνίου -- στα οποία ο ζητούμενος λόγος είναι σταθερός (και, πιθανότατα, μέγιστος).

[Ίσως υπάρχουν και άλλα που πρέπει να ειπωθούν εδώ, αλλά πρέπει επίσης να φύγω.]

Επανέρχομαι με κάποιες λεπτομέρειες της συναρπαστικής προχθεσινής αναζήτησης:

Με εντολή maximize (xy/((2xy-z-xz+y)(xy+y-z)))((z(xz-z+y)/(z-y))+(y-z-xz)/(1+x)) for 0<=x<=10, -10<=z<=0, 0<=y<=10, y-z+xz>=0 το WolframAlpha δίνει μέγιστο $\approx 0,145898$ για $(x,y,z)\approx (0,618034, 3,7348, -2,30823)$ KAI για $(x,y,z)\approx (4,84599, -2,99499)$ , ενώ με εντολή maximize (xy/((2xy-z-xz+y)(xy+y-z)))((z(xz-z+y)/(z-y))+(y-z-xz)/(1+x)) for 0<=x<=100, -100<=z<=0, 0<=y<=100, y-z+xz>=0 δίνει και πάλι μέγιστο $\approx 0,145898$ αλλά για $(x,y,z)\approx (0,618034, 15,3748, -9,50212)$ ΚΑΙ $(x,y,z)\approx (0,618034, 53,2428, -32,9059)$ : ΦΩΣ ΦΑΝΑΡΙ ότι το μέγιστο επιτυγχάνεται στα σημεία (0,618034, y, -0,618034y)

, όπου

[Τα άνω φράγματα για τα

και

και το κάτω φράγμα για το

( $\pm10$ , $\pm100$ ) είναι 'τεχνητά' αλλά απαραίτητα: χωρίς αυτά το WolframAlpha ΔΕΝ βγάζει μέγιστο πουθενά. (Απεναντίας, βγάζει το ίδιο μέγιστο αν παραλειφθεί η ανισότητα κυρτότητας $y-z+xz\geq0$ .) Χρειάστηκε επίσης να αντικαταστήσω τα r, s, v

με τα

]

Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε τα παραπάνω θέτοντας r=m

,

στην συνάρτηση της αμέσως προηγούμενης ανάρτησης, οπότε

$f(r,s, v)=g(m)=\displaystyle\frac{m(-m^3+2m^2+2m+1)}{(m+1)(2m+1)(m^2+3m+1)},$

$g'(m)=-\displaystyle\frac{(m^2+m-1)(13m^4+19m^3+12m^2+5m+1)}{(m+1)^2(2m+1)^2(m^2+3m+1)^2},$

και μοναδική ρίζα της g'(m)=0

για

την $\phi -1\approx0,618034$ (και $g(\phi -1)\approx 0,145898$ ).

Αν τώρα θέλουμε να αποδείξουμε, όχι απλώς να επαληθεύσουμε, τα παραπάνω ... τότε τα πράγματα δυσκολεύουν καθώς, θέτοντας απλώς v=-ms

στην

, καταλήγουμε στην συνάρτηση δύο μεταβλητών

$h(r,m)=\displaystyle\frac{r}{(1+r+m)(1+2r+m+rm)}(\frac{m(1+m-rm)}{1+m}+\frac{1+m+rm}{1+r}),$

για την οποία δεν βλέπω πως μπορούμε να αποδείξουμε, χωρίς λογισμικό, ότι μεγιστοποιείται για $r=m=\phi -1$

...Περιμένω τώρα κάποιο γενναίο μέλος του

να 'τρέξει' κάπου την αρχική συνάρτηση (των έξι μεταβλητών και των επτά περιορισμών)

Γιώργος Μπαλόγλου

paulgai · #15

Μετά από παρότρυνση του Κυρίου gbaloglou επιχείρησα να προσεγγίσω μια συνολική απάντηση στο θέμα χρησιμοποιώντας ως υπολογιστικό εργαλείο την Mathematica. Αρχικά επαλήθευσα την ειδική περίπτωση για τα ισοσκελή πεντάγωνα με χρήση της εντολής Maximize η οποία λύνει το πρόβλημα με αλγεβρικές μεθόδους. Όπως φαίνεται παρακάτω η μέγιστη τιμή είναι πράγματι η $\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ .

paulgai · #16

Η εντολή NMaximize (η οποία προσεγγίζει υπολογιστικά κάποιο τοπικό μέγιστο) για την συνάρτηση των έξι μεταβλητών έδωσε το ακόλουθο αποτέλεσμα:

paulgai · #17

Η μέγιστη τιμή είναι πάλι η $\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ όμως το πεντάγωνο που ορίζει η συγκεκριμένη λύση δεν είναι κανονικό.
Υπάρχουν ισχυρές ενδείξεις ότι ο μέγιστος λόγος είναι $\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ άλλα υπάρχουν παραπάνω από ένα πεντάγωνα που μεγιστοποιούν τον λόγο στην παραπάνω τιμή. Τίθεται λοιπόν το ερώτημα πόσα και ποια είναι αυτά.

Υ.Γ. Έτρεξα την Maximize για την συνάρτηση των έξι μεταβλητών αλλά αναγκάστηκα να κάνω Abort Evaluation μετά από μισή ώρα. Ενδέχεται να απαιτούνται αρκετές ώρες (ελπίζω όχι μέρες) για να δώσει αλγεβρικό αποτέλεσμα.

#18

Παύλο σ' ευχαριστούμε πολύ, μιλάμε πλέον ... για ποίηση, (ότ)ΑΝ έχω κάτι να πω θα επανέλθω!

#19

gbaloglou έγραψε:Παύλο σ' ευχαριστούμε πολύ, μιλάμε πλέον ... για ποίηση, (ότ)ΑΝ έχω κάτι να πω θα επανέλθω!

Λοιπόν Παύλο ... συγκρίνοντας τα χθεσινοβραδινά σου αποτελέσματα με τα προ δυόμισυ ετών δικά μου ... καταλήγουμε στην εξής πολύ ενδιαφέρουσα εικασία:

Ο ζητούμενος λόγος μεγιστοποιείται σε εκείνα ακριβώς τα πεντάγωνα όπου η κάθε διαγώνιος είναι παράλληλη προς την 'απέναντι' πλευρά.

paulgai · #20

Μία παρατήρηση που μπορεί να βοηθήσει για τη συνέχεια ...

Ας ξεκινήσουμε την κατασκευή ενός πενταγώνου με την ιδιότητα: Η κάθε διαγώνιος είναι παράλληλη στην απέναντι πλευρά.
Τότε θα πρέπει ΕΓ//ΑΒ, $\varepsilon_{1}$ //BE, $\varepsilon_{2}$ //AE, $\varepsilon_{3}$ //ΒΓ και $\varepsilon_{4}$ //ΑΓ.
Παρατηρούμε ότι για να ορίζεται πεντάγωνο με την παραπάνω ιδιότητα θα πρέπει οι ευθείες $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ και $\varepsilon_{4}$ να συντρέχουν. Οι εξισώσεις των ευθειών αυτών είναι:

$\varepsilon_{1}: y-y_{1}=\frac{y_{1}}{x_{2}}(x-x_{1})$

$\varepsilon_{2}: y=\frac{y_{1}}{x_{2}-1}x$

$\varepsilon_{3}: y=\frac{y_{1}}{x_{1}}(x-1)$

$\varepsilon_{4}: y-y_{1}=\frac{y_{1}}{x_{1}-1}(x-x_{2})$

και έχουν κοινή λύση αν και μόνο αν $(x_{2}-x_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})-1=0$ . Θέτοντας $d=x_{2}-x_{1}$ καταλήγουμε στην εξίσωση $d^{2}-d-1=0$ η οποία έχει μοναδική θετική λύση την $d=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ . Άρα αν το πεντάγωνο έχει την ζητούμενη ιδιότητα, τότε ΓΕ/ΑΒ=d. Εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι αυτό ισχύει για όλες τις διαγώνιους, δηλαδή διαγώνιος/απέναντι πλευρά = d.

Ἀνοικτό πρόβλημα

Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Re: Ἀνοικτό πρόβλημα

Μέλη σε σύνδεση