ΘΑΛΗΣ 2009

[Μάκης Χατζόπουλος]

Αν σας πω βρε παιδιά ότι εγώ είμαι μεγαλύτερος από εσάς κατά 17 χρόνια, τι θα γράψετε;;

(Ηλικία μου) > (ηλικία σας) +17 ;

(Ηλικία σας) > (ηλικία μου) +17 ;

(Ηλικία μου) = (ηλικία σας) +17 ;

(Ηλικία σας) = (ηλικία μου) +17 ;

[Chrismegg]

Στο θεμα 2 της Γ-Λυκειου:
Φτανοντας στη σχεση:f(f(x))=f(x), αν θεσουμε f(x)=y (ΜΠΟΡΟΥΜΕ;;;)
εχουμε f(y)=y αρα και f(x)=x δηλαδη ειναι σαν να πηραμε χωρις αποδειξη οτι η f ειναι 1-1 αφου απο: f(f(x))=f(x) πηγαμε f(x)=x

[Dimitris X]

Δεν είναι ισότητα....
Απλώς θέτεις στη θέση του το .

[Chrismegg]

Δεν είναι ισότητα....
Απλώς θέτεις στη θέση του x το f(x) .


Δεν καταλαβαινω τι εννοεις :δεν ειναι ισοτητα
Δεν καταλαβαινω τι εννοεις: Απλώς θέτεις στη θέση του x το f(x) ,αφου η ερωτηση ειναι αν μπορουμε να θεσουμε f(x)=y και να προκυψει....

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Αν σας πω βρε παιδιά ότι εγώ είμαι μεγαλύτερος από εσάς κατά 17 χρόνια, τι θα γράψετε;;

(Ηλικία μου) > (ηλικία σας) +17 ;

(Ηλικία σας) > (ηλικία μου) +17 ;

(Ηλικία μου) = (ηλικία σας) +17 ;

(Ηλικία σας) = (ηλικία μου) +17 ;

Διορθωνοντας γραπτά του ΘΑΛΗ και φέτος, αλλά και πέρυσι σε παρόμοιο θέμα, παρατήρησα ότι πολοί μαθητές, υπέπεσαν σε αυτό το λάθος. Δηλαδή παρασυρόμενοι από τη λέξη μεγαλύτερος, έφτιαξαν ανίσωση αντί για εξίσωση. Όμως η διατύπωση είναι απόλυτα σαφής και δεν μπορεί να διατυπωθεί καλύτερα.
Το πρόβλημα είναι γενικότερο και πρέπει νομίζω να προσεχθεί ιδιαίτερα από την πλευρά μας (των καθηγητών της Β/θμιας εκπ/σης), όσον αφορά στη διδασκαλία προβλημάτων και ιδιαίτερα στο σημείο μεταφοράς ενός προβλήματος στη μαθηματική γλώσσα.
Θα ήθελα να θίξω ένα άλλο ερώτημα και θα ήθελα τη γνώμη σας για το πως αλλοιώς θα μπορούσε να διατυπωθεί:
Πρόκειται για το δεύτερο θέμα της Β γυμνασίου και συγκεκριμένα για το "'Εστω α θετικός ακέραιος τον οποίο διαιρούμε με 4.
Ποιές είναι οι δυνατές μορφές του παραπάνω θετικού ακέραιου α".
Πολλοί μαθητές θεώρησαν ότι ο α διαιρείται με το 4.
Και ενώ στο δεύτερο ερώτημα (να βρούν αριθμό μεταξύ 39 και 50 που να αφήνει υπόλοιπο 1) δεν είχαν πρόβλημα, στο πρώτο ερώτημα δεν καταλάβαιναν τι ζητούσε.
Ενώ ο σκοπός του πρώτου ερωτήματος ήταν βοηθητικός για το δεύτερο, ήταν τελικά αυτό που μπέρδεψε πολλούς.

[lonis]

Τώρα που έφυγε ο ανηψιός μου για τα ωραία Γιάννενα, να πω κι εγώ μια γνώμη, αν και στους μαθηματικούς διαγωνισμούς είμαι ερασιτέχνης, όπως σε όλα άλλωστε.

Ασχολήθηκα,κατά τη διάρκεια της επιτήρησης, που κάναμε με τον Βασίλη (mathxl) χθες το πρωί με τα θέματα της Α λυκείου και της Β και Γ γυμνασίου (με τα υπόλοιπα από αύριο). Δε συμμερίζομαι τον ενθουσιασμό που είδα εδώ:

Το 3ο θέμα της Α λυκείου είναι μια απλή σύγκριση τριγώνων και μάλιστα επαναλαμβάνεται δυο φορές στα ερωτήματα.

Το 2ο θέμα της Β γυμνασίου το θεωρώ απαράδεκτο: Δίνεται ότι ο α είναι θετικός ακέραιος τον οποίο διαιρούμε με το 4. Στο (i) ερώτημα: "Ποιες είναι οι δυνατές μορφές του παραπάνω θετικού ακέραιου ακέραιου α", πώς πρέπει να απαντήσει ένας έξυπνος μαθητής της τάξης αυτής, που δεν έχει δει πουθενά της περιπτωσιολογία των μορφών ενός ακεραίου με βάση τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης; Ας μην ξεχνάμε ότι η πρώτη φάση του διαγωνισμού δεν είναι για "επαγγελματίες" μαθητές, οι οποίοι στοχεύουν από Αρχιμήδη και πάνω και οι οποίοι εφοδιάζονται με επιπλέον εργαλεία ούτως ή άλλως. Το χειρότερο με το ερώτημα αυτό είναι ότι προσποιείται ότι βοηθάει στο επόμενο: (ii) "Ποιές είναι οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός α, αν είναι περιττός, μεγαλύτερος από 39 και μικρότερος από 50, και διαιρούμενος με το 4 δίνει υπόλοιπο 1". Βρε παιδιά, οι περιττοί ακέραιοι ανάμεσα στο 39 και το 50 είναι οι 41, 43, 45, 47 και 49. Υπόλοιπο 1 (στη διαίρεση με το 4) αφήνουν οι 41, 45 και 49. Τέλος! Τι τις θέλουμε τις ανισότητες όταν η αλήθεια είναι μπροστά στα μάτια μας;

Ανάλογα σκεπτόμενοι στο ερώτημα του 2ου θέματος της Γ γυμνασίου " Ο θετικός ακέραιος α είναι περιττός και όταν διαιρεθεί με το 5 αφήνει υπόλοιπο 2. Να βρείτε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού α", θα είχαμε: Ο αριθμός α-2 διαιρείται με το 5 άρα τελειώνει σε 0 ή 5. Έτσι ο α τελειώνει σε 2 ή 7. Αλλά είναι περιττός, άρα δεν μπορεί να τελειώνει σε 2. Έτσι το τελευταίο του ψηφίο είναι 7. Καμιά σχέση με τις περίπλοκες λύσεις της ΕΜΕ.

Αλλά και στο 1ο θέμα της Γ γυμνασίου, με τον υπολογισμό της παράστασης Α, όπου πρέπει να διακρίνεις περιπτώσεις (ν άρτιος - ν περιττός), έχω ένσταση: οι μαθητές της τάξης αυτής δεν αναμένουν τη διάκριση περιπτώσεων όταν τους ζητείται ο υπολογισμός αριθμητικής παράστασης.

Αυτά για όσα θέματα είδα ήδη. Πιστεύω ότι θα υπάρξει πρόβλημα σε αυτά τα ερωτήματα και στη βαθμολόγηση. Θα επανέλθω αργότερα, αν προλάβω να γράψω, με το 4ο θέμα της Α λυκείου, στο οποίο δε μου άρεσε η επίσημη λύση της ΕΜΕ.

Λεωνίδας

[Ilias_Zad]

Δεν είναι ισότητα....
Απλώς θέτεις στη θέση του x το f(x) .


Δεν καταλαβαινω τι εννοεις :δεν ειναι ισοτητα
Δεν καταλαβαινω τι εννοεις: Απλώς θέτεις στη θέση του x το f(x) ,αφου η ερωτηση ειναι αν μπορουμε να θεσουμε f(x)=y και να προκυψει....

Aν θεσεις f(x)=y εχεις οντως oτι ισχυει f(y)=y αλλα οχι για καθε y στο R αναγκαστικα. το y παιρνεις τιμες στο συνολο τιμων της f εδω.

[lonis]

Συγγνώμη προκαταβολικά που δεν ασχολούμαι με την υπόλοιπη συζήτηση. Δεν θέλω να εμπλακώ πριν δω μόνος μου τα θέματα αυτά. Δίνω τη λύση μου στο πρόβλημα με τις βρύσες (4ο θέμα της Α λυκείου):

Μετρώντας από τη χρονική στιγμή που θα λειτουργούν και οι τρεις βρύσες ταυτόχρονα, την πρώτη ώρα θα προστεθεί στη δεξαμενή όγκος νερού ίσος με το της δεξαμενής. Σε 2 ώρες, θα μπει όγκος νερού ίσος με τα της δεξαμενής και ... τέλος! Δεν μπορεί να λειτουργούν μαζί οι βρύσες για 3 ή περισσότερες ώρες.

Τι κλάσμα του όγκου της δεξαμενής πρέπει να έχει μπει πριν την ταυτόχρονη λειτουργία τους; Τα ή τα αντίστοιχα.

Ας δούμε τα μέρη της δεξαμενής που γέμισαν πριν την παραπάνω χρονική στιγμή , ανάλογα με τις βρύσες που άνοιξαν πρώτες:

Α-Β:

Α-Γ:

Β-Α:

Β-Γ:

Γ-Α:

Γ-Β:

Έτσι, οι καλές περιπτώσεις είναι οι Β-Γ και Γ-Α, δηλαδή:

ανοίγει η βρύση Β για δύο ώρες και ύστερα η Γ (άθροισμα ωρών 3+1=4): 3 ώρες πριν μπει στο χορό και η Α κι άλλη μια ώρα που δουλεύουν όλες μαζί ή:

ανοίγει η βρύση Γ για δύο ώρες και ύστερα η Α (άθροισμα ωρών 1+2=3): μετράει μόνο μία ώρα από τις τρεις πρώτες, γιατί ο χρονομηχανισμός ξεκινάει να δουλεύει όταν πέσει νερό στη δεξαμενή, οπότε το δίωρο λειτουργίας της βρύσης Γ δεν προσμετράται στο σύνολο.

Καλό βράδυ

Λεωνίδας

[lonis]

Θα ήθελα να θίξω ένα άλλο ερώτημα και θα ήθελα τη γνώμη σας για το πως αλλοιώς θα μπορούσε να διατυπωθεί:
Πρόκειται για το δεύτερο θέμα της Β γυμνασίου και συγκεκριμένα για το "'Εστω α θετικός ακέραιος τον οποίο διαιρούμε με 4.
Ποιές είναι οι δυνατές μορφές του παραπάνω θετικού ακέραιου α".
Πολλοί μαθητές θεώρησαν ότι ο α διαιρείται με το 4.
Και ενώ στο δεύτερο ερώτημα (να βρούν αριθμό μεταξύ 39 και 50 που να αφήνει υπόλοιπο 1) δεν είχαν πρόβλημα, στο πρώτο ερώτημα δεν καταλάβαιναν τι ζητούσε.
Ενώ ο σκοπός του πρώτου ερωτήματος ήταν βοηθητικός για το δεύτερο, ήταν τελικά αυτό που μπέρδεψε πολλούς.

Ανδρέα, μόλις είδα ότι είχαμε τον ίδιο προβληματισμό. Και σχεδόν ταυτόχρονα!

[Mihalis_Lambrou]

Δεν είναι ισότητα....
Απλώς θέτεις στη θέση του x το f(x) .

Aν θεσεις f(x)=y εχεις οντως oτι ισχυει f(y)=y αλλα οχι για καθε y στο R αναγκαστικα. το y παιρνεις τιμες στο συνολο τιμων της f εδω.

Απάντησε επαρκέστατα ο Ηλίας, αλλά ας μου επιτραπεί ένα ακόμη σχόλιο για να γίνει κατανοητότερη η απάντηση. Συγνώμη όμως που γίνομαι πολύ αναλυτικός:

Πες ότι είχαμε την συνάρτηση με
f(1) = f(2) = 2 και f(3) = 3.

Θέτοντας διαδοχικά χ = 1, 2, 3 μπορείς να ελέγξεις ότι ισχύει f(f(x)) = f(x) Για κάθε χ στο πεδίο ορισμού. Π.χ. για χ = 1 έχουμε f(f(1)) = f(2) = 2 = f(1) και λοιπά.

Μπορούμε άραγε να συμπεράνουμε ότι ισχύει f(x) = x για κάθε στο πεδίο ορισμού;

Όχι. Π.χ. δεν ισχύει f(1) = 1.

Αυτό που ισχύει είναι ακριβώς αυτό που αναφέρει ο Ηλίας. Δηλαδή για τα y της μορφής f(x) ισχύει f(y) = y. Στο παράδειγμά μας είναι τα f(1) , f(2) και f(3) που είναι αντίστοιχα 2, 2 (ξανά) και 3. Δηλαδή μόνο για τα y = 2 ή 3, όχι για το 1.

Φιλικά,

Μιχάλης.

[fmak65]

Για το πρωτο θεμα της Α' Λυκειου , υπηρχε και περσυ παρομοια εκφραση και οπως αναφερε ο γυιος μου στο συνεδριο στην εισηγηση του το 40% των μαθητων δεν την ελυσε την ασκηση και εκανε λαθη οπως αυτα που αναφερει ο Μακης ή λαθη στις πραξεις.

[xr.tsif]

Τώρα που έφυγε ο ανηψιός μου για τα ωραία Γιάννενα, να πω κι εγώ μια γνώμη, αν και στους μαθηματικούς διαγωνισμούς είμαι ερασιτέχνης, όπως σε όλα άλλωστε.

Ασχολήθηκα,κατά τη διάρκεια της επιτήρησης, που κάναμε με τον Βασίλη (mathxl) χθες το πρωί με τα θέματα της Α λυκείου και της Β και Γ γυμνασίου (με τα υπόλοιπα από αύριο). Δε συμμερίζομαι τον ενθουσιασμό που είδα εδώ:

Το 3ο θέμα της Α λυκείου είναι μια απλή σύγκριση τριγώνων και μάλιστα επαναλαμβάνεται δυο φορές στα ερωτήματα.

Το 2ο θέμα της Β γυμνασίου το θεωρώ απαράδεκτο: Δίνεται ότι ο α είναι θετικός ακέραιος τον οποίο διαιρούμε με το 4. Στο (i) ερώτημα: "Ποιες είναι οι δυνατές μορφές του παραπάνω θετικού ακέραιου ακέραιου α", πώς πρέπει να απαντήσει ένας έξυπνος μαθητής της τάξης αυτής, που δεν έχει δει πουθενά της περιπτωσιολογία των μορφών ενός ακεραίου με βάση τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης; Ας μην ξεχνάμε ότι η πρώτη φάση του διαγωνισμού δεν είναι για "επαγγελματίες" μαθητές, οι οποίοι στοχεύουν από Αρχιμήδη και πάνω και οι οποίοι εφοδιάζονται με επιπλέον εργαλεία ούτως ή άλλως. Το χειρότερο με το ερώτημα αυτό είναι ότι προσποιείται ότι βοηθάει στο επόμενο: (ii) "Ποιές είναι οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός α, αν είναι περιττός, μεγαλύτερος από 39 και μικρότερος από 50, και διαιρούμενος με το 4 δίνει υπόλοιπο 1". Βρε παιδιά, οι περιττοί ακέραιοι ανάμεσα στο 39 και το 50 είναι οι 41, 43, 45, 47 και 49. Υπόλοιπο 1 (στη διαίρεση με το 4) αφήνουν οι 41, 45 και 49. Τέλος! Τι τις θέλουμε τις ανισότητες όταν η αλήθεια είναι μπροστά στα μάτια μας;

Ανάλογα σκεπτόμενοι στο ερώτημα του 2ου θέματος της Γ γυμνασίου " Ο θετικός ακέραιος α είναι περιττός και όταν διαιρεθεί με το 5 αφήνει υπόλοιπο 2. Να βρείτε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού α", θα είχαμε: Ο αριθμός α-2 διαιρείται με το 5 άρα τελειώνει σε 0 ή 5. Έτσι ο α τελειώνει σε 2 ή 7. Αλλά είναι περιττός, άρα δεν μπορεί να τελειώνει σε 2. Έτσι το τελευταίο του ψηφίο είναι 7. Καμιά σχέση με τις περίπλοκες λύσεις της ΕΜΕ.

Αλλά και στο 1ο θέμα της Γ γυμνασίου, με τον υπολογισμό της παράστασης Α, όπου πρέπει να διακρίνεις περιπτώσεις (ν άρτιος - ν περιττός), έχω ένσταση: οι μαθητές της τάξης αυτής δεν αναμένουν τη διάκριση περιπτώσεων όταν τους ζητείται ο υπολογισμός αριθμητικής παράστασης.

Αυτά για όσα θέματα είδα ήδη. Πιστεύω ότι θα υπάρξει πρόβλημα σε αυτά τα ερωτήματα και στη βαθμολόγηση. Θα επανέλθω αργότερα, αν προλάβω να γράψω, με το 4ο θέμα της Α λυκείου, στο οποίο δε μου άρεσε η επίσημη λύση της ΕΜΕ.

Λεωνίδας

Καλησπέρα
Ο γιος μου είναι πρώτη γυμνασίου και το απόγευμα του Σαββάτου του έδωσα τα θέματα της Β γυμνασίου να τα λύσει.
Απέδειξε το 2ο θέμα έτσι ακριβώς : Βρε παιδιά, οι περιττοί ακέραιοι ανάμεσα στο 39 και το 50 είναι οι 41, 43, 45, 47 και 49. Υπόλοιπο 1 (στη διαίρεση με το 4) αφήνουν οι 41, 45 και 49. Τέλος! Τι τις θέλουμε τις ανισότητες όταν η αλήθεια είναι μπροστά στα μάτια μας;
.
Με τον ίδιο τρόπο έβγαλε το θέμα της γεωμετρίας με τις γωνίες Β και Γ. Άρχισε τους συνδυασμούς για το άθροισμα Β + Γ = 140 και Γ = 6Β και βρήκε τις Β = 20 και Γ = 120. Φυσικά θέλει δουλειά στα σχήματα της Γεωμετρίας όπως και αρκετά παιδιά της Β γυμνασίου από ότι έβλεπα κατά την επιτήρηση(κάτι πρέπει να κάνουμε γι'αυτό).
Φιλικά Χρήστος

[Dimitris X]

Τις επίσημες λύσεις τις ΕΜΕ που μπορώ να τις βρω???
Το site δεν μου ανοίγει....

[Γιώργος Ρίζος]

Τις επίσημες λύσεις τις ΕΜΕ που μπορώ να τις βρω???
Το site δεν μου ανοίγει....

Δημήτρη, δες στην 1η σελίδα αυτής της συζήτησης. Τις έχει αναρτήσει ο Βασίλης Στεφανίδης.

Γιώργος Ρίζος

[Dimitris X]

Ευχαριστώ...
Εγώ το ότι διαιρούνται με το 11 στη 3η άσκηση το έκανα με τον κλασικό κανόνα (με τα + και - εναλλάξ).Δεν πιστεύω να μου κόψουν από αυτο....??

Δημήτρης

[miltos]

συμμετειχα στο διαγωνισμο στη γ γυμνασιου και συγκέντρωσα 15/20 βαθμούς. δηλαδη ελυσα 3 θεματα.εχω και αλλον ενα βαθμο απο μια αλλη ασκηση.μπορειτε να κανετε μια εκτιμηση για το αν πέρασα,??
Ευχαριστώ

[Mulder]

Ευχαριστώ...
Εγώ το ότι διαιρούνται με το 11 στη 3η άσκηση το έκανα με τον κλασικό κανόνα (με τα + και - εναλλάξ).Δεν πιστεύω να μου κόψουν από αυτο....??

Δημήτρης

Δηλαδή πώς έκανες την απόδειξη;Δε το 'πιασα...

[miltos]

μπορειτε να απαντησετε σε αυτο που ρωτησα??

[fmak65]

μπορειτε να απαντησετε σε αυτο που ρωτησα??

δεν ειναι γνωστο με ποσα μορια περνας στην επομενη φαση.Περνουν ενα ποσοστο μαθητων απο αυτους που συμμετειχαν. Δηλαδη αν ολοι εγραψαν αριστα τοτε δεν περνας , ομως αυτο ειναι σπανιο και αν οντως εισαι σε αυτη την βαθμολογια τοτε κατα πασα πιθανοτητα περνας.

[miltos]

μπορειτε να απαντησετε σε αυτο που ρωτησα??

δεν ειναι γνωστο με ποσα μορια περνας στην επομενη φαση.Περνουν ενα ποσοστο μαθητων απο αυτους που συμμετειχαν. Δηλαδη αν ολοι εγραψαν αριστα τοτε δεν περνας , ομως αυτο ειναι σπανιο και αν οντως εισαι σε αυτη την βαθμολογια τοτε κατα πασα πιθανοτητα περνας.

ευχαριστω πολυ