Συνδυαστική Γεωμετρία (συνέχεια)

#1

Με αφορμή το θέμα εδώ:

Να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός χωρίων στα οποία μπορεί να διαιρεθεί ο χώρος από
(i)

επίπεδα,
(ii)

σφαίρες.

Tolis97 · #2

Για το (i)

Τα χωρία που δημιουργούνται στον χώρο προφανώς θα είναι πολύεδρα(συγνώμη που χαλαω την ορολογία και βάζω μέσα και τα χωρία που δεν έχουν "τέλος"), οπότε ορίζουμε ως "κατώτερο σημείο" του κάθε χωρίου την κορυφή που βρίσκεται πιο χαμηλά (δηλαδή άμα τοποθετήσουμε το "σχήμα" σε ένα ορθοκονανικό τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων θα είναι η κορυφή με την μικρότερη τεταγμένη και μιλάμε πάντα για όσα έχουν κατώτερο χωρίο)!

Έτσι υπάρχει μια 1-1 αντιστοιχεία μεταξύ των χωρίων του χώρου που έχουν κατώτερο σημείο και των κατώτερων σημείων. Όμως κάθε σημείο τομής 3 επιπέδων δημιουργεί και ένα κατώτερο σημείο και ένα κατώτερο σημείο είναι το σημείο τομής 3 και μοναδικών επιπέδων(πάντα ψάχνωντας για τον μέγιστο αριθμό σημείων). Συνεπώς υπάρχουν $\dbinom{n}{3}$ χωρία με κατώτερο σημείο!

Τώρα ψάχνουμε να βρούμε τα χωρία που δεν έχουν κατώτερο σημείο! Όλα αυτά τα σημείο τέμνουν ένα φανταστικό επίπεδο(το εισάγουμε εμείς) σε p_n

σημεία, όπου p_n

ο αριθμός των χωρίων που σχηματίζουν

ευθείς στο επίπεδο! Έτσι υπάρχουν $\dbinom{n}{2} + \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{0}$ χωρία που δεν έχουν κατώτερο σημείο!

Άρα συνολικά δημιουργούνται το πολύ $s_n = \dbinom{n}{3} + \dbinom{n}{2} + \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{0}$ χωρία στο επίπεδο!

Υ.Γ. ενδιαφέρον θα ήταν να δούμε αν ισχύει γενικότερο για τον m-διάστατο χώρο πως τα χωρία θα είναι $\displaystyle s_{n,m} = \sum_{k=0}^{m} \dbinom{n}{k}$

Tolis97 · #3

Για το (ii) δεν είμαι και πολύ σίγουρος αλλα λεω να κανω μια αποπειρα!

Αρχικά παρατηρώ πως άμα έτσι όπως είναι το "σχήμα" στον τρισδιαστατο χώρο μπορώ να θεωρήσω ένα επίπεδο και να το προβάλω στο επίπεδο! Έτσι αρκεί να βρω τον αριθμό των χωρίων του επιπεδου που σχηματίζουν n κυκλοι!

Έστω πως οι

κύκλοι σχηματίζουν q_n

σημεία(το πολύ). Τότε άμα προσθέσουμε έναν ακόμα κύκλο αυτό θα τέμνει τους υπόλοιπους

σε το πολύ 2 κομμάτια τον καθέναν. Έτσι για κάθε δύο διαδοχικά σημεία(λόγω της φύσης του κύκλου ακόμα και τα 2 "ακριανα" σήμεια) θα εννόνονται με καμπύλη γραμμή και θα χωρίζουν ένα από τα ήδη υπάρχοντα χωρία σε 2! Έτσι $q_{n+1} = q_n + 2n$ .

Οπότε απο εδω εύκολα συμπεραίνουμε πως $\displaystyle \fbox{q_n = n^2 - n +2}$ .

Υ.Γ. Ακόμα και αν δε προβαλουμε τον χωρο στο επίπεδο, μπορούμε αντί για αντί για να θερήσουμε πως ο καινούριος κύκλος τεμνεις τους παλιους σε 2 σημεια των καθέναν και αυτά σχηματίζουν

γραμμες που

χωρία στα 2, να θεωρήσουμε πως η καινούρια σφαίρα τεμνει τις παλιες σε 2 καμπύλες γραμμες την καθε μία και αυτά άμα ενωθούν σχηματίζουν

"κυρτά επίπεδα", που χωρίζουν

χωρία του χώρου στα 2. Οπότε θα έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα

Edit: Για το επίπεδο ισχύει πως , αλλα δεν ισχύει και για το τρισδιαστατο χώρο γενικα, όπως μου επισήμανε και ο emouroukos
Οπότε η λύση είναι λάθος! (ή τουλαχιστον μη ολοκληρωμένη)

#4

Έστω ότι έχουμε ήδη

σφαίρες με που δημιουργούν a_n

χωρία στον χώρο, όπου a_n

το μέγιστο δυνατό.

Τοποθετούμε τώρα μια καινούργια σφαίρα. Κάθε μία από τις παλιές σφαίρες τέμνει την καινούργια σφαίρα είτε σε ένα κύκλο, είτε σε ένα σημείο είτε καθόλου. Οι κύκλοι διαμερίζουν την καινούργια σφαίρα σε κάποιο αριθμό χωρίων και κάθε ένα από αυτά τα χωρία διαμερίζει ένα από τα χωρία που είχαν δημιουργήσει οι παλιές σφαίρες στα δύο. Άρα θα έχουμε τόσα ακριβώς νέα χωρία όσα και ο αριθμός των χωρίων που διαμερίζουν οι κύκλοι την καινούργια σφαίρα.

Όπως και στην περίπτωση του επιπέδου εδώ

κύκλοι χωρίζουν μια σφαίρα το πολύ σε n^2 - n + 2

χωρία με το μέγιστο να λαμβάνεται αν κάθε δύο από αυτούς τους κύκλους τέμνονται σε δύο σημεία.

Άρα $a_{n+1} = a_n + (n^2-n+2)$ . Αυτό ισχύει και για n=0

αν θεωρήσουμε ότι a_0 = 0

και άρα επαγωγικά είναι

$\displaystyle{ a_n = (0^2 + 1^2 + \cdots + (n-1)^2) + (0 + 1 + \cdots + (n-1)) + 2n}$

$\displaystyle{= \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - \frac{(n-1)n}{2} + 2n = \frac{n(2n^2 - 3n + 1 - 3n + 3 + 12)}{6}}$

$\displaystyle{= \frac{n(n^2 - 3n + 8)}{3}.}$

Συνδυαστική Γεωμετρία (συνέχεια)

Συνδυαστική Γεωμετρία (συνέχεια)

Re: Συνδυαστική Γεωμετρία (συνέχεια)

Re: Συνδυαστική Γεωμετρία (συνέχεια)

Re: Συνδυαστική Γεωμετρία (συνέχεια)

Μέλη σε σύνδεση