Πολυμέγιστο

KARKAR · #1

: Πολυμέγιστο.png (60.79 KiB) Προβλήθηκε 1122 φορές

Από σημείο

το οποίο κινείται επί ημικυκλίου διαμέτρου AB=2R

, φέρω τμήμα $ST\perp AB$ .

Να βρεθεί το μέγιστο του (AST)

με διάφορους τρόπους .

kostas_zervos · #2

KARKAR έγραψε:
Πολυμέγιστο.png
Από σημείο το οποίο κινείται επί ημικυκλίου διαμέτρου , φέρω τμήμα $ST\perp AB$ .

Να βρεθεί το μέγιστο του με διάφορους τρόπους .

Έστω

και

, τότε το ημικύκλιο έχει εξίσωση $(x-R)^2+y^2=R^2\;,\;x\in[0,2R],y\in[0,R]$ , άρα (AT)=x

και $(TS)=y=\sqrt{2Rx-x^2}$ .

Επομένως $(AST)=\dfrac{1}{2}x\sqrt{2Rx-x^2}=\dfrac{\sqrt{2Rx^3-x^4}}{2}$ .

Η παράσταση $2Rx^3-x^4\;,\;x\in[0,2R]$ έχει μέγιστο για $x=\dfrac{3R}{2}$ το $2R\dfrac{27R^3}{8}-\dfrac{81R^4}{16}=\dfrac{27R^4}{16}$ , επομένως η μέγιστη τιμή του (AST)

είναι $\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{27R^4}{16}}=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{8}$ .

p_gianno · #3

Το μέγιστο του (AST)

επιτυγχάνεται όταν μεγιστοποιείται το (ASP)

Είναι γνωστό ότι από όλα τα εγγεγραμμένα τρίγωνα σε κύκλο αυτό με το μέγιστο εμβαδόν είναι το ισόπλευρο. (Απόδειξη γνωστή - κατασκευαστική που πρέπει να έχει ξαναγίνει εδώ)
$(SAP)=[(R \sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}]:4=[3R^2 \sqrt{3}]:4$
Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδόν έχει μεγίστη τιμή $[3R^2 \sqrt{3}]:8$

KARKAR · #4

p_gianno έγραψε:Το μέγιστο του επιτυγχάνεται όταν μεγιστοποιείται το
Είναι γνωστό ότι από όλα τα εγγεγραμμένα τρίγωνα σε κύκλο αυτό με το μέγιστο εμβαδόν είναι το ισόπλευρο.
( Απόδειξη γνωστή - κατασκευαστική που πρέπει να έχει ξαναγίνει εδώ )

: μέγιστο εμβαδόν 2.png (13.08 KiB) Προβλήθηκε 1028 φορές

Η αναφορά μου θύμισε την λύση που βρίσκεται εδώ (όχι πάντως κατασκευαστική !)

#5

Αφού ζητά ο Θανάσης "διάφορους τρόπους", ας δούμε έναν ακόμα:

: 08-03-2014 Γεωμετρία.jpg (27.85 KiB) Προβλήθηκε 1001 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο O(0, 0)

παίρνουμε ημικύκλιο $\displaystyle {x^2} + {y^2} = {R^2},\;\;0 \le y \le R$ και σημείο πάνω σ' αυτό $\displaystyle S\left( {R \cdot \sigma \upsilon \nu \theta ,\;R \cdot \eta \mu \theta } \right),\;\;0 < \theta < \pi$ .

Το τρίγωνο AST

, όπου

και $\displaystyle {\rm T}\left( {R \cdot \sigma \upsilon \nu \theta ,\;0} \right)$ η προβολή του

στον οριζόντιο άξονα έχει εμβαδό $\displaystyle \left( {AST} \right) = \frac{{{R^2}}}{2} \cdot \left[ {\left( {\sigma \upsilon \nu \theta + 1} \right) \cdot \eta \mu \theta } \right]$ , αφού $\displaystyle {\rm A}{\rm T} = \left| {R \cdot \sigma \upsilon \nu \theta - \left( { - R} \right)} \right| = R\left( {\sigma \upsilon \nu \theta + 1} \right),\;\;ST = R \cdot \eta \mu \theta$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( \theta \right) = \left( {\sigma \upsilon \nu \theta + 1} \right) \cdot \eta \mu \theta ,\;\;0 < \theta < \pi$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( \theta \right) = 2\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta + \sigma \upsilon \nu \theta - 1$ .

Μελετώντας το πρόσημο της παραγώγου, βρίσκουμε ότι η $f(\theta)$ παρουσιάζει μέγιστο όταν $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \theta = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi }{3}$ .

Τότε $\displaystyle S\left( {\frac{R}{2},\;\frac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right)$ και μέγιστο εμβαδό $\displaystyle {\left. {\left( {AST} \right)} \right|_{\max }} = \frac{{3\sqrt 3 \cdot {R^2}}}{8}$

Προφανώς, αυτό συμβαίνει όταν είναι ισόπλευρο το εγγεγραμμένο τρίγωνο στον κύκλο που κατασκευάζεται αν πάρουμε το συμμετρικό του ημικυκλίου.

Πολυμέγιστο

Πολυμέγιστο

Re: Πολυμέγιστο

Re: Πολυμέγιστο

Re: Πολυμέγιστο

Re: Πολυμέγιστο

Μέλη σε σύνδεση