Ξανά η Άσκηση 9 Ομάδα Α

BAGGP93 · #1

Έστω $\displaystyle{z\,,w\in\mathbb{C}}$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{z\,w=1}$ . Να δείξετε ότι

$\displaystyle{\left|\dfrac{z-w}{2}+i\right|+\left|\dfrac{z-w}{2}-i\right|=\left|z\right|+\left|w\right|}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

BAGGP93 έγραψε:Έστω $\displaystyle{z\,,w\in\mathbb{C}}$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{z\,w=1}$ . Να δείξετε ότι

$\displaystyle{\left|\dfrac{z-w}{2}+i\right|+\left|\dfrac{z-w}{2}-i\right|=\left|z\right|+\left|w\right|}$ .

$\displaystyle{zw = 1 \Rightarrow w = \frac{1}{z} \Rightarrow \boxed{\left| w \right| = \frac{1}{{\left| z \right|}}}}$
$\displaystyle{A = \left| {\frac{{z - w}}{2} + i} \right| + \left| {\frac{{z - w}}{2} - i} \right| = \left| {\frac{{z - \frac{1}{z}}}{2} + i} \right| + \left| {\frac{{z - \frac{1}{z}}}{2} - i} \right| = }$ \displaystyle{\displaystyle{\left| {\frac{{{z^2} - 1 + 2zi}}{{2z}}} \right| + \left| {\frac{{{z^2} - 1 - 2zi}}{{2z}}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( {z + i} \right)}^2}}}{{2z}}} \right| + \left| {\frac{{{{\left( {z - i} \right)}^2}}}{{2z}}} \right|}} $\displaystyle{ = \frac{{{{\left| {z + i} \right|}^2} + {{\left| {z - i} \right|}^2}}}{{2\left| z \right|}} = \frac{{(z + i)\overline {(z + i)} + (z - i)\overline {(z - i)} }}{{2\left| z \right|}}}$
Τελικά ,μετά τις πράξεις $\displaystyle{A = \frac{{{{\left| z \right|}^2} + 1}}{{\left| z \right|}} = \left| z \right| + \frac{1}{{\left| z \right|}} \Rightarrow \boxed{A = \left| z \right| + \left| w \right|}}$

Grosrouvre · #3

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:
$\displaystyle{zw = 1 \Rightarrow w = \frac{1}{z} \Rightarrow \boxed{\left| w \right| = \frac{1}{{\left| z \right|}}}}$
$\displaystyle{A = \left| {\frac{{z - w}}{2} + i} \right| + \left| {\frac{{z - w}}{2} - i} \right| = \left| {\frac{{z - \frac{1}{z}}}{2} + i} \right| + \left| {\frac{{z - \frac{1}{z}}}{2} - i} \right| = }$ \displaystyle{\displaystyle{\left| {\frac{{{z^2} - 1 + 2zi}}{{2z}}} \right| + \left| {\frac{{{z^2} - 1 - 2zi}}{{2z}}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( {z + i} \right)}^2}}}{{2z}}} \right| + \left| {\frac{{{{\left( {z - i} \right)}^2}}}{{2z}}} \right|}} $\displaystyle{ = \frac{{{{\left| {z + i} \right|}^2} + {{\left| {z - i} \right|}^2}}}{{2\left| z \right|}} = \frac{{(z + i)\overline {(z + i)} + (z - i)\overline {(z - i)} }}{{2\left| z \right|}}}$
Τελικά ,μετά τις πράξεις $\displaystyle{A = \frac{{{{\left| z \right|}^2} + 1}}{{\left| z \right|}} = \left| z \right| + \frac{1}{{\left| z \right|}} \Rightarrow \boxed{A = \left| z \right| + \left| w \right|}}$

Όπου, για να εμφανιστεί επακριβώς η μορφή της άσκησης 9 της Ομάδας Α (δηλαδή ο κανόνας του παραλληλογράμμου), θα μπορούσαμε να γράψουμε ότι:

$...\displaystyle{ A = \frac{{{{\left| {z + i} \right|}^2} + {{\left| {z - i} \right|}^2}}}{{2\left| z \right|}} = \displaystyle{ \frac{2\left|z\right|^2 +2\left|i\right|^2}{2\left|z\right|}} = ... =\left|z\right| + \left|w\right|.$

Ξανά η Άσκηση 9 Ομάδα Α

Ξανά η Άσκηση 9 Ομάδα Α

Re: Ξανά η Άσκηση 9 Ομάδα Α

Re: Ξανά η Άσκηση 9 Ομάδα Α

Μέλη σε σύνδεση