Βρείτε τους φυσικούς

#1

Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς n για τους οποίους ισχύει η σχέση:

$z^{n}=(z+1)^{n}=1$ , όπου

μιγαδικός αριθμός.

#2

chris_gatos έγραψε:Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς n για τους οποίους ισχύει η σχέση:

$z^{n}=(z+1)^{n}=1$ , όπου μιγαδικός αριθμός.

Ισχύει

$\displaystyle{|z|=|z+1|=1,}$ άρα

$\displaystyle{(z+1)(\bar{z}+1)=1\implies 1+z+\bar{z}+1=1\implies 2Re(z)=-1.}$

Άρα

$\displaystyle{z=-\frac{1}{2}+yi,~y\in \mathbb{R}.}$

Από την $\displaystyle{|z|=1}$ βρίσκουμε $\displaystyle{y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}}$

άρα

$\displaystyle{z=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i.}$

Τότε βλέπουμε ότι $\displaystyle{z^3=1.}$

Είναι

$\displaystyle{z+1=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}}i}$

και

$\displaystyle{(z+1)^6=\Bigg(\Big(-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\Big)^3\Bigg)^2=1}$

Φανερά πλέον, πρέπει $\displaystyle{n=6k,~k\in \mathbb{N}.}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Εντάξει δεν το διευκρίνισα σωστά κι εγώ. Δώστε λύση όπως μπορειτε, ακόμη και με τριγωνομετική μορφή, έπρεπε να έχω πει.

styt_geia · #4

Μία προσπάθεια με τριγωνομετρική μορφή. ΄

Έστω $\theta$ ένα όρισμα του

Είναι

οπότε $z= \cos \theta + \sin \theta i$ και τότε

$\displaystyle z+1=\cos \theta +1+ \sin \theta i = 2 \cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)+2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)i =2 \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) \left( \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)+ \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) i \right) \Rightarrow$

$\displaystyle|z+1|=\left|2 \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\right| \Rightarrow 1=2\left|\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\right|.$

Συνεπώς

$\displaystyle \cos \theta = 2 \cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) -1 = -\frac{1}{2}$ και $\displaystyle \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ οπότε

$z=\displaystyle \cos \left( \frac{2 \pi }{3} \right) + \sin \left( \frac{2 \pi }{3} \right)i \,\, \textnormal{ \greektext ή \latintext} \,\,z=\displaystyle \cos \left( \frac{4 \pi }{3} \right) + \sin \left( \frac{4 \pi }{3} \right)i.$

Στην πρώτη περίπτωση από De Moivre:

$\displaystyle z^n=1=\cos 0 + \sin 0 i \Rightarrow \cos \left( \frac{2n \pi }{3} \right) + \sin \left( \frac{2 n\pi }{3} \right)i= \cos 0 + \sin 0 i \Rightarrow$

$\displaystyle \frac{2 n\pi }{3} =2 k \pi \Rightarrow n=3k, \,\,k \in \mathbb{N} \,\,(1).$

Στην δεύτερη περίπτωση όμοια

$\displaystyle \frac{4 n\pi }{3} =2 \ell \pi \Rightarrow 2n=3 \ell, \,\, \ell \in \mathbb{N} .$

και επειδή ο

είναι άρτιος, πρέπει υποχρεωτικά $\ell =2 k$ οπότε $n=6k, \,\,k \in \mathbb{N}\,\,(2).$

Τελικά λόγω (1) και (2) πρέπει $n=6k,\,\,\,k \in \mathbb{N}.$

Βρείτε τους φυσικούς

Βρείτε τους φυσικούς

Re: Βρείτε τους φυσικούς

Re: Βρείτε τους φυσικούς

Re: Βρείτε τους φυσικούς

Μέλη σε σύνδεση