Άλλη μια συναρτησιακή εξίσωση

#1

-- Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f((x+y)f(x))=x^2+f(xy) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

-- Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f((x+y)f(x))=x^2+f(xy) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Δική μου κατασκευή.

dimitris.ligonis · #2

Για την πρώτη:
Έστω (1)

η αρχική σχέση.

$(x \to 0),\ \ (1) \Rightarrow f(yf(0))=f(0)$ . Αν $f(0) \neq 0$ τότε

σταθερή. Έστω f(0)=0.

$(y \to -x), \ \ (1) \Rightarrow f(-x^2)=-x^2 .$ Επομένως, $f(x)=x , \forall x \leq 0$ .

$(y \to 0), \ \ (1) \Rightarrow f(xf(x))=x^2$ από την οποία λαμβάνουμε ότι η

είναι επί των θετικών πραγματικών.
Άρα υπάρχει l>0

(αλλιώς θα ήταν $f(l) \leq 0$ ) ώστε f(l)=1

.

$(x \to l, y \to 0), \ \ (1) \Rightarrow l^2=1 \Rightarrow l=1$ .Οπότε f(1)=1.

$(x \to 1), \ \ (1) \Rightarrow f(y+1)=f(y)+1$ και επαγωγικά f(y+n)=f(y)+n

για

φυσικό. (2)

Έστω x_0 >0

. Υπάρχουν y_0<0

και

φυσικός έτσι ώστε y_0 +n_0 =x_0

Τότε $(2) \Rightarrow f(y_0 +n_0)= f(x_0)=f(y_0)+n_0=y_0+n_0=x_0.$

Τελικά $f \equiv x$ ή $f\equiv c \neq 0$

#3

socrates έγραψε:-- Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f((x+y)f(x))=x^2+f(xy) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Μια λύση:

Αν υπάρχει a>0

με

τότε για $\displaystyle{x=a, \ y=\frac{af(a)}{a-f(a)}$ θα έχουμε a=0,

άτοπο.

Άρα $f(x)\geq x,$ για κάθε x>0.

Επομένως, $x^2+f(xy)\geq (x+y)f(x),$ που για y=1

δίνει $f(x)\leq x$ για κάθε x>0.

Έχουμε, λοιπόν, $x\leq f(x)\leq x$ οπότε f(x)=x

για κάθε

που είναι λύση.

#4

socrates έγραψε:-- Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f((x+y)f(x))=x^2+f(xy) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Αλλιώς :

Για x=0

είναι $\displaystyle{f(yf(0))=f(0),}$ οπότε αν $f(0)\ne 0$ η

είναι σταθερή, άτοπο. Άρα $\displaystyle{f(0)=0.}$

Αν υπάρχει

με $a\ne f(a)$ (προφανώς $a\ne 0$ ) τότε για $\displaystyle{x=a, \ y=\frac{af(a)}{a-f(a)}$ θα έχουμε a=0,

άτοπο.

Άρα $\displaystyle{f(x)=x}$ για κάθε

Άλλη μια συναρτησιακή εξίσωση

Άλλη μια συναρτησιακή εξίσωση

Re: Άλλη μια συναρτησιακή εξίσωση

Re: Άλλη μια συναρτησιακή εξίσωση

Re: Άλλη μια συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση