απορια: ολοκληρωματα-ανισοτητες

NtD · #1

Καλημέρα, έχω μια απορία.

Ξέρω ότι αν ισχύει $f(x)\geq 0$ τότε $\int_{a}^{b}f(x) dx\geq 0$

$f(x)\geq g(x)\Rightarrow f(x)-g(x)\geq 0$ Θεωρώ την h(x)=f(x)-g(x)

οπότε: $\int_{a}^{b}h(x) dx\geq 0\Leftrightarrow \int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] dx\geq 0\Leftrightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx\geq 0\Leftrightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx\geq \int_{a}^{b}g(x)dx$

Η ερώτηση μου είναι πότε μια ανισοτική σχέση ΔΕΝ "ολοκληρώνεται";

Ευχαριστώ.

Andreas Koulouris · #2

Δεν είναι αν κάποια από τις

και

δεν είναι ολοκληρώσιμη (δεν έχει σύνολο σημείων ασυνέχειας με μέτρο μεγαλύτερο από 0), ή για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου, αν κάποια από τις

και

δεν είναι συνεχής ή αν α>=β

#3

Φαντάζομαι ότι εννοείς αν ολοκληρώσω δεν παίρνω ανισότητα με την ίδια φορά.

Για

,

συνεχείς σε κάποιο διάστημα $\Delta$ , με
$f\left( x\right) \geq g\left( x\right) \,\,\ \ \ \ (1)$ για όλα τα $x\in\Delta$
και $\alpha ,\beta \in \Delta$ ισχύουν τα ακόλουθα:
$\bullet$ Αν $\alpha <\beta$ τότε $\int_{\alpha }^{\beta }f\left( x\right) dx\geq \int_{\alpha }^{\beta }g\left( x\right) dx$ . Αν επιπλέον η (1)

για ένα τουλάχιστον $x\in \left[ \alpha ,\beta \right]$ ισχύει σαν γνήσια ανισότητα δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον $x\in \left[ \alpha ,\beta \right]$ ώστε $f\left( x\right) \underset{}{>}g\left( x\right)$ τότε $\int_{\alpha }^{\beta }f\left( x\right) dx>\int_{\alpha }^{\beta }g\left( x\right) dx$ .
$\bullet$ Αν $\alpha >\beta$ τότε $\int_{\alpha }^{\beta }f\left( x\right) dx\leq \int_{\alpha }^{\beta }g\left( x\right) dx$ και αν για ένα τουλάχιστον $x\in \left[\beta , \alpha\right]$ η (1)

ισχύει σαν γνήσια ανισότητα τότε $\int_{\alpha }^{\beta }f\left( x\right) dx<\int_{\alpha }^{\beta }g\left( x\right) dx$ .
$\bullet$ Αν $\alpha=\beta$ τότε $\int_{\alpha }^{\beta }f\left( x\right) dx= \int_{\alpha }^{\beta }g\left( x\right) dx=0$ .
Μαυρογιάννης

απορια: ολοκληρωματα-ανισοτητες

απορια: ολοκληρωματα-ανισοτητες

Re: απορια: ολοκληρωματα-ανισοτητες

Re: απορια: ολοκληρωματα-ανισοτητες

Μέλη σε σύνδεση