Ανισότητα 6 μεταβλητών

#1

Μου στάλθηκε από άγνωστο μου μαθηματικό (όχι Έλληνα) και δημοσιεύεται εδώ, χωρίς λύση* και χωρίς 'ιστορικό', με την άδεια του:

Αν για τους μη αρνητικούς πραγματικούς x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6

ισχύει η ισότητα x_1+x_2+x_3=x_4+x_5+x_6

, τότε ισχύει και η ανισότητα

$x_1^2x_4+x_2^2x_5+x_3^2x_6+4x_1x_4^2+4x_2x_5^2+4x_3x_6^2+x_4x_5x_6\geq16x_1x_2x_3$

*υπάρχει και μικρή πιθανότητα να μην ισχύει πάντοτε

Γιώργος Μπαλόγλου

Σ. Διονύσης · #2

gbaloglou έγραψε:Μου στάλθηκε από άγνωστο μου μαθηματικό (όχι Έλληνα) και δημοσιεύεται εδώ, χωρίς λύση* και χωρίς 'ιστορικό', με την άδεια του:

Αν για τους μη αρνητικούς πραγματικούς ισχύει η ισότητα , τότε ισχύει και η ανισότητα

$x_1^2x_4+x_2^2x_5+x_3^2x_6+4x_1x_4^2+4x_2x_5^2+4x_3x_6^2+x_4x_5x_6\geq16x_1x_2x_3$

*υπάρχει και μικρή πιθανότητα να μην ισχύει πάντοτε

Γιώργος Μπαλόγλου

Καλησπέρα

.

Αρκεί να βρούμε τα τοπικά ακρότατα (και μετά να εξετάσουμε αν είναι ολικά) της συνάρτησης:
$\displaystyle{f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=x_1^2x_4+x_2^2x_5+x_3^2x_6+4x_1x_4^2+4x_2x_5^2+4x_3x_6^2+x_4x_5x_6 \qquad ,\forall (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)\in\mathbb{R}_{+}^{6}}$

υπό την συνθήκη: $\varphi(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=x_1+x_2+x_3-x_4-x_5-x_6$

Θεωρούμε την βοηθητική συνάρτηση:

$\displaystyle{g(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,\lambda)=f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)+\lambda \varphi(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)}$

όπου $\lambda$ ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Είναι:

$\displaystyle{g_{x_1}=2x_1 x_4+4x_4^2+\lambda,\quad g_{x_2}=2x_2 x_5+4x_5^2+\lambda,\quad g_{x_3}=2x_3 x_6+4x_6^2+\lambda,\quad}$ $\displaystyle{ g_{x_4}=x_1^2 x_4+8x_1x_4-\lambda,\quad g_{x_5}=x_2^2 x_4+8x_2x_5-\lambda,\quad g_{x_6}=x_3^2 x_4+8x_3x_6-\lambda,\quad g_{\lambda}=x_1+x_2+x_3-x_4-x_5-x_6}$

Θεωρούμε τώρα το αλγεβρικό σύστημα:

$\displaystyle{\{g_{x_1}=0, g_{x_2}=0, g_{x_3}=0, g_{x_4}=0, g_{x_5}=0, g_{x_6}=0, g_{\lambda}=0 \}}$

Παρατηρούμε ότι το σύστημα είναι συμμετρικό ως προς τις μεταβλητές του x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6

. Με κυκλική εναλλαγή των $x_1\rightarrow x_2\rightarrow x_3\rightarrow x_1$ και $x_4\rightarrow x_5\rightarrow x_6\rightarrow x_4$ , παρατηρούμε ότι το σύστημα παραμένει αμετάβλητο. Επομένως ψάχνουμε για λύσεις με x_1=x_2=x_3

και

. Από την $g_{\lambda}=0$ λαμβάνουμε ότι:
$\displaystyle{3x_1=3x_4\Rightarrow x_1=x_4}$ και τελικά: x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=x_6

Είναι προφανές ότι η ανισότητα ισχύει για οποιαδήποτε x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=x_6=x

. Επομένως, πρέπει να είναι $\lambda=0$ γιατί αλλιώς το στάσιμο σημείο θα ήταν μόνο το (0,0,0,0,0,0)

κάτι που προφανώς δεν ισχύει. Άρα έχουμε τη μοναδική παραδεκτή λύση του συστήματος:

(x,x,x,x,x,x,0)

με $x\in\mathbb{R}_{+}$ (ή

, αλλά τότε προφανώς ισχύει η ανισότητα).

Οι μερικές παράγωγοι της σνάρτησης $\varphi(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$ είναι:

$\varphi_{x_1}=1, \varphi_{x_2}=1, \varphi_{x_3}=1, \varphi_{x_4}=-1, \varphi_{x_5}=-1, \varphi_{x_6}=-1$

και επίσης βρίσκουμε τις παραγώγους δεύτερης τάξης της συνάρτησης

. Ακόμα είναι $A=[\varphi_{x_1},\varphi_{x_2},\varphi_{x_3},\varphi_{x_4},\varphi_{x_5},\varphi_{x_6}]=[1,1,1,-1,-1,-1]\neq \overrightarrow{0}$ και άρα πρόκειται για τοπικό ακρότατο.Αν αναπτύξουμε την ορίζουσα:

$\displaystyle{\Delta_1=\begin{vmatrix} g_{x_1x_1} & g_{x_1x_2} & g_{x_1x_3} & g_{x_1x_4} & g_{x_1x_5} & g_{x_1x_6} & 1 \\ g_{x_2x_1} & g_{x_2x_2} & g_{x_2x_3} & g_{x_2x_4} & g_{x_2x_5} & g_{x_2x_6} & 1 \\ g_{x_3x_1} & g_{x_3x_2} & g_{x_3x_3} & g_{x_3x_4} & g_{x_3x_5} & g_{x_3x_6} & 1 \\ g_{x_4x_1} & g_{x_4x_2} & g_{x_4x_3} & g_{x_4x_4} & g_{x_4x_5} & g_{x_4x_6} & -1 \\ g_{x_5x_1} & g_{x_5x_2} & g_{x_5x_3} & g_{x_5x_4} & g_{x_5x_5} & g_{x_5x_6} & -1 \\ g_{x_6x_1} & g_{x_6x_2} & g_{x_6x_3} & g_{x_6x_4} & g_{x_6x_5} & g_{x_6x_6} & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 0\end{vmatrix}}$

και τις υποορίζουσες μέχρι και την $\Delta_5$ βλέπουμε ότι όλες είναι αρνητικές. Ενδεικτικά για την $\Delta_5$ έχουμε ότι:

$\displaystyle{\Delta_5=\begin{vmatrix} 8x_2 & 0 & -1 \\ 0 & 8x_3 & -1 \\ -1 & -1 & 0\end{vmatrix}=-8x_2-8x_3=-16x_2<0}$

κλπ και άρα έχουμε τοπικό ελάχιστο στη θέση αυτή. Επειδή όμως η θέση αυτή είναι για τυχαίο x_i

και όχι για συγκεκριμένη θέση έχουμε ότι είναι το ολικό ελάχιστο, με τιμή:

$\displaystyle{f_{min}=16x_1^3=16x_1x_2x_3}$

Παρατήρηση: Στην ίδια λύση καταλήγουμε και αν πούμε από την αρχή ότι λόγω ομοιογένειας της συνάρτησης βαθμού

, πράγματι: f(tx_1,tx_2,tx_3,tx_4,tx_5,tx_6)=t^3f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)

, δεν έχει σημασία σε ποια θέση είναι οι μεταβλητές και άρα οι συναρτήσεις με $x_1\rightarrow x_4\rightarrow x_1, \quad x_2\rightarrow x_5\rightarrow x_2, \quad x_3\rightarrow x_6\rightarrow x_3, \quad$ είναι ίδιες ως προς τις τιμές που παίρνουν για διαφορα x_i

. Τότε μάλιστα θα βλέπαμε ότι το ελάχιστο πιάνετε και γαι την πιο γενική περίπτωση της εξάδας: (x_1,x_2,x_3,x_1,x_2,x_3)

Το παραπάνω φαίνεται και από την ανισότητα AM-GM:

$\displaystyle{x_1^2x_4+x_2^2x_5+x_3^2x_6+4x_1x_4^2+4x_2x_5^2+4x_3x_6^2+x_4x_5x_6\geq16\sqrt[16]{x_1^6x_2^6x_3^6x_4^{10}x_5^{10}x_6^{10}}}$

και για x_1=x_4, x_2=x_5, x_3=x_6

$\displaystyle{x_1^2x_4+x_2^2x_5+x_3^2x_6+4x_1x_4^2+4x_2x_5^2+4x_3x_6^2+x_4x_5x_6\geq16x_1x_2x_3}$

Ελπίζω να μην έχω χάσει κάτι.

Φιλικά,
Διονύσης

#3

Σ. Διονύσης έγραψε:Παρατηρούμε ότι το σύστημα είναι συμμετρικό ως προς τις μεταβλητές του . Με κυκλική εναλλαγή των $x_1\rightarrow x_2\rightarrow x_3\rightarrow x_1$ και $x_4\rightarrow x_5\rightarrow x_6\rightarrow x_4$ , παρατηρούμε ότι το σύστημα παραμένει αμετάβλητο. Επομένως ψάχνουμε για λύσεις με και .

Είναι (γενικά) προφανές/σωστό αυτό; Όταν δηλαδή ένα σύστημα είναι συμμετρικό ως προς τις μεταβλητές και παραμένει αμετάβλητο με κυκλική εναλλαγή τους ... οι όποιες λύσεις του οφείλουν να είναι οι τετριμμένες;;;

[Ευχαριστώ πολύ για την συμβολή κατά τα άλλα -- πράγματι η μέθοδος των Πολλαπλασιαστών Lagrange μπορεί να είναι η μόνη εφαρμόσιμη, αλλά ας μην εγκαταλείψουμε και την προσπάθεια για στοιχειώδη λύση!]

Γιώργος Μπαλόγλου

#4

gbaloglou έγραψε: Είναι (γενικά) προφανές/σωστό αυτό; Όταν δηλαδή ένα σύστημα είναι συμμετρικό ως προς τις μεταβλητές και παραμένει αμετάβλητο με κυκλική εναλλαγή τους ... οι όποιες λύσεις του οφείλουν να είναι οι τετριμμένες;;;
Γιώργος Μπαλόγλου

Το σύστημα στην προκειμένη περίπτωση είναι αρκετά πολύπλοκο. Μου φαίνεται υπεραισιόδοξο να μπορούμε να προεξοφλήσουμε ότι οι άγνωστοι είναι ίσοι μεταξύ τους.
Πάντως, γενικά δεν ισχύει αυτό που γράφεις παραπάνω Γιώργο. Αν καταλαβαίνω καλά το ερώτημά σου, ένα απλό αντιπαράδειγμα είναι το

$\displaystyle{\begin{cases}x+y=5, \\ xy=5.\end{cases}}$

#5

matha έγραψε:
gbaloglou έγραψε: Είναι (γενικά) προφανές/σωστό αυτό; Όταν δηλαδή ένα σύστημα είναι συμμετρικό ως προς τις μεταβλητές και παραμένει αμετάβλητο με κυκλική εναλλαγή τους ... οι όποιες λύσεις του οφείλουν να είναι οι τετριμμένες;;;
Γιώργος Μπαλόγλου
Το σύστημα στην προκειμένη περίπτωση είναι αρκετά πολύπλοκο. Μου φαίνεται υπεραισιόδοξο να μπορούμε να προεξοφλήσουμε ότι οι άγνωστοι είναι ίσοι μεταξύ τους.
Πάντως, γενικά δεν ισχύει αυτό που γράφεις παραπάνω Γιώργο. Αν καταλαβαίνω καλά το ερώτημά σου, ένα απλό αντιπαράδειγμα είναι το

$\displaystyle{\begin{cases}x+y=5, \\ xy=5.\end{cases}}$

Θάνο ναι, αυτό εννοούσα -- το πάλεψα πολύ το σύστημα χωρίς να φτάσω στην τετριμμένη λύση...

Γιώργος Μπαλόγλου

#6

Θα ήθελα αρχικά να αναφέρω ότι το σωστό σύστημα που προκύπτει από την μέθοδο των Πολλαπλασιαστών Lagrange είναι:

$2x_1x_4+4x_4^2-16x_2x_3+\lambda=0$

$2x_2x_5+4x_5^2-16x_1x_3+\lambda=0$

$2x_3x_6+4x_6^2-16x_1x_2+\lambda=0$

$x_1^2+8x_1x_4+x_5x_6-\lambda=0$

$x_2^2+8x_2x_5+x_4x_6-\lambda=0$

$x_3^2+8x_3x_6+x_4x_5-\lambda=0$

x_1+x_2+x_3-x_4-x_5-x_6=0

Το σύστημα αυτό ΔΕΝ κατάφερα να δείξω ότι οφείλει να έχει την τετριμμένη λύση

Θα ήθελα τώρα να μοιραστώ μαζί σας μιαν άλλη προσέγγιση που ίσως οδηγεί σε απόδειξη της αρχικής ανισότητας:

Παρατηρώντας ότι μπορούμε εύλογα να υποθέσουμε x_1+x_2+x_3=x_4+x_5+x_6=1

και θέτοντας x_2=px_1, x_3=qx_1, x_5=rx_4, x_6=sx_4

, οπότε $x_1=\displaystyle\frac{1}{1+p+q}, x_4=\displaystyle\frac{1}{1+r+s}$ , ανάγουμε την ζητούμενη ανισότητα στην

(1+p^2r+q^2s)(1+p+q)(1+r+s)^2+

$+rs(1+p+q)^3-16pq(1+r+s)^3\geq0,$

όπου p, q, r, s

τυχόντες μη αρνητικοί πραγματικοί.

Δεν έχω προς το παρόν καταφέρει να αποδείξω αυτήν την ανισότητα. Δοκίμασα ακόμη και μηδενισμό μερικών παραγώγων, και κάπου πήγα να βγάλω ένα ομογενές σύστημα ως προς p-q

,

... πλην όμως εμφανίστηκε και ένας ανεπιθύμητος όρος, pr-qs

, στην δεύτερη εξίσωση

Εννοείται ότι έχουμε ισότητα για p=q=r=s=1

, και, εκτός απροόπτου, αυστηρή ανισότητα για κάθε άλλο συνδυασμό τιμών. Για όσους ενδιαφέρονται, επισυνάπτω το ανάπτυγμα του αριστερού σκέλους (από WolframAlpha)

Γιώργος Μπαλόγλου

Αρχιμήδης 6 · #7

gbaloglou έγραψε: Δοκίμασα ακόμη και Πολλαπλασιαστές Lagrange, και κάπου πήγα να βγάλω ένα ομογενές σύστημα ως προς , ... πλην όμως εμφανίστηκε και ένας ανεπιθύμητος όρος, , στην δεύτερη εξίσωση
Γιώργος Μπαλόγλου

Ίσως ήταν ανεπιθύμητος αλλά μερικές φορές βολεύουν οι όροι αυτοί ...

(p^2-q^2)(r^2-s^2)=(pr-qs)^2-(ps-qr)^2

Ανισότητα 6 μεταβλητών

Ανισότητα 6 μεταβλητών

Re: Ανισότητα 6 μεταβλητών

Re: Ανισότητα 6 μεταβλητών

Re: Ανισότητα 6 μεταβλητών

Re: Ανισότητα 6 μεταβλητών

Re: Ανισότητα 6 μεταβλητών

Re: Ανισότητα 6 μεταβλητών

Μέλη σε σύνδεση