Άσκηση στην Εξίσωση Κύκλου

Andreas Koulouris · #1

: Σχήμα; kyklos efaptomeni.png (15.67 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές

Δίνεται ο κύκλος του παραπάνω σχήματος με κέντρο την αρχή των αξόνων και τα σημεία του

και

με τετμημένες -1,5

και

αντίστοιχα. Αν η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο

τέμνει τον άξονα των y'y

στο σημείο $\Gamma$ , να βρεθεί το σημείο $\Gamma$ καθώς και η γωνία $\Gamma$ που είναι σημειωμένη στο σχήμα

ως 31 Μαρτίου 2014, Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

BAGGP93 · #2

Γεια σας.

Το σημείο $\displaystyle{B}$ είναι σημείο του άξονα των τετμημένων και σημείο του κύκλου, οπότε η ακτίνα $\displaystyle{r}$ του κύκλου

ισούται με $\displaystyle{r=\left(OB\right)=x_{B}=3}$ .

Εξίσωση κύκλου : $\displaystyle{x^2+y^2=9}$ . Το σημείο $\displaystyle{A\,\left(-\frac{3}{2},k\right)}$ είναι σημείο του κύκλου με $\displaystyle{k<0}$ , άρα

$\displaystyle{\left(-\frac{3}{2}\right)^2+k^2=9\Rightarrow \frac{9}{4}+k^2=9\Rightarrow k^2=\frac{27}{4}\Rightarrow k=-\frac{3\,\sqrt{3}}{2}}$ , δηλαδή $\displaystyle{A\,\left(-\frac{3}{2},-\frac{3\,\sqrt{3}}{2}\right)}$ .

Η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο $\displaystyle{A\,\left(-\frac{3}{2},-\frac{-3\,\sqrt{3}}{2}\right)}$ είναι η

$\displaystyle{x\cdot x_{A}+y\cdot y_{A}=r^2\Leftrightarrow -\frac{3}{2}\,x-\frac{3\,\sqrt{3}}{2}\,y=9\Leftrightarrow x+\sqrt{3}\,y=-6}$ . Έτσι, $\displaystyle{\Gamma\,\left(0,-2\,\sqrt{3}\right)}$ .

Πρώτος τρόπος για την εύρεση της γωνίας

Η ζητούμενη γωνία είναι αυτή που σχηματίζουν τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow{a}=\left(0,-1\right)\,\,,\overrightarrow{b}=\left(\sqrt{3},-1\right)}}$

όπου $\displaystyle{\overrightarrow{b}}$ είναι το παράλληλο διάνυσμα στην εφαπτομένη του κύκλου.

Επομένως, αν ονομάσουμε $\displaystyle{\phi}$ τη ζητούμενη γωνία, τότε

$\displaystyle{\cos\,\phi=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{1}{2}\Rightarrow \phi=\frac{\pi}{3}}$

Δεύτερος τρόπος για την εύρεση της γωνίας

Έστω $\displaystyle{\phi}$ η ζητούμενη γωνία. Θεωρούμε την ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{y=y_{\Gamma}=-2\,\sqrt{3}}$ .

Τότε, η γωνία $\displaystyle{\omega}$ που σχηματίζει η ευθεία αυτή με την εφαπτόμενη είναι ίδια με τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτόμενη με τον άξονα των τετμημένων , άρα

$\displaystyle{\tan\,\omega=\lambda_{\epsilon}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \omega=\frac{5\,\pi}{6}}$ , διότι $\displaystyle{\omega\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)}$ .

Η συμπηρωματική γωνία $\displaystyle{\theta}$ της $\displaystyle{\phi}$ , είναι παραπληρωματική της $\displaystyle{\omega}$ , οπότε

$\displaystyle{\omega+\theta=\pi\Rightarrow \frac{5\,\pi}{6}+\theta=\pi\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6}}$ .

Συνεπώς, $\displaystyle{\phi+\theta=\frac{\pi}{2}\Rightarrow \phi=\frac{\pi}{2}-\theta\Rightarrow \phi=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\Rightarrow \phi=\frac{\pi}{3}}$ .

Άσκηση στην Εξίσωση Κύκλου

Άσκηση στην Εξίσωση Κύκλου

Re: Άσκηση στην Εξίσωση Κύκλου

Μέλη σε σύνδεση