αντίστροφη συνάρτηση

Ιστοσελίδα · #1

Ας τη λύσουμε πρώτα, μετά ας την σχολιάσουμε...

Έστω συνάρτηση

ορισμένη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει:

${{f}^{3}}(x)+f(x)=x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι 1-1

β) Να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση.

raf616 · #2

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Ας τη λύσουμε πρώτα, μετά ας την σχολιάσουμε...

Έστω συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει:

${{f}^{3}}(x)+f(x)=x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι
β) Να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση.

Καλημέρα. Μία προσέγγιση:

(α) Έστω $x_1, x_2 \in \Bbb{R}$ με f(x_1) = f(x_2)

. Τότε

και άρα προκύπτει x_1 = x_2

, δηλαδή η

είναι

.

(β) Αρχικά, θα δείξω ότι $f(\Bbb{R}) = \Bbb{R}$ . Αρκεί να βρω $x_0 \in \Bbb{R}$ έτσι ώστε $f(x_0) = y_0, \forall y_0 \in \Bbb{R}$ .

Έστω x_0 = y_0^3 + y_0

. Τότε η δοθείσα για x = x_0

γίνεται:

$\displaystyle{f^3(x_0) + f(x_0) = x_0 = y_0^3 + y_0 \Leftrightarrow (f(x_0) - y_0)(f^2(x_0) + y_0f(x_0) + y_0^2) = 0 \Leftrightarrow f(x_0) = y_0}$ ,

αφού η δεύτερη παρένθεση έχει αρνητική διακρίνουσα.

Τώρα, η δοθείσα για $x \to f^{-1}(x)$ θα γίνει $f^{-1}(x) = x^3 + x, \forall x \in \Bbb{R}$ .

#3

Η λύση του Ραφαήλ είναι μια χαρά
Σπύρο , τι σχολιασμό θέλεις ;
Ανάλογες συζητήσεις :

1.εδώ
2.εδώ
3.εδώ
4.εδώ
5.εδώ
6.εδώ

BAGGP93 · #4

Μπορούμε επίσης να αποδείξουμε, με απαγωγή εις άτοπον, ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα

και άρα $\displaystyle{1-1}$ .

Απόδειξη

Υποθέτουμε ότι υπάρχουν $\displaystyle{x_1\,,x_2\in\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{x_1<x_2}$ αλλά $\displaystyle{f(x_1)\geq f(x_2)}$ .

Τότε έχουμε :

$\displaystyle{\left(f^3(x_1)\geq f^3(x_2)\,\,\kappa \alpha \iota\,\,f(x_1)\geq f(x_2)\right)\implies f^3(x_1)+f(x_1)\geq f^3(x_2)+f(x_2)\implies x_1\geq x_2}$ , άτοπο.

Επομένως, αποδείξαμε ότι για κάθε $\displaystyle{x_1\,,x_2\in\mathbb{R}}$ ισχύει η συνεπαγωγή : $\displaystyle{x_1<x_2\implies f(x_1)<f(x_2)}$ ,

που σημαίνει ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Αυτό το συμπέρασμα μπορεί να προκύψει και από το γεγονός ότι η αντίστροφη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Μπορούμε επίσης να προσθέσουμε το ερώτημα :

Δείξτε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Ιστοσελίδα · #5

Για το πρώτο ερώτημα κανένα πρόβλημα, για το δεύτερο ερώτημα βρήκα την εξής λύση

Θέτω και η δοθείσα σχέση γράφεται:

${{y}^{3}}+y=x$ , επομένως

${{f}^{-1}}(y)={{y}^{3}}+y$ , συνεπώς και ${{f}^{-1}}(x)={{x}^{3}}+x$

Ερωτήματα

Α) Η παραπάνω λύση είναι σωστή και πλήρης.
Β) Αν δεν είναι μπορεί να γίνει συμπλήρωση και να γίνει.
Γ) Είναι απαραίτητο να βρεθεί ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το $\mathbb{R}$ ; (όπως έδειξε ο Ραφαήλ) γιατί;

raf616 · #6

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Για το πρώτο ερώτημα κανένα πρόβλημα, για το δεύτερο ερώτημα βρήκα την εξής λύση

Θέτω και η δοθείσα σχέση γράφεται:

${{y}^{3}}+y=x$ , επομένως

${{f}^{-1}}(y)={{y}^{3}}+y$ , συνεπώς και ${{f}^{-1}}(x)={{x}^{3}}+x$

Ερωτήματα

Α) Η παραπάνω λύση είναι σωστή και πλήρης.
Β) Αν δεν είναι μπορεί να γίνει συμπλήρωση και να γίνει.
Γ) Είναι απαραίτητο να βρεθεί ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το $\mathbb{R}$ ; (όπως έδειξε ο Ραφαήλ) γιατί;

Καλησπέρα κ. Σπύρο. Μπορώ να απαντήσω για το (γ). Η αντίστροφη συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της

. Επομένως, ενδέχεται θέτοντας $x \to f^{-1}(x)$ η αντίστροφη να μην έχει πεδίο ορισμού το $\Bbb{R}$ και έτσι η απάντηση να είναι λάθος(π.χ να μην ισχύει για κάθε $x \in \Bbb{R}$ ).
Έτσι, βρίσκοντας ότι το σύνολο τιμών της

είναι το $\Bbb{R}$ προκύπτει ότι η αντίστροφη έχει πεδίο ορισμού το $\Bbb{R}$ και έτσι δεν έχουμε πρόβλημα.

Με εκτίμηση,
Ραφαήλ

Λάμπρος Μπαλός · #7

Μπορούν επίσης να προσθέσουμε το ερώτημα :

Δείξτε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Υπέροχο ερώτημα.Μπράβο Ευάγγελε. Για να δούμε..

Είναι $f^{3}(x)+f (x)=x$ .

Για το τυχαίο πραγματικό x=k

θα ισχύει $f^{3}(k)+f (k)=k$

Αφαιρώ κατά μέλη τις σχέσεις και είναι

$f^{3}(x)-f^{3}(k)+f (x)-f (k)=x-k$

$(f (x)-f (k))(f^{2}(x)+f (x) f (k)+f^{2}(k)+1)=x-k$

Η ποσότητα στη δεύτερη παρένθεση είναι θετική ως άθροισμα τριωνύμου με μη θετική διακρίνουσα με τον αριθμό

.

Ποσότητα μεγαλύτερη ή ίση του

λοιπόν

Άρα $f (x)-f (k)=\frac{x-k}{f^{2}(x)+f (x) f (k)+f^{2}(k)+1}$

Ισχύει λοιπόν $\left|f (x)-f (k) \right|\leq \left|x-k \right|$

Με Κριτήριο Παρεμβολής βρίσκουμε

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow k}(f (x)-f (k))=0$

Άρα η

συνεχής στο οποιοδήποτε

πραγματικό δηλαδή συνεχής στο

.

Την παραγωγισιμότητα άλλη στιγμή..

#8

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Για το πρώτο ερώτημα κανένα πρόβλημα, για το δεύτερο ερώτημα βρήκα την εξής λύση

Θέτω και η δοθείσα σχέση γράφεται:

${{y}^{3}}+y=x$ , επομένως

${{f}^{-1}}(y)={{y}^{3}}+y$ , συνεπώς και ${{f}^{-1}}(x)={{x}^{3}}+x$

Ερωτήματα

Α) Η παραπάνω λύση είναι σωστή και πλήρης.
Β) Αν δεν είναι μπορεί να γίνει συμπλήρωση και να γίνει.
Γ) Είναι απαραίτητο να βρεθεί ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το $\mathbb{R}$ ; (όπως έδειξε ο Ραφαήλ) γιατί;

Καλησπέρα. Δε θεωρώ πως η λύση είναι πλήρης καθώς όπως λέει και το σχολικό:

Συντομογραφία συνάρτησης

Είδαμε παραπάνω ότι για να οριστεί μια συνάρτηση, f αρκεί να δοθούν δύο στοιχεία:

● το πεδίο ορισμού της και

● η τιμή της, f(x), για κάθε x του πεδίου ορισμού της.

Επομένως μιας και μας ζητάει να βρούμε την αντίστροφη συνάρτηση και όχι μόνο τον τύπο της οφείλουμε να βρούμε και το πεδίο ορισμού της.

BAGGP93 · #9

Για την παραγωγισιμότητα :

Έστω $\displaystyle{y\in\mathbb{R}}$ . Ισχύει ότι $\displaystyle{f^3(y)+f(y)=y}$ .

Επίσης, για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{x\neq y}$ έχουμε $\displaystyle{f^3(x)+f(x)=x}$

και

$\displaystyle{\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{1}{f^2(x)+f(x)\,f(y)+f^2(y)+1}}$ ( όπως και στην συνέχεια) .

Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο σημείο $\displaystyle{y}$ , έπεται ότι :

$\displaystyle{\lim_{x\to y}\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\lim_{x\to y}\dfrac{1}{f^2(x)+f(x)\,f(y)+f^2(y)+1}=\dfrac{1}{1+3f^2(y)}$

Συνεπώς, για κάθε $\displaystyle{y\in\mathbb{R}}$ υπάρχει το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to y}\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}$

στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ και ισούται με $\displaystyle{\dfrac{1}{1+3\,f^2(y)}$ .

Ορίζεται έτσι η παράγωγος συνάρτηση $\displaystyle{f^\prime:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ της $\displaystyle{f}$

και ισχύει ότι $\displaystyle{f^\prime(x)=\dfrac{1}{1+3\,f^2(x)}\,,x\in\mathbb{R}}$ .

Ακόμη ένα ερώτημα :

$\displaystyle{\bullet :$ Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : $\displaystyle{I=\int_{0}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x$ .

chris · #10

Αυτή η συγκεκριμένη άσκηση έχει συζητηθεί άπειρες φορές και έχουν τεθεί και απαντηθεί όλα τα δυνατά ερωτήματα που βάζετε παραπάνω. Είναι απαραίτητο να βρεθεί το σύνολο τιμών της

για να βρεθεί η αντίστροφη αλλιώς πολύ απλά δεν ξέρουμε για ποια

δουλεύουμε και συνεπώς και να βρούμε την αντίστροφη δεν θα έχει κανένα νόημα αφού δεν ξέρουμε το πεδίο ορισμού της. Είναι λεπτό το σημείο...

Ενδεικτικά:
Γιατί πρέπει να βρούμε το σύνολο τιμών. . Είναι σχεδόν ίδια συναρτησιακή σχέση.
Ίδια ακριβώς άσκηση με πάρα πολλά ερωτήματα.
Είναι ίδια ακριβώς συναρτησιακή. Η σταθερά

δεν επηρεάζει τον τρόπο λύσης που είναι πανομοιότυπος για τα παραπάνω ερωτήματα που έχουν τεθεί.

Το ερώτημα που τέθηκε παραπάνω με το ολοκλήρωμα υπάρχει επίσης αλλού στο φόρουμ που συζητήθηκε η ίδια άσκηση και είναι πολύ γνωστό επίσης. Υπάρχει και στο βιβλίο των Στεργίου-Νάκη.

Θα έβαζα και άλλα λινκ που συζητήθηκε η άσκηση αλλά είμαι σε χωριό και το νετ τα έχει παίξει.

pastavr · #11

Να προσθέσω και έναν άλλο τρόπο αντιμετώπισης για την αντίστροφη .
Στις περιπτώσεις αυτές συμφέρει να θεωρήσουμε τη συνάρτηση
$\displaystyle{g\left( x \right) = {x^3} + x{\text{ , }}x \in \mathbb{R}}$
Εύκολα βρίσκουμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ είναι 1-1 .
Για το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ έχουμε :
Έστω
$\displaystyle{y \in \mathbb{R}:f\left( x \right) = y \Leftrightarrow g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( y \right) \Leftrightarrow x = g\left( y \right) \Leftrightarrow x = {y^3} + y}$
Άρα το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ είναι το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ και από το παραπάνω έχουμε ότι ο τύπος της $\displaystyle{{f^{ - 1}}}$ είναι : $\displaystyle{{f^{ - 1}}\left( x \right) = {x^3} + x{\text{ , }}x \in \mathbb{R}}$

Ιστοσελίδα · #12

Συμφωνώ με τον Παύλο, άλλωστε η λύση της εξίσωσης y=f(x)

ως προς

για τον προσδιορισμό της αντίστροφης συνάρτησης γίνεται με ισοδυναμίες, άρα από την σχέση

${{f}^{3}}(x)+f(x)={{y}^{3}}+y$

που γίνεται όταν θέσουμε στην αρχική σχέση $x={{y}^{3}}+y$ , για να προκύψει η y=f(x)

θα πρέπει όπως έκανε ο Παύλος να δειχθεί
ότι η συνάρτηση

$g(x)={{x}^{3}}+x,\,\,\,\,\,\,x\in \mathbb{R}$ είναι 1-1

pastavr · #13

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Συμφωνώ με τον Παύλο, άλλωστε η λύση της εξίσωσης ως προς για τον προσδιορισμό της αντίστροφης συνάρτησης γίνεται με ισοδυναμίες, άρα από την σχέση

Οπότε Σπύρο δεν χρειάζεται μια καλύτερη δικαιολόγηση ο τύπος της αντίστροφης με τον τρόπο που βρέθηκε παραπάνω ,αφού δεν έχει προκύψει με ισοδυναμίες;

Tolaso J Kos · #14

BAGGP93 έγραψε: Ακόμη ένα ερώτημα :

$\displaystyle{\bullet :$ Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : $\displaystyle{I=\int_{0}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Ξεχάστηκε:

Ισχύει η σχέση : $\displaystyle{f^3(x)+f(x)=x,\,\,\,\forall x\in \mathbb{R}}$ . Τότε για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος θέτουμε $x=f^{-1}(y)$ και $\displaystyle{dx=\left ( f^{-1}(y) \right )'\,dy\Rightarrow dx=(3y^2+y)\,dy}$ .
Για $\displaystyle{x=0\Rightarrow y=0, \,\,\,x=2\Rightarrow y=1}$ και το ολοκλήρωμα γίνεται:
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{2}f(x)\,dx &=\int_{0}^{1}y\left (3y^2+y \right )\,dy \\ &=\int_{0}^{1}(3y^3+y^2)\,dy \\ &= \left [ \frac{3y^4}{4}+\frac{y^3}{3} \right ]_0^1=\frac{13}{12} \end{aligned}}$

και μία άλλη ιδέα:
Πολλαπλασιάζουμε τη δοσμένη σχέση με

και στα δύο μέλη και έχουμε: $\displaystyle{f^3(x)f'(x)+f(x)f'(x)=xf'(x)}$ και στη συνέχεια ολοκληρώνουμε κατά μέλη. (μπορούμε αφού η

είναι συνεχής.. έχει αποδειχθεί παραπάνω )

$\displaystyle{\int_{0}^{2}\lef(f^3(x)f'(x)+f(x)f'(x) \right )\,dx=\int_{0}^{2}xf'(x)\,dx\,\implies}$
$\displaystyle{ \left [ \frac{f^4(x)}{4}+\frac{f^2(x)}{2} \right ]_0^2=\left [ xf(x) \right ]_0^2-\int_{0}^{2}f(x)\,dx \,\implies}$
$\displaystyle{\int_{0}^{2}f(x)\,dx=\frac{13}{12}}$

αντίστροφη συνάρτηση

αντίστροφη συνάρτηση

Re: αντίστροφη συνάρτηση

Re: αντίστροφη συνάρτηση

Re: αντίστροφη συνάρτηση

Re: αντίστροφη συνάρτηση

Re: αντίστροφη συνάρτηση

Re: αντίστροφη συνάρτηση

Re: αντίστροφη συνάρτηση

Re: αντίστροφη συνάρτηση

Re: αντίστροφη συνάρτηση

Re: αντίστροφη συνάρτηση

Re: αντίστροφη συνάρτηση

Re: αντίστροφη συνάρτηση

Re: αντίστροφη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση