Βρείτε το μιγαδικό

Tolaso J Kos · #1

Να βρείτε μιγαδικό z_0

τέτοιο ώστε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών που ικανοποιούν την $\left | z \right |=\left | z-z_0 \right |$ να είναι η ευθεία y=2x+2

.

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Να βρείτε μιγαδικό τέτοιο ώστε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών που ικανοποιούν την $\left | z \right |=\left | z-z_0 \right |$ να είναι η ευθεία .

Καλημέρα Τόλη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Γιώργος Απόκης · #3

Η ευθεία θα είναι μεσοκάθετη του τμήματος με άκρα το $\displaystyle{O(0,0),A(a,b)}$ όπου $\displaystyle{A}$ η εικόνα του $\displaystyle{z_0=a+bi}$ .

Για το μέσο $\displaystyle{M}$ το μέσο του τμήματος $\displaystyle{OA}$ , λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων της ευθείας με την

κάθετή της που διέρχεται από το $\displaystyle{O}$ , δηλαδή την $\displaystyle{y=-\frac{1}{2}x}$ . Προκύπτει $\displaystyle{M\left(-\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)}$ και

το $\displaystyle{A(a,b)}$ είναι συμμετρικό του $\displaystyle{O}$ ως προς το $\displaystyle{M}$ .

Άρα $\displaystyle{-\frac{4}{5}=\frac{a+0}{2}\Leftrightarrow a=-\frac{8}{5}}$ και $\displaystyle{\frac{2}{5}=\frac{b+0}{2}\Leftrightarrow b=\frac{4}{5}}$ και $\displaystyle{z_0=-\frac{8}{5}+\frac{4}{5}i}$

Γιώργος Απόκης · #4

Και μία αλγεβρική λύση

Αν $\displaystyle{z=x+yi,~z_0=a+bi}$ , έχουμε $\displaystyle{\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{x^2+y^2=x^2-2ax+a^2+y^2-2by+y^2\Leftrightarrow y=-\frac{a}{b}x+\frac{a^2+b^2}{2b}}$

Πρέπει, επομένως $\displaystyle{\begin{cases} -\frac{a}{b}=2 \\ \frac{a^2+b^2}{2b}=2 \end{cases}}$ από όπου έχουμε $\displaystyle{a=-\frac{8}{5},b=\frac{4}{5}}$

Βρείτε το μιγαδικό

Βρείτε το μιγαδικό

Re: Βρείτε το μιγαδικό

Re: Βρείτε το μιγαδικό

Re: Βρείτε το μιγαδικό

Μέλη σε σύνδεση