ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΧΗΜ. ΜΕΤ. ΤΟΠ. ΑΡΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Κ. Θεοφιλόπουλος

1. Να βρείτε την αναγκαία συνθήκη ώστε το σύστημα των εξισώσεων $\displaystyle{ \begin{cases} 2x+3y+4w=0\\ 9x+6y+4w=0 \\ \alpha x+\beta y+\gamma w=0 \end{cases}}$
να επιδέχεται κι άλλες λύσεις πλην της προφανούς $\displaystyle{x=y=w=0}$ .
Να βρεθούν επίσης όλες οι ακέραιες τριάδες $\displaystyle{(x,y,w)}$ των ακεραίων $\displaystyle{x,y,w}$ οι οποίες ικανοποιούν το σύστημα.

2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} |x|+|y|=\alpha \\ \alpha y=x^2 \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{\alpha}$ δεδομένος πραγματικός αριθμός.

3. Από τις γεωμετρικές προόδους με πρώτο όρο και λόγο αντίστοιχα $\displaystyle{(\alpha,\omega)}$ και $\displaystyle{(\beta,\lambda)}$ σχηματίζουμε την σειρά,
η οποία έχει όρους τα αθροίσματα των ομοταγών όρων των δυο προόδων.
Εαν από την σειρά αυτή οι τέσσερεις πρώτοι όροι είναι αντίστοιχα οι $\displaystyle{8,4,52,76}$ , να βρεθεί ο νιοστός όρος της.

4. Να λυθεί στο $\displaystyle{\color{red}\mathbb{C}}}$ το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} (\alpha x-\beta y)^2+ (\alpha y+\beta x)^2=0 \\ \alpha x+\beta y=\alpha^2+\beta^2 \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta}$ πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{\alpha^2+\beta^2\ne 0}$

Υ.Γ.1 Σχετικά με το 4ο θέμα, συμπλήρωσα στην εκφώνηση τα κόκκινα γράμματα γιατί τα συστήματα τότε τα έλυναν στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$
Υ.Γ.2 Τα θέματα 2,3,4 ήταν κοινά με τα θέματα των υπόλοιπων σχολών Αλλοδαπών (σχετικά)

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} |x|+|y|=\alpha \\ \alpha y=x^2 \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{\alpha}$ δεδομένος πραγματικός αριθμός.

$\left\{ \begin{array}{l} \left| x \right| + \left| y \right| = \alpha \;\left( 1 \right)\\ \alpha y = {x^2}\quad \left( 2 \right) \end{array} \right.$

Για να ισχύει $\left( 1 \right)$ πρέπει $\alpha \ge 0$

Για να ισχύει $\left( 2 \right)$ πρέπει $\alpha y \ge 0$ και αφού είναι $\alpha \ge 0$ θα είναι και $y \ge 0$ οπότε $\left| y \right| = y$

Η $\left( 1 \right)$ γίνεται $\left| x \right| + y = \alpha \Leftrightarrow y = \alpha - \left| x \right|\;\left( 3 \right)$

$\left( 2 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \alpha \left( {\alpha - \left| x \right|} \right) = {x^2} \Leftrightarrow {\left| x \right|^2} + \alpha \left| x \right| - {\alpha ^2} = 0$ η οποία είναι δευτεροβάθμια με άγνωστο $\left| x \right|$ .

Είναι $\Delta = 5{\alpha ^2} \ge 0$ έτσι $\displaystyle\left| x \right| = \frac{{ - \alpha + \alpha \sqrt 5 }}{2} = \frac{{\alpha \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2} > 0$ ή

$\displaystyle\left| x \right| = \frac{{ - \alpha - \alpha \sqrt 5 }}{2} = \frac{{ - \alpha \left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{2} < 0$ απορρίπτεται

Έτσι $\displaystyle x = \frac{{\alpha \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2}\;\dot \eta \;x = - \frac{{\alpha \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2}$

Με $\displaystyle\left| x \right| = \frac{{\alpha \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2}$ η $\left( 3 \right)$ δίνει: $\displaystyle y = \alpha - \frac{{\alpha \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2} \Leftrightarrow y = \frac{{\alpha \left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}{2}$

Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι:

$\displaystyle\left( {x,y} \right) = \left( {\frac{{\alpha \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2},\frac{{\alpha \left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}{2}} \right),\left( { - \frac{{\alpha \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2},\frac{{\alpha \left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}{2}} \right)$ με $\alpha \ge 0$ που επαληθεύουν το σύστημα

#3

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Κ. Θεοφιλόπουλος

4. Να λυθεί στο $\displaystyle{\color{red}\mathbb{C}}}$ το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} (\alpha x-\beta y)^2+ (\alpha y+\beta x)^2=0 \\ \alpha x+\beta y=\alpha^2+\beta^2 \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta}$ πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{\alpha^2+\beta^2\ne 0}$

Είναι $\displaystyle{({a^2} + {\beta ^2})({x^2} + {y^2}) = {(ay + \beta x)^2} + {(ax - \beta y)^2}}$ (ταυτότητα του Lagrange)
Επειδή $\displaystyle{{a^2} + {\beta ^2} \ne 0}$ , θα είναι $\displaystyle{{x^2} + {y^2} = 0}$ (1)

$\displaystyle{ax + \beta y = {a^2} + {\beta ^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\beta \ne 0} y = \frac{{{a^2} + {\beta ^2} - ax}}{\beta }}$ (2)

Από (1), (2) έχουμε: $\displaystyle{{x^2} + {\left( {\frac{{{a^2} + {\beta ^2} - ax}}{\beta }} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\beta ^2}{x^2} + {({a^2} + {\beta ^2})^2} - 2a({a^2} + {\beta ^2})x + {a^2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{({a^2} + {\beta ^2})\left( {{x^2} - 2ax + {a^2} + {\beta ^2}} \right) = 0}$ .

Από την τελευταία αυτή εξίσωση προκύπτουν οι λύσεις: $\displaystyle{x = a \pm \beta i}$ .

Οπότε οι λύσεις του συστήματος είναι $\displaystyle{\left( {x = a + \beta i,y = \beta - ai} \right) \vee \left( {x = a - \beta i,y = \beta + ai} \right)}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

parmenides51 έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 11, 2014 11:57 pm
Εξεταστής: Κ. Θεοφιλόπουλος

1. Να βρείτε την αναγκαία συνθήκη ώστε το σύστημα των εξισώσεων $\displaystyle{ \begin{cases} 2x+3y+4w=0\\ 9x+6y+4w=0 \\ \alpha x+\beta y+\gamma w=0 \end{cases}}$
να επιδέχεται κι άλλες λύσεις πλην της προφανούς $\displaystyle{x=y=w=0}$ .
Να βρεθούν επίσης όλες οι ακέραιες τριάδες $\displaystyle{(x,y,w)}$ των ακεραίων $\displaystyle{x,y,w}$ οι οποίες ικανοποιούν το σύστημα.

Aς δούμε αυτό το θέμα, είναι κατάλληλο για κάποιο φοιτητή που μελετά Γραμμική Άλγεβρα.

$D=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4\\ 9& 6 & 4\\ \alpha & \beta & \gamma \end{vmatrix}=...=28\beta -12\alpha -15\gamma$

Iκανή και αναγκαία συνθήκη για να έχει το σύστημα και άλλες λύσεις πλην της προφανούς x=y=w=0

είναι
$D=0\Leftrightarrow 28\beta -12\alpha-15\gamma =0$

Aς δούμε τη μορφή των απείρων λύσεων.

Ας θεωρήσουμε το

ως ελεύθερο άγνωστο.

Οι δύο πρώτες εξισώσεις γράφονται
$2x+3y=-4w\\$
$9x+6y=-4w\\$

που ισοδύναμα δίνουν

$\displaystyle x=\frac{4w}{5}, y=-\frac{28w}{15}$ με $w\epsilon \mathbb{R}$

Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής

$\displaystyle\left ( x,y,w \right )=\left ( \frac{4w}{5},-\frac{28w}{15},w \right )$ με $w\epsilon \mathbb{R}$

Θα βρούμε τώρα τις ακέραιες τριάδες $\left ( x,y,w \right )$

που ικανοποιούν το σύστημα.

Θέτω w=15k

με $k\epsilon \mathbb{Z}$

και έτσι εύκολα βρίσκω y=-28k

και

με $k\epsilon \mathbb{Z}$

Oι άπειρες ακέραιες λύσεις του συστήματος έχουν τη μορφή

$\left ( x,y,w \right )=\left ( 12k,-28k,15k \right )$ με $k\epsilon \mathbb{Z}$

ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΧΗΜ. ΜΕΤ. ΤΟΠ. ΑΡΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΧΗΜ. ΜΕΤ. ΤΟΠ. ΑΡΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Re: ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΧΗΜ. ΜΕΤ. ΤΟΠ. ΑΡΧ. ΑΛΛΟΔ

Re: ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΧΗΜ. ΜΕΤ. ΤΟΠ. ΑΡΧ. ΑΛΛΟΔ

Re: ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΧΗΜ. ΜΕΤ. ΤΟΠ. ΑΡΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Μέλη σε σύνδεση