Σταθερή συνάρτηση (βοήθεια)

Makismath · #1

Θα εκτιμούσα τη βοήθειά σας σε αυτή την άσκηση:
Αν

δύο φορές παραγωγίσιμη στο

και ισχύει:
$f''(x)=\sqrt{1-f^{2}(x)}$
να δείξετε ότι η

είναι σταθερή

nikoszan · #2

$f''\left( x \right) = \sqrt {1 - {f^2}\left( x \right)} ,x \in R$
Πρέπει $1 - {f^2}\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow - 1 \le f\left( x \right) \le 1,\forall x \in R$
Έχουμε $f''\left( x \right) = \sqrt {1 - {f^2}\left( x \right)} \ge 0,\forall x \in R \Rightarrow f' \uparrow R$
Έστω ότι υπάρχει ${x_0} \in R$ ,ώστε $f'\left( {{x_0}} \right) \ne 0$ ,,τότε επειδή είναι $f' \uparrow R$ ,(ευκολα) προκύπτει ότι
$f\left( x \right) \ge f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right),\forall x \in R:\left( 1 \right)$
Έστω ότι είναι $f'\left( {{x_0}} \right) > 0$ ,τότε απο την $\left( 1 \right)$ και επειδή είναι $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)} \right) = + \infty$ ,
προκύπτει ότι $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty$ ,ΑΤΟΠΟ, αφού ισχύει $- 1 \le f\left( x \right) \le 1,\forall x \in R$ .
Έστω ότι είναι $f'\left( {{x_0}} \right) < 0$ ,τότε απο την $\left( 1 \right)$ και επειδή είναι $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)} \right) = + \infty$ ,προκύπτει ότι
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty$ ,ΑΤΟΠΟ, αφού ισχύει $- 1 \le f\left( x \right) \le 1,\forall x \in R$ .
Επομένως δεν υπάρχει ${x_0} \in R$ ,ώστε $f'\left( {{x_0}} \right) \ne 0$ ,οπότε είναι $f'\left( x \right) = 0,\forall x \in R$ ,άρα η

είναι σταθερή στο

.
Ν.Ζ.

Σταθερή συνάρτηση (βοήθεια)

Σταθερή συνάρτηση (βοήθεια)

Re: Σταθερή συνάρτηση (βοήθεια)

Μέλη σε σύνδεση