Επιμένοντας...θα βρεις την λύση!

maiksoul · #1

Έστω $\displaystyle{ \,\,z,\,\,v\,,\,\,w\,\, \in \,\,C\,\, }$ με $\displaystyle{ \,v = \left| z \right| + i\left| z \right|,\,\,\,\,\,w = \,\,z^3 + 2i\,\,\, }$ .

Ισχύουν:

$\displaystyle{ \,\, \,\,w \in \Re \,\,\,\,\,(1)\, }$ και η εικόνα του $\displaystyle{ \,\,v\,\, }$ είναι σημείο της καμπύλης : $\displaystyle{ \,\,x\,y = 2\,\, }$

Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του $\displaystyle{ \,z\, }$ .

Θα παρακαλούσα, όσο είναι αυτό δυνατόν, οι λύσεις να είναι εντός τωρινής σχολικής ύλης.

Καλή προσπάθεια!

Γιώργος Απόκης · #2

Καλησπέρα Μιχάλη. Ενδιαφέρουσα άσκηση. Κάνω την αρχή...

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{Re(v)=Im(v)=|z|\geq 0}$ άρα στη σχέση $\displaystyle{xy=2}$ έχουμε :

$\displaystyle{|z|^2=2\Leftrightarrow |z|=\sqrt{2}}$ και $\displaystyle{v=\sqrt{2}+\sqrt{2}i}$ .

Aφού $\displaystyle{w\in\mathbb R}$ έχουμε ότι θα ισχύει : $\displaystyle{z^3=a-2i,~a\in \mathbb R}$ .

Eπομένως $\displaystyle{|z|^3=|a-2i|\Rightarrow \sqrt{2}^3=\sqrt{a^2+4}\Rightarrow a^2+4=8\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=\pm 2}$ .

Tελικά έχουμε : $\displaystyle{z^3=2+2i~(1)~\acute{\eta}~z^3=2-2i~(2)}$ .

Μένει να λύσουμε τις δύο εξισώσεις και να επαληθεύσουμε (αν βρω χρόνο αργότερα θα το κάνω, τώρα...

)

Tolaso J Kos · #3

Γεια σας. Έχουμε ότι:
$\displaystyle{{\rm v}=\left | z \right |+i\left | z \right |}$ και ότι οι εικόνες του μιγαδικού ${\rm v}$ κινούνται πάνω στην υπερβολή $y=\dfrac{2}{x}$ άρα $\displaystyle{\mathfrak{Im}({\rm v})=\frac{2}{\mathfrak{Re}(\rm v)} \iff \left | z \right |=\frac{2}{\left | z \right |} \iff \left | z \right |^2=2, \quad (1)}$

Επειδή ο $w \in \mathbb{R}$ έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} z^3+2i=\bar{z}^3-2i &\iff z^3-\bar{z}^3+4i=0\\ &\iff \left ( z-\bar{z} \right )\left ( z^2+z\bar{z}+\bar{z}^2 \right )+4i=0\\ &\iff 2i\mathfrak{Im}(z)\left ( z^2+2+\bar{z}^2 \right )+4i=0\\ &\iff 2\mathfrak{Im}(z)\left [\left ( z+\bar{z} \right )^2-2z\bar{z}+2 \right ]+4\\ &\iff 2\mathfrak{Im}(z)\left ( 4\mathfrak{Re}^2(z)-4+2 \right )+4=0 \\ &\iff 2\mathfrak{Im}(z)\left [ 4 \left ( 2-\mathfrak{Im}^2(z) \right )-2\right ]+4=0 \\ &\iff 3\mathfrak{Im}(z)-2\mathfrak{Im}^3(z)+1=0 \iff \left\{\begin{matrix} \mathfrak{Im}(z)=-\frac{\sqrt{3}-1}{2} & & \\ \mathfrak{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}& & \\ \mathfrak{Im}(z)=-1& & \end{matrix}\right. \end{aligned}}$

Τώρα με αντικατάσταση επάνω στην (1)

παίρνουμε τα πραγματικά μέρη του

.
Τελικά είναι για $\displaystyle{\mathfrak{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}+1}{2} \implies \mathfrak{Re}(z)=\pm \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}}$ , για $\displaystyle{\mathfrak{Im}(z)=-\frac{\sqrt{3}-1}{2} \implies \mathfrak{Re}(z)=\pm\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}}$ , ενώ για $\displaystyle{\mathfrak{Im}(z)=-1 \implies \mathfrak{Re}(z)=\pm 1}$ .

Γιώργος Απόκης · #4

Γιώργος Απόκης έγραψε:Καλησπέρα Μιχάλη. Ενδιαφέρουσα άσκηση. Κάνω την αρχή...

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{Re(v)=Im(v)=|z|\geq 0}$ άρα στη σχέση $\displaystyle{xy=2}$ έχουμε :

$\displaystyle{|z|^2=2\Leftrightarrow |z|=\sqrt{2}}$ και $\displaystyle{v=\sqrt{2}+\sqrt{2}i}$ .

Aφού $\displaystyle{w\in\mathbb R}$ έχουμε ότι θα ισχύει : $\displaystyle{z^3=a-2i,~a\in \mathbb R}$ .

Eπομένως $\displaystyle{|z|^3=|a-2i|\Rightarrow \sqrt{2}^3=\sqrt{a^2+4}\Rightarrow a^2+4=8\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=\pm 2}$ .

Tελικά έχουμε : $\displaystyle{z^3=2+2i~(1)~\acute{\eta}~z^3=2-2i~(2)}$ .

Μένει να λύσουμε τις δύο εξισώσεις και να επαληθεύσουμε (αν βρω χρόνο αργότερα θα το κάνω, τώρα... )

Συνεχίζω...

Αν αποφύγυμε τον (εκτός ύλης) τύπο της νιοστής ρίζας μιγαδικού,και θέσουμε $\displaystyle{z=a+bi,~a,b\in\mathbb R}$ στην $\displaystyle{(1)}$

καταλήγουμε στο σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} a^3-3ab^2=-2\\b^3-3a^2b=2 \end{cases}}$ . Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε :

$\displaystyle{a^3+b^3-3a^2b-3ab^2=0\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)-3ab(a+b)=0\Leftrightarrow (a+b)(a^2-4ab+b^2)=0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{a=-b~\acute{\eta}~a=(2+\sqrt{3})b~\acute{\eta}~a=(2-\sqrt{3})b}$

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{a=-b}$ στην 1η εξίσωση καταλήγουμε στην $\displaystyle{-b^3+3b^3=-2\Leftrightarrow b^3=-1\Leftrightarrow b=-1}$ και $\displaystyle{a=1}$

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{a=(2+\sqrt{3})b}$ στην 1η εξίσωση καταλήγουμε στην

$\displaystyle{(2+\sqrt{3})^3b^3-3(2+\sqrt{3})b^3=-2\Leftrightarrow b^3=\frac{-1}{2(5+3\sqrt{3})}\Leftrightarrow b=-{\frac{1}{\sqrt[3]{2(5+3\sqrt{3})}}}$ και $\displaystyle{a=-{\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2(5+3\sqrt{3})}}}$

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{a=(2-\sqrt{3})b}$ στην 1η εξίσωση καταλήγουμε στην

$\displaystyle{(2-\sqrt{3})^3b^3-3(2-\sqrt{3})b^3=-2\Leftrightarrow b^3=-\frac{1}{2(5-3\sqrt{3})}\Leftrightarrow b={\frac{1}{\sqrt[3]{2(-5+3\sqrt{3})}}}$ και $\displaystyle{a={\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2(-5+3\sqrt{3})}}}$

Ομοίως για την εξίσωση $\displaystyle{(2)}$

Επιμένοντας...θα βρεις την λύση!

Επιμένοντας...θα βρεις την λύση!

Re: Επιμένοντας...θα βρεις την λύση!

Re: Επιμένοντας...θα βρεις την λύση!

Re: Επιμένοντας...θα βρεις την λύση!

Μέλη σε σύνδεση