ΑΣΕΠ 2009

mlks · #61

ΑΥΞΗΜΕΝΟΣ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΔYΣΚΟΛΙΑΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ.
ΠΟΙΟΤΙΚΗ KAI ΠΟΣΟΤΙΚΗ ANAΒΑΘΜΙΣΗ.
ΦΟΒΑMAI OMOΣ OTI HTAN ANAMENOMENO ΕΞΑΙΤIAΣ
TOY YΛIKOY ΠΟΥ KYKΛΟΦΟΡEI ΣΧETIKA ME TO
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜ0.
ΔYΣΤΥΧΩΣ ΛΟΓΩ AYTΩN TΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ KAI KAΠΟΙΩΝ
ΕΝΔEΙΞΕΩΝ ΓΙΑ YΛΗ ΠΡΩΤΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Ο ΧΡΟΝΟΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΑΥΞΑΝΕΙ ΥΠΕΡΜΕΤΡΑ ΠΛΕΟΝ.
ΕNTΥΠΩΣΗ ΠΡΟΚΑΛΕΙ ΘΕMATA ME ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΓΙΑ
ΟΛΥMΠIAΔEΣ.ΝΑ ΠAME KAI EKEI AΡAΓΕ?
ΩΣΤOΣΟ MAΛΛΟΝ ΕΠΙΧΕIΡΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ
ME ΘEMATA ΠOY ΜΠAINOYN ΣE ΑΛΛΟΥΣ ΔΙΑΓΩNIΣΜΟΥΣ
ΟΠΩΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ.

#62

Για το 11 η απάντηση είναι σχετικά γρήγορη αρκεί κάποιος να θυμάται ότι το εμβαδόν παραλληλογράμμου που ορίζεται από δύο διανύσματα $\vec{a}$ και $\vec{b}$ είναι $E=|det(\vec{a},\vec{b}|$ (θυμηθείτε τον τύπο του τριγώνου και όλο αυτό επί 2).

Το ζητούμενο εμβαδό σύμφωνα με το σχήμα είναι $E=|det(\vec{OA},\vec{OB}|$

Το σημείο (x_0,y_0)

ανήκει στην υπερβολή άρα 4x_0^2-y_0^2=4

Επίσης το σημείο

προκύπτει από τη λύση του συστήματος y=2x

και

οπότε παίρνουμε $A\displaystyle\left(\frac{2x_0+y_0}{4},\frac{2x_0+y_0}{2}\right)$ .

Tο σημείο

προκύπτει από τη λύση του συστήματος y=-2x

και

οπότε παίρνουμε $B\displaystyle\left(\frac{2x_0-y_0}{4},-\frac{2x_0-y_0}{2}\right)$ .

Έτσι το ζητούμενο εμβαδό είναι τελικά (μετά τις πράξεις με την ορίζουσα) ίσο με $\displaystyle\left|-\frac{(2x_0+y_0)(2x_0-y_0)}{4}\right|=\left|-\frac{4x_0^2-y_0^2}{4}\right|=\left|-\frac{4}{4}\right|=1.$

Αλέξανδρος

agh · #63

Ευχαριστώ πολύ

#64

Συνεπώς, μετά και το τελευταίο θέμα μπορούμε να επιβεβαιώσουμε τις σωστές απαντήσεις των πολλαπλών επιλογών του διαγωνισμού:

$1\to\beta \\ 2\to\gamma \\ 3\to\gamma \\ 4\to\beta \\ 5\to\gamma \\ 6\to\delta \\ 7\to\beta \\ 8\to\alpha \\ 9\to\alpha \\ 10\to\gamma \\ 11\to\gamma \\ 12\to\gamma$

sybe · #65

Αλέξανδρε, σε ευχαριστούμε πάρα πολύ

#66

Δίνω σε αρχείο Word τις εκφωνήσεις. Είναι σε zip λόγω όγκου.
Έχω αρχίσει να γράφω τις απαντήσεις.

Αν κάποιος θέλει να βοηθήσει, ας συμπληρώσει κάποιες (πλήρεις) απαντήσεις και ας το αναρτήσει ξανά.
Να συνεχίζουμε από εκεί που σταμάτησε ο προηγούμενος...

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ και ΑΥΡΙΟ στους εξεταζόμενους!

Γιώργος Ρίζος

Γιώργο, συγνώμη για την επεξεργασία του μηνύματός σου. Έβαλα κάποιες λύσεις στο αρχείο σου.
Κώστας Σερίφης

Έχω κι εγώ προσθέσει μερικές απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής και δύο διαφορετικές λύσεις σε 2 πλήρους ανάπτυξης θέματα
Αλέξανδρος Συγκελάκης

#67

Απάντηση και στο θέμα 1β της Γεωμετρίας.

i)Αφού $(AKN)=(MN\Gamma)$ άρα $(AKN)+(KB\Gamma N)=(MN\Gamma) + (KB\Gamma N)$ άρα $(AB\Gamma)=(KBM)$ δηλαδή $\displaystyle\frac{(AB\Gamma)}{(KBM)}=1$ κι επειδή τα δύο αυτά τρίγωνα έχουν κοινή τη γωνία

, άρα $\displaystyle\frac{BA\cdot B\Gamma}{BK\cdot BM}=1$ απ' όπου παίρνουμε

$\displaystyle\frac{BK}{BA}=\frac{B\Gamma}{BM} \ \ (1)$ που είναι το αντίστροφο του Θ. Θαλή άρα $K\Gamma // AM$ .

ii) Ονομάζω $x=AK, \ y=AN$ και $z=\Gamma M$ .

Τότε από την (1)

παίρνουμε :

$\displaystyle\frac{a-x}{x}=\frac{a}{a+z} \ \ (2)$

Επίσης ισχύει $\displaystyle\frac{(KBN)}{(AKN)}=\frac{KN\cdot KB}{KN\cdot KA}=\frac{KB}{KA}$ και όμοια

$\displaystyle\frac{(BN\Gamma)}{(N\Gamma M)}=\frac{B\Gamma}{\Gamma M}$ . Με πρόσθεση αυτών των 2 σχέσεων κατά μέλη και λαμβάνοντας υπόψιν ότι $(AKN)=(N\Gamma M)$ και ότι $(KBN)+(BN\Gamma)=(KB\Gamma N)$ , έχουμε

$\displaystyle\frac{(KB\Gamma N)}{(AKN)}= \frac{KB}{KA}+\frac{B\Gamma}{\Gamma M}$ άρα $\displaystyle\frac{KB}{KA}+\frac{B\Gamma}{\Gamma M}=1$ οπότε $\displaystyle\frac{a-x}{x}+\frac{a}{z}=1$ δηλαδή $z=\displaystyle\frac{ax}{2x-a} \ \ (3)$ .

Λύνοντας το σύστημα των (2)

και

βρίσκουμε ότι $\boxed{x=\displaystyle\frac{2a}{3}}$ και $\boxed{z=2a}$ .

Τέλος από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο $AB\Gamma$ με τέμνουσα την ευθεία

παίρνουμε:

$\displaystyle\frac{KA}{KB}\cdot\frac{MB}{M\Gamma}\cdot\frac{N\Gamma}{NA}=1$ δηλαδή

$\displaystyle\frac{x}{a-x}\cdot\frac{z+a}{z}\cdot\frac{a-y}{y}=1$ κι έτσι αντικαθιστώντας τα προηγούμενα βρίσκουμε $\boxed{y=\displaystyle\frac{3a}{4}}$ .

Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποια πράξη λάθος.

Αλέξανδρος

hlkampel · #68

Τα θέματα των μαθηματικών βρίσκονται στον φάκελο ΑΣΕΠ

mhtsort · #69

mlks έγραψε:ΑΥΞΗΜΕΝΟΣ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΔYΣΚΟΛΙΑΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ.
ΠΟΙΟΤΙΚΗ KAI ΠΟΣΟΤΙΚΗ ANAΒΑΘΜΙΣΗ.
ΦΟΒΑMAI OMOΣ OTI HTAN ANAMENOMENO ΕΞΑΙΤIAΣ
TOY YΛIKOY ΠΟΥ KYKΛΟΦΟΡEI ΣΧETIKA ME TO
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜ0.
ΔYΣΤΥΧΩΣ ΛΟΓΩ AYTΩN TΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ KAI KAΠΟΙΩΝ
ΕΝΔEΙΞΕΩΝ ΓΙΑ YΛΗ ΠΡΩΤΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Ο ΧΡΟΝΟΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΑΥΞΑΝΕΙ ΥΠΕΡΜΕΤΡΑ ΠΛΕΟΝ.
ΕNTΥΠΩΣΗ ΠΡΟΚΑΛΕΙ ΘΕMATA ME ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΓΙΑ
ΟΛΥMΠIAΔEΣ.ΝΑ ΠAME KAI EKEI AΡAΓΕ?
ΩΣΤOΣΟ MAΛΛΟΝ ΕΠΙΧΕIΡΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ
ME ΘEMATA ΠOY ΜΠAINOYN ΣE ΑΛΛΟΥΣ ΔΙΑΓΩNIΣΜΟΥΣ
ΟΠΩΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ.

Να μια καλή συζήτηση που πρέπει να ανοιξουμε απο βδομάδα. Τι χρειαζεται πραγματικά για να διδάξει κανεις μαθηματικά; Τι μας ζητάνε να αποδείξουμε οτι ξέρουμε;κτλ κτλ Θα επανέλθω στο θέμα όταν κάτσει η σκόνη.

#70

Για την 5, όπως πολύ σωστά έχει παρατηρηθέι το πολυώνυμo είναι θετικό αν $x \leq 0$ και αρνητικό αν $x \geq 0$ . Άρα (από συμμετρία) αν αναπτύσσαμε το πολυώνυμο οι συντελεστές των x^4

και

θα έδιναν ολοκλήρωμα 0. Για ευκολία βάζουμε και α=1, και το ολοκλήρωμα ισούται με $2 \int\limits_{0}^1 (6x^3 + 6x) dx = 9$

Για την 9, εκτός από τις όμορφες λύσεις που έχουν δοθεί,

Σίγουρα η τιμή ανήκει στο (0,1) άρα τα (β),(γ) και (δ) αποκλείονται.

#71

mhtsort έγραψε:
mlks έγραψε:ΑΥΞΗΜΕΝΟΣ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΔYΣΚΟΛΙΑΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ.
ΠΟΙΟΤΙΚΗ KAI ΠΟΣΟΤΙΚΗ ANAΒΑΘΜΙΣΗ.
ΦΟΒΑMAI OMOΣ OTI HTAN ANAMENOMENO ΕΞΑΙΤIAΣ
TOY YΛIKOY ΠΟΥ KYKΛΟΦΟΡEI ΣΧETIKA ME TO
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜ0.
ΔYΣΤΥΧΩΣ ΛΟΓΩ AYTΩN TΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ KAI KAΠΟΙΩΝ
ΕΝΔEΙΞΕΩΝ ΓΙΑ YΛΗ ΠΡΩΤΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Ο ΧΡΟΝΟΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΑΥΞΑΝΕΙ ΥΠΕΡΜΕΤΡΑ ΠΛΕΟΝ.
ΕNTΥΠΩΣΗ ΠΡΟΚΑΛΕΙ ΘΕMATA ME ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΓΙΑ
ΟΛΥMΠIAΔEΣ.ΝΑ ΠAME KAI EKEI AΡAΓΕ?
ΩΣΤOΣΟ MAΛΛΟΝ ΕΠΙΧΕIΡΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ
ME ΘEMATA ΠOY ΜΠAINOYN ΣE ΑΛΛΟΥΣ ΔΙΑΓΩNIΣΜΟΥΣ
ΟΠΩΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ.
Να μια καλή συζήτηση που πρέπει να ανοιξουμε απο βδομάδα. Τι χρειαζεται πραγματικά για να διδάξει κανεις μαθηματικά; Τι μας ζητάνε να αποδείξουμε οτι ξέρουμε;κτλ κτλ Θα επανέλθω στο θέμα όταν κάτσει η σκόνη.

Καλημέρα , καλό μήνα και καλά αποτελέσματα !

Λίγες σκέψεις για ...ξεκούραση , στο συνημμένο.
Μπάμπης

#72

Θέματα Διδακτικής Μαθηματικών και Παιδαγωγικών (κοινά για όλους τους κλάδους).

Με μία σύντομη ματιά και κατά τη γνώμη μου σαφή τα θέματα της διδακτικής όπως και την προηγούμενη φορά!

Αλέξανδρος

kostas.zig · #73

Demetres έγραψε:
άρα η συνάρτηση είναι κυρτή.

Η ανισότητα βγαίνει με θεώρημα μέσης τιμής. Έχουν δοθεί αποδείξεις εδώ.

Για το συγκεκριμένο ερώτημα εγώ εφάρμοσα τον ορισμό της κυρτής για λ=1/2 . Φυσικά έκανα και σχήμα όπου εποπτικά φαίνεται πάλι το αληθές της ανισότητας αφού την βγάλαμε κυρτή.
Πιστεύω ότι σωστό θα πιαστεί... Τι λέτε ?

nmavro · #74

Αυτό με τις ακολουθίες περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου πολυγώνου δεν το θυμόμουν.Εγώ απλά έδωσα τον ορισμό του ακτινίου. Το μήκος σε ακτίνια του τόξου. Και ξεκίνησα από εκεί και βρήκα το μήκος.
Το συγκεκριμένο ειναι σε παράγραφο στο βιβλίο εισαγωγική πάντως!

Για το δεύτερο είπα ότι ο πρώτος μαθητής ξεχνάει ότι μπορει να γίνει άρση της απροσδιοριστίας και ο δεύτερος ότι μπορει να είναι πεπερασμένο το όριο μεν αλλά τα πλευρικά όρια να ειναι διαφορετικά. Ο πρώτος ότι θεωρεί ότι καμία συνεχής δεν είναι παραγωγίσιμη και ο δεύτερος ότι ενώ βλέπει ότι μπορεί κάποιες φορές να υπάρχει και κάποιες όχι ξεχνάει ότι ακόμη και όταν είναι πεπερασμένα τα πλευρικά δεν ειναι απαραίτητο να υπάρχει η παράγωγος. Έβαλα και δύο παραδείγματα και ΕΛΠΙΖΩ να είναι σωστά

sybe · #75

δεν ξέρω παιδιά εμένα δε μου φάνηκαν και τόσο σαφή τα θέματα.
Λέει να εντοπίσουμε τις δυο πιο σημαντικές παρανοήσεις που προκύπτουν.
Η μία που βλέπω είναι ότι ο μαθητής Α θεωρεί ότι το όριο απροσδίοριστης μορφής δεν υπάρχει. Άρα αυτή είναι μία.
Η δεύτερη ποια είναι?
Φοβάμαι ότι είμαι εκτός θέματος...
Έγραψα ότι ο μαθητής δεν έχει κατανοήσει τι σημαίνει αντίστροφο μιας πρότασης. Γιατί έτσι όπως το διατυπώνει είναι σαν να λέει ότι αν είναι συνεχής τότε δεν είναι παραγωγίσιμη. Και ασχολήθηκα με αυτό ως δεύτερη παρανοηση...

Και στο πρώτο τι γράψατε??
Ασχολήθηκα με το πως προσεγγίζουμε το εμβαδόν και το μήκος του κύκλου με κανονικά πολύγωνα. Και μίλησα για το π....
Και θεώρησα ως σημαντικό ότι γίνεται εισαγωγή στην έννοια του ορίου μέσα από το μάθημα...

Θα πατώσω πάλι διδακτική

nmavro · #76

Για το πρώτο και γω αυτό θεώρησα ότι κάνει λάθος.Για το δεύτερο ότι δεν εξετάζει τα πλευρικά.Δηλαδή λέει ότι ειναι απροσδιόριστο άρα μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει. Αλλά ακόμη και αν γίνεται άρση και βγαίνει νούμερο δεν σημαίνει ότι τελικά μιλάμε για παραγωγίσιμη. Παράδειγμα η |χ|.

Για το πρώτο νομίζω είσαι πιο κοντά σε αυτό που λέει το βιβλίο.
Από όσο είδα μιλάει την ακολουθία των πλευρών του περιγεγραμμένου πολυγώνου και του εγγεγραμμένου και ότι το κοινό όριο ειναι το μήκος του κύκλου. Και μιλάει για το π.
Εκτός ότι δεν το θυμόμουν καν ότι το κάνει έτσι, καθώς το συγκεκριμένο το έχει στην εισαγωγική παράγραφο και ούτε καν το τονίζει, θεώρησα ότι ειναι πιο απλό να τους εξηγήσεις πρώτα το μήκος του τόξου και το ακτίνιο που το ξέρουν και μετά το μήκος του κύκλου. Δεν ξέρω...νομίζω ότι τελικά το μισό λάθος θα μου το πάρουν

sybe · #77

Το πρόβλημα είναι ότι δεν μπορείς να είσαι σίγουρος τι θέλουν.
Ούτε για την 1η ερώτηση είμαι σίγουρη τι θέλουν.
όσο για την 2η ερώτηση, μου φαίνεται πιο λογικό να ζητούσαν τα πλευρικά παρά αυτό που έγραψα εγώ. Φοβάμαι ότι είμαι εκτός θέματος. Δεν ξέρω πως μου ήρθε αυτό που έγραψα και άρχισα να αναλύω αντίστροφες προτάσεις, αντιθετοαντιστροφή και τετοια...

nmavro · #78

Εμένα με ανησυχεί το πρώτο.Δηλαδή έπρεπε να γράψω για την ακολουθία και το κοινό όριο των μηκών περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου και να πω ότι ο Ιπποκράτης ο Χιος παρατήρησε ότι ο λόγος ειναι σταθερός και π;
Είπα ότι καθώς διπλασιάζονται οι πλευρές προσσεγίζουμε όλο και πιο πολύ τον κύκλο αλλά μετά είπα για το μήκος του τόξου το οποίο το δικαιολόγησα γιατί ειναι όσο είναι.
Το βασικό σημείο που θα επέμενα είναι το "προσεγγίζει" γιατί οι μαθητές δεν είναι πολύ εξοικειωμένοι με την έννοια του ορίου

agh · #79

Eγώ σα δευτερη παραννόηση (αλλά το έβαλα πρώτη)έβαλα οτι υπάρχει μια συγχυση στις ιδιοτητες των ορίων απ'την άποψη ότι τοποθετούν όπου f(x) το limf(x) χωρίς όμως να μπορουν να το κάνουν διοτι:limf(x)/g(x)=limf(x)/limg(x) μόνο όταν limg(x)#0.

nmavro · #80

Υπάρχουν απαντήσεις στα πολλαπλής;
Οι δικές μου είναι
1β
2β
3γ
4δ
4δ
6β
7δ
8α
9γ
10-
11γ
12α
13α
14δ
15δ
16γ
17-
18-
19α
20β
21β
22β
23δ
24γ
25δ
26δ
27δ
28γ
29β
30γ
31β
32γ

ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Μέλη σε σύνδεση