Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#1941

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 911: Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{n^3 +n^2 +2n \geq 4\sqrt{n}(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+ . . . +\sqrt{n})}$ , για κάθε $\displaystyle{n\in N^{*}}$

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε:

$\displaystyle{4\sqrt n \left( {1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 + .... + \sqrt n } \right) \le 4\sqrt n \sqrt n \sqrt {1 + 2 + 3 + ...n} = 4n\sqrt {\frac{{n(n + 1)}}{2}} }$

Αρκεί να δείξουμε ότι:

$\displaystyle{{n^3} + {n^2} + 2n \ge 4n\sqrt {\frac{{n(n + 1)}}{2}} }$

ή αρκεί να δείξιυμε ότι:

$\displaystyle{{n^2} + n + 2 \ge 4\sqrt {\frac{{n(n + 1)}}{2}} }$

ή

$\displaystyle{{\left[ {n\left( {n + 1} \right) + 2} \right]^2} \ge 8n(n + 1)}$

το οποίο ισχύει αφού είναι άμεσο συμπέρασμα της Α.Μ-G.M

$\displaystyle{n\left( {n + 1} \right) + 2 \ge 2\sqrt {2n(n + 1)} \Rightarrow {\left[ {n\left( {n + 1} \right) + 2} \right]^2} \ge 8n(n + 1)}$

Ισότητα έχουμε για n=1.

raf616 · #1942

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 912: Οκτώ δρομείς τρέχουν σε ένα αγώνα τετρακοσίων μέτρων. Πόσες διαφορετικές τριάδες αθλητών μπορούν να κατακτήσουν τα τρία πρώτα μετάλλια;

Βάζω μία λύση. Ελπίζω να είναι σωστή.

Προφανώς οι τριάδες "Γιώργος, Δημήτρης, Γιάννης", "Γιάννης, Δημήτρης, Γιώργος" κτλ είναι ίδιες. Επομένως, ο αριθμός των τριάδων είναι:

$\displaystyle{\binom{8}{3} = \dfrac{8!}{5!3!} = \dfrac{6 \cdot 7 \cdot 8}{6} = 56}$

#1943

raf616 έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 912: Οκτώ δρομείς τρέχουν σε ένα αγώνα τετρακοσίων μέτρων. Πόσες διαφορετικές τριάδες αθλητών μπορούν να κατακτήσουν τα τρία πρώτα μετάλλια;
Βάζω μία λύση. Ελπίζω να είναι σωστή.

Προφανώς οι τριάδες "Γιώργος, Δημήτρης, Γιάννης", "Γιάννης, Δημήτρης, Γιώργος" κτλ είναι ίδιες. Επομένως, ο αριθμός των τριάδων είναι:

$\displaystyle{\binom{8}{3} = \dfrac{8!}{5!3!} = \dfrac{6 \cdot 7 \cdot 8}{6} = 56}$

Οι τριάδες που αναφέρεις στο παράδειγμα, θα πρέπει να τις πάρουμε διαφορετικές, γιατί τα μετάλλια είναι διαφορετικά. Ο πρώτος θα πάρει το χρυσό, ο δεύτερος το αργυρό και ο τρίτος το χάλκινο. Δες το με διάταξη (χωρίς επανατοποθέτηση)

raf616 · #1944

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
raf616 έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 912: Οκτώ δρομείς τρέχουν σε ένα αγώνα τετρακοσίων μέτρων. Πόσες διαφορετικές τριάδες αθλητών μπορούν να κατακτήσουν τα τρία πρώτα μετάλλια;
Βάζω μία λύση. Ελπίζω να είναι σωστή.

Προφανώς οι τριάδες "Γιώργος, Δημήτρης, Γιάννης", "Γιάννης, Δημήτρης, Γιώργος" κτλ είναι ίδιες. Επομένως, ο αριθμός των τριάδων είναι:

$\displaystyle{\binom{8}{3} = \dfrac{8!}{5!3!} = \dfrac{6 \cdot 7 \cdot 8}{6} = 56}$
Οι τριάδες που αναφέρεις στο παράδειγμα, θα πρέπει να τις πάρουμε διαφορετικές, γιατί τα μετάλλια είναι διαφορετικά. Ο πρώτος θα πάρει το χρυσό, ο δεύτερος το αργυρό και ο τρίτος το χάλκινο. Δες το με διάταξη (χωρίς επανατοποθέτηση)

Διορθώνω λοιπόν τη λύση: Ο αριθμός των τριάδων είναι:

$\dfrac{8!}{(8-3)!} = 336$

#1945

ΑΣΚΗΣΗ 913: Να βρείτε το πλήθος όλων των τριψήφιων αριθμών που σχηματίζονται από τρία διαφορετικά μεταξύ τους ψηφία.

Και ακόμα μία ερώτηση (ίσως λίγο δύσκολη): Ποιο είναι το άθροισμα όλων αυτών των τριψηφίων αριθμών;

raf616 · #1946

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 913: Να βρείτε το πλήθος όλων των τριψήφιων αριθμών που σχηματίζονται από τρία διαφορετικά μεταξύ τους ψηφία.

Και ακόμα μία ερώτηση (ίσως λίγο δύσκολη): Ποιο είναι το άθροισμα όλων αυτών των τριψηφίων αριθμών;

Καλημέρα. Βάζω μία προσέγγιση...

Τα ψηφία είναι

. Δε γίνεται όμως το

να είναι πρώτο ψηφίο. Επομένως, το τελευταίο ψηφίο μπορεί να επιλεγεί με

τρόπους, το επόμενο με

και το πρώτο με

. Έτσι, σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική

αρχή οι αριθμοί είναι $10 \cdot 9 \cdot 7 = 630$ .

Θα βρούμε τώρα τους αριθμούς που τελειώνουν σε

. Το τελευταίο ψηφίο μπορεί να επιλεγεί με

τρόπο, το δεύτερο με

και το πρώτο με

τρόπους. Επομένως, οι

αριθμοί είναι $1 \cdot 9 \cdot 7 = 63$ . Τόσοι είναι και οι αριθμοί που τελειώνουν σε 2, 3

κτλ.

Άρα, το άθροισμα των μονάδων των αριθμών είναι $63(1 + 2 + ... + 9) = 63 \cdot \dfrac{9 \cdot 10}{2} = 2835$

Με όμοιο τρόπο παίρνουμε ότι το άθροισμα των δεκάδων είναι 28350

και των εκατοντάδων 283500

.

Επομένως, το άθροισμα όλων των αριθμών είναι $2835 + 28350 + 283500 = 2835 \cdot 111 = 314685$ .

*EDIT: Έγινε διόρθωση της δημοσίευσης μετά από παρατήρηση του κ. Δημήτρη τον οποίο και ευχαριστώ.

#1947

raf616 έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 913: Να βρείτε το πλήθος όλων των τριψήφιων αριθμών που σχηματίζονται από τρία διαφορετικά μεταξύ τους ψηφία.

Και ακόμα μία ερώτηση (ίσως λίγο δύσκολη): Ποιο είναι το άθροισμα όλων αυτών των τριψηφίων αριθμών;
Καλημέρα. Βάζω μία προσέγγιση...

Τα ψηφία είναι . Επομένως, το τελευταίο ψηφίο μπορεί να επιλεγεί με τρόπους, το επόμενο με και το πρώτο με . Έτσι, σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική

αρχή οι αριθμοί είναι $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ .

Θέλει λίγο να προσέξεις ότι μέσα σε όλα τα ψηφία , υπάρχει και το μηδέν, το οποίο δεν μπορεί να μπει στην πρώτη θέση (ψηφίο εκατοντάδων), γιατί τότε
ο αριθμός δεν θα ήταν τριψήφιος.
Προτείνω να βρεις πρώτα το πλήθος των τριψήφιων που σχηματίζονται από τα ψηφία $\displaystyle{1,2,3, ... ,9}$ , (με τον τρόπο που εργάστηκες) . και ύστερα το πλήθος αυτών που έχουν το μηδέν δεύτρο ή τρίτο ψηφίο.

#1948

ΑΣΚΗΣΗ 914:(a) Να βρείτε πόσες συναρτήσεις με τύπο $\displaystyle{f(x)=\frac{3x^2 +5}{x^a -x^b}}$ μπορούμε να σχηματίσουμε

αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ επιλέγονται από το σύνολο: $\displaystyle{A=\{1,2,3, ... , 100\}}$

(b) Πόσες συναρτήσεις με τύπο $\displaystyle{f(x)=\frac{3x^2 +a}{x^b -x}}$ μπορούμε να σχηματίσουμε αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ επιλέγονται από το ίδιο σύνολο $\displaystyle{A;}$

raf616 · #1949

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 914:(a) Να βρείτε πόσες συναρτήσεις με τύπο $\displaystyle{f(x)=\frac{3x^2 +5}{x^a -x^b}}$ μπορούμε να σχηματίσουμε

αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ επιλέγονται από το σύνολο: $\displaystyle{A=\{1,2,3, ... , 100\}}$

(b) Πόσες συναρτήσεις με τύπο $\displaystyle{f(x)=\frac{3x^2 +a}{x^b -x}}$ μπορούμε να σχηματίσουμε αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ επιλέγονται από το ίδιο σύνολο $\displaystyle{A;}$

Καλησπέρα. Μία προσέγγιση χωρίς όμως να είμαι σίγουρος...

(α) Για να ορίζεται η συνάρτηση θα πρέπει $x^b \neq x^a \implies a \neq b$ και $x \neq 0$

Επομένως, το πρώτο γράμμα μπορούμε να το διαλέξουμε με 100

τρόπους και το δεύτερο με

και άρα σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή έχουμε $99 \cdot 100 =9900$

τρόπους όταν $x \neq 0$ .

(β) Καταρχήν το

μπορεί να επιλεγεί με 100

τρόπους αφού δεν επηρεάζει. Θα πρέπει ακόμα $x \neq 0$ και $x^{b} \neq x \implies b \neq 1$ . Επομένως, το

μπορεί να επιλεγεί με

τρόπους. Έτσι, θα έχουμε $99 \cdot 100 = 9900$ τρόπους συνολικά όταν $x \neq 0$ .

#1950

ΑΣΚΗΣΗ 915: Πόσες διαφορετικές συναρτήσεις με τύπο: $\displaystyle{f(x)=\frac{ax}{(a-b)(bx^2 +5)}}$ υπάρχουν, όταν

τα $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{b}$ επιλέγονται από το σύνολο $\displaystyle{A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}$

Θεοδωρος Παγωνης · #1951

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 915: Πόσες διαφορετικές συναρτήσεις με τύπο: $\displaystyle{f(x)=\frac{ax}{(a-b)(bx^2 +5)}}$ υπάρχουν, όταν

τα $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{b}$ επιλέγονται από το σύνολο $\displaystyle{A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}$

Είναι $f(x)=\frac{ax}{\left( a-b \right)\left( b{{x}^{2}}+5 \right)}$ για να ορίζεται η

πρέπει $a\ne b$ .
Με αυτόν τον περιορισμό η

γράφεται $f(x)=\frac{\frac{a}{a-b}x}{b{{x}^{2}}+5}$ .
Για b=0

, για τον συντελεστή του

έχω $\frac{a}{a-0}=1$ για κάθε $a\in A$ , άρα έχω την ίδια συνάρτηση . Οπότε για b=0

έχω μια συνάρτηση .
Για b=1

, για τον συντελεστή του

έχω $\frac{a}{a-1}={{k}_{1}}\in \mathbb{R}$ (εξίσωση 1ου βαθμού) για μοναδική τιμή του $a\in A$ , άρα έχω 6 συναρτήσεις , αφού πάντα ισχύει $a\ne b$ .
Για b=2

, για τον συντελεστή του

έχω $\frac{a}{a-2}={{k}_{2}}\in \mathbb{R}$ (εξίσωση 1ου βαθμού) για μοναδική τιμή του $a\in A$ , άρα έχω 6 συναρτήσεις , αφού πάντα ισχύει $a\ne b$ .
Όμοια βρίσκω ότι έχω συνολικά 36+1=37 διαφορετικές συναρτήσεις .

Ελέγχω επίσης αν υπάρχουν ${{b}_{i}}\ ,\ {{b}_{j}}\in A$ με ${{b}_{i}}\ne {{b}_{j}}$ τέτοια ώστε

$\frac{\frac{a}{a-{{b}_{i}}}}{{{b}_{i}}}=\frac{\frac{a}{a-{{b}_{j}}}}{{{b}_{j}}}\Leftrightarrow \frac{a{{b}_{j}}}{a-{{b}_{i}}}=\frac{a{{b}_{i}}}{a-{{b}_{j}}}\Leftrightarrow a{{b}_{j}}\left( a-{{b}_{j}} \right)=a{{b}_{i}}\left( a-{{b}_{i}} \right)\Leftrightarrow$
$a{{b}_{j}}a-ab_{j}^{2}=a{{b}_{i}}a-ab_{i}^{2}\Leftrightarrow {{b}_{j}}a-b_{j}^{2}={{b}_{i}}a-b_{i}^{2}\Leftrightarrow {{b}_{j}}a-{{b}_{i}}a=b_{j}^{2}-b_{i}^{2}\Leftrightarrow$
$a\left( {{b}_{j}}-{{b}_{i}} \right)=\left( {{b}_{j}}-{{b}_{i}} \right)\left( {{b}_{j}}+{{b}_{i}} \right)$ , όμως ${{b}_{i}}\ne {{b}_{j}}$ , άρα $a={{b}_{j}}+{{b}_{i}}$ .

Οπότε στις περιπτώσεις που έχω :
a=3

,

και

,

έχω την ίδια συνάρτηση
a=4

,

και

,

έχω την ίδια συνάρτηση
a=5

,

και

,

έχω την ίδια συνάρτηση
a=5

,

και

,

έχω την ίδια συνάρτηση
a=6

,

και

,

έχω την ίδια συνάρτηση
a=6

,

και

,

έχω την ίδια συνάρτηση
a=7

,

και

,

έχω την ίδια συνάρτηση
a=7

,

και

,

έχω την ίδια συνάρτηση
a=7

,

και

,

έχω την ίδια συνάρτηση

Αν και η «ομορφιά» της λύσης δεν με συναρπάζει δεν μπόρεσα να βρω πιο «κομψή» λύση.
Ελπίζω να μην υπάρχει κάποιο λάθος..

Μετά απο παρατήρηση του κυρίου Δημήτρη οι παραπάνω 9 περιπτώσεις δεν δίνουν την ίδια συνάρτηση.
Οπότε συνολικά έχω 37 διαφορετικές συναρτήσεις.

υ.γ. τελικά η ελπίδα πεθαίνει πάντα τελευταία...

Al.Koutsouridis · #1952

ΑΣΚΗΣΗ 916: Να λυθεί η εξίσωση $\sqrt{ a - \sqrt{ a + x }} = x$

#1953

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΗΝ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ

1. ΜΕΤΑΘΕΣΗ:

Ονομάζουμε μετάθεση

αντικειμένων , κάθε δυνατό τρόπο τοποθέτησης αυτών σε μια σειρά.

Το πλήθος των μεταθέσεων

αντικειμένων, ισούται με $\displaystyle{n!}$ .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν σε μια σειρά τρία άτομα;
ΛΥΣΗ: Με $\displaystyle{3!}$ τρόπους, δηλαδή με $\displaystyle{1.2.3=6}$ τρόπους.

2. ΔΙΑΤΑΞΗ ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ:

Θα λέμε ότι έχουμε μια διάταξη με επανάληψη των

αντικειμένων ανά

, αν πάρουμε

αντικείμενα από τα

και τα τοποθετήσουμε σε μια σειρά

Στην σειρά αυτή, παίζει ρόλο όχι μόνο ποια αντικείμενα θα επιλέξουμε, αλλά και η σειρά που θα τα τοποθετήσουμε, δηλαδή ποιο θα βάλοθμε πρώτο ,΄

ποι δεύτερο κλπ. Επίσης το κάθε αντικείμενο, μπορεί να επαναληφθεί το πολύ μέχρι

φορές.

Το πλήθος όλων των επαναληπτικών διατάξεων των

αντικειμένων ανά

, είναι $\displaystyle{n^m}$ .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Από τα αντικείμενα a,b,c

, μπορούν να τοποθετηθούν σε μια σειρά δύο από αυτά, με τους εξής τρόπους:
aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc

. Βλέπουμε ότι το πλήθος όλων των επαναληπτικών διατάξεων είναι 3^2

3. ΔΙΑΤΑΞΗ ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ:

Θα λέμε ότι έχουμε μια διάταξη χωρίς επανάληψη των

αντικειμένων ανά

, αν πάρουμε

αντικείμενα από τα

και τα τοποθετήσουμε

σε μια σειρά. Στην σειρά αυτή, παίζει ρόλο όχι μόνο ποια αντικείμενα θα επιλέξουμε, αλλά και η σειρά που θα τα τοποθετήσουμε. Δεν επιτρέπονται

όμως επαναλήψεις.

Το πλήθος όλων των διατάξεων των

αντικειμένων ανά

, όταν δεν έχουμε επαναλήψεις, είναι: $\displaystyle{\frac{n!}{(n-m)!}}$

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Από τα αντικείμενα a,b,c

μπορούν να τοποθετηθούν σε μια σειρά δύο από αυτά, χωρίς να επιτρέπονται επαναλήψεις, με τους εξής
τρόπους: ab,ac,ba,bc,ca,cb

. Βλέπουμε ότι το πλήθος όλων των μη επαναληπτικών διατάξεων είναι

$\displaystyle{\frac{3!}{(3-2)!}=\frac{3!}{1!}=6}$

4. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ:

Συνδυασμό των

αντικειμένων ανά

, όπου $\displaystyle{1\leq m\leq n}$ , ονομάζουμε κάθε υποσύνολο του συνόλου $\displaystyle{A=\{a_1 , a_2 , ... , a_n \}}$ , το

οποίο περιέχει

στοιχεία. Εδώ δεν μας ενδιαφέρει η σειρά των αντικειμένων και φυσικά δεν επιτρέπονται επαναλήψεις.

Το πλήθος όλων των συνδυασμών των

αντικειμένων ανά

, ισούται με $\displaystyle{\frac{n!}{m! (n-m)!}}$

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε δύο γράμματα από τα a,b,c

, αν κάθε γράμμα το πάρουμε μία το πολύ φορά και αν δεν
ενδιαφερόμαστε ποιο θα πάρουμε πρώτο και ποιο δεύτερο.
ΛΥΣΗ: Όλοι οι τρόποι είναι: $\displaystyle{\{a,b\} , \{a,c\} , \{b,c\}}$
Βλέπουμε ότι το πλήθος όλων των συνδυασμών είναι $\displaystyle{\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{3!}{2!.1!}=3}$

#1954

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 915: Πόσες διαφορετικές συναρτήσεις με τύπο: $\displaystyle{f(x)=\frac{ax}{(a-b)(bx^2 +5)}}$ υπάρχουν, όταν

τα $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{b}$ επιλέγονται από το σύνολο $\displaystyle{A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}$

Δίνω μια λύση στο θέμα αυτό:

Επειδή αν $\displaystyle{a=0}$ , ο τύπος της συνάρτησης γίνεται $\displaystyle{f(x)=0}$ , βλέπουμε ότι για κάθε τιμή του $\displaystyle{b\neq 0}$ , έχουμε τον ίδιο τύπο. Συνεπώς για $\displaystyle{a=0}$ ,

παίρνουμε μια μόνο συνάρτηση.

Το ίδιο συμβαίνει και όταν το $\displaystyle{b=0}$ , οπότε για κάθε τιμή του $\displaystyle{a\neq 0}$ , παίρνουμε επίσης μια μόνο συνάρτηση την $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{5}}$

Aς δούμε τώρα, πόσες συναρτήσεις θα πάρουμε, όταν τα $\displaystyle{a , b}$ επιλέγονται από το σύνολο $\displaystyle{B=\{1,2,3,4,5,6,7\}}$

Eπειδή πρέπει να είναι προφανώς $\displaystyle{a\neq b}$ , βλέπουμε ότι έχουμε να επιλέξουμε δύο από τους επτά αριθμούς, όπου δεν επιτρέπεται να πάρουμε

και τους δύο ίδιους, (δηλαδή δεν επιτρέπεται η επανάληψη), αλλά μας ενδιαφέρει η σειρά που θα τους πάρουμε (δηλαδή, αν π.χ πάρουμε τους

αριθμούς

και

, θα σημαίνει ότι a=1 , b=2

, ενώ αν πάρουμε τους αριθμούς

και

, θα σημαίνει ότι a=2 , b=1

)

Άρα έχουμε διάταξη των

αριθμών ανά δύο, χωρίς επανάληψη. Άρα το πλήθος όλων των διατάξεων ισούται με $\displaystyle{\frac{7!}{(7-2)!}=42}$

Συνεπώς όλες οι συναρτήσεις που ζητάμε είναι 42+1+1=44

#1955

Al.Koutsouridis έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 916: Να λυθεί η εξίσωση $\sqrt{ a - \sqrt{ a + x }} = x$

Ωραία άσκηση , που στην αρχή πίστεψα ότι είναι εκτός του παρόντος θέματος, μιας και η πολυωνυμική εξίσωση που προκύπτει ύστερα από τις υψώσεις

στο τετράγωνο είναι τετάρτου βαθμού και σκέφτηκα μήπως χρειάζεται η μέθοδος της επίλυσης της τεταρτοβάθμιας εξίσωσης, γιατί δεν έβλεπα κάποιον

προφανή τρόπο παραγοντοποίησης. Τελικά, μετά την υπόδειξη του Al.Koutsouridis, υπάρχει μια απλή λύση , την οποία και παραθέτω:

Αρχικά, πρέπει να είναι $\displaystyle{x\geq 0}$ και $\displaystyle{a-\sqrt{a+x}\geq 0}$ . Από εδώ προκύπτει ότι πρέπει $\displaystyle{x , a \geq 0}$

Mε ύψωση στο τετράγωνο και με δεδομένους τους πιο πάνω περιορισμούς, έχουμε ισοδύναμα: $\displaystyle{\sqrt{a+x}=a-x^2}$ , (1)

Πρέπει $\displaystyle{a-x^2 \geq 0}$ και με δεδομένο ότι $\displaystyle{x , a \geq 0}$ , έχουμε $\displaystyle{0\leq x\leq \sqrt a}$ . Έτσι η (1) ισοδύναμα γράφεται:

$\displaystyle{a+x=(a-x)^2 \Leftrightarrow a^2 -(2x^2 +1)a+x^4 -x=0}$ , (2)

Η διακρίνουσα του τριωνύμου (ως προς $\displaystyle{a}$ ) , είναι $\displaystyle{\Delta =(2x+1)^2}$ και άρα $\displaystyle{a_1 =x^2 +x+1 , a_2 =x^2 -x}$ . Έτσι η (2) ισοδύναμα γράφεται:

$\displaystyle{(a-x^2 -x-1)(a-x^2 +x)=0\Leftrightarrow x^2 +x+1-a=0}$ ή $\displaystyle{x^2 -x-a=0}$

1η Περίπτωση: $\displaystyle{x^2 +x+1-a=0}$ . Η εξίσωση αυτή έχει τις λύσεις $\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{4a-3}}{2}}$

Για να είναι δεκτή η $\displaystyle{x_1}$ , θα πρέπει $\displaystyle{0\leq x_1 \leq \sqrt a}$ , το οποίο είναι αληθές όταν $\displaystyle{a\geq \frac{3}{4}}$ ενώ η $\displaystyle{x_2}$ δεν είναι δεκτή

αφού είναι αρνητική.

2η Περίπτωση: $\displaystyle{x^2 -x-a=0}$ . Με όμοιο τρόπο, βρίσκουμε ότι δεκτή είναι η λύση $\displaystyle{x=\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2}}$ , όπου $\displaystyle{0\leq a\leq \frac{1}{4}}$ και η λύση $\displaystyle{x=\frac{1+\sqrt{4a+1}}{2},}$ με $\displaystyle{a\geq -\frac{1}{4}}$

ΣΗΜ: Σε άλλη δημοσίευση , με θέμα "Παράξενη εξίσωση", που έβαλα με αφορμή την άσκηση αυτή, ο Βαγγέλης Μουρούκος έχει δώσει λύση αυτής της φιλοσοφίας.

#1956

ΑΣΚΗΣΗ 917: Τοποθετούμε

γράμματα της ελλ. αλφαβήτας σε μια σειρά με τέτοιο τρόπο, ώστε ανάμεσα σε δύο σύμφωνα να

υπάρχει ένα φωνήεν. Πόσες λέξεις μπορούμε να σχηματίσουμε;

ΣΗΜ: Τα γράμματα είναι διαφορετικά

raf616 · #1957

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 917: Τοποθετούμε γράμματα της ελλ. αλφαβήτας σε μια σειρά με τέτοιο τρόπο, ώστε ανάμεσα σε δύο σύμφωνα να

υπάρχει ένα φωνήεν. Πόσες λέξεις μπορούμε να σχηματίσουμε;

Γεια σας. Βάζω μία προσέγγιση μετά από υπόδειξη του κ. Δημήτρη.

Η λέξη θα έχει τη μορφή ΣΦΣΦΣ όπου Σ είναι σύμφωνο και Φ φωνήεν. Επομένως, το πρώτο γράμμα επιλέγεται με

τρόπους, το δεύτερο με

, το τρίτο με

το

τέταρτο με

και το τελευταίο με

. Επομένως, συνολικά έχουμε $17 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 7 \cdot 17 = 17^3 \cdot 7^2$ τέτοιες λέξεις.

#1958

ΑΣΚΗΣΗ 918: Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

simantiris j. · #1959

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 918: Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Καλησπέρα,
Η λέξη "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ" έχει δυο Μ και τρία Α άρα με το γνωστό θεώρημα έχουμε $\frac{10!}{2!3!}=302400$ αναγραμματισμούς.

#1960

simantiris j. έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 918: Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Καλησπέρα,
Η λέξη "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ" έχει δυο Μ και τρία Α άρα με το γνωστό θεώρημα έχουμε $\frac{10!}{2!3!}=302400$ αναγραμματισμούς.

Γράφω το θεώρημα που χρησιμοποίησε ο simantiris για να δώσει την λύση:

Έστω ότι έχουμε $\displaystyle{n}$ αντικείμενα τα οποία δεν είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους , αλλά υπάρχουν $\displaystyle{n_1 , n_2 , ... , n_k}$ όμοια αντικείμενα

(όπου $\displaystyle{n_1 +n_2 + ... + n_{k} = n}$ ). Τότε ο τύπος που δίνει το πήθος $\displaystyle{N}$ των διαφορετικών μεταθέσεων (κατανομών ή αναγραμματισμών), είναι:

$\displaystyle{N=\frac{n!}{n_1 ! n_2 ! ... n_k !}}$

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα, έχουμε δύο φορές το $\displaystyle{M}$ , τρεις φορές το $\displaystyle{A}$ , μία το $\displaystyle{\Theta}$ , μία το $\displaystyle{H}$ ,μία το $\displaystyle{T}$ , μία το $\displaystyle{I}$ kαι μία

το $\displaystyle{K}$ . Άρα το πλήθος των διαφορετικών αναγραμματισμών είναι $\displaystyle{N=\frac{10!}{2! 3! 1! 1! 1! 1! 1!}=\frac{10!}{2! 3!}}$

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση