σωστό-λάθος

[deadly]

τέθηκε το ερώτημα στους μαθητές: «αν δύο συναρτήσεις και ορισμένες στο ταυτίζονται σε όλο το πεδίο ορισμού τους εκτός από πεπερασμένο πλήθος σημείων, και τι συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε για το όριο της στο ; Απαντήστε στο ίδιο ερώτημα αν διαφέρουν σε αριθμήσιμο πλήθος σημείων.»
Παρακάτω δίνονται οι απαντήσεις 3 μαθητών :
Α1 : «Εφόσον οι συναρτήσεις πιθανώς να μην ταυτίζονται σε κάποια σημεία κοντά στο έπεται ότι τα όρια δεν είναι κατά ανάγκη ίσα. Για τον ίδιο λόγο ούτε στην άλλη περίπτωση μπορούμε να έχουμε συμπέρασμα για την ισότητα ή μη των δυο ορίων».
Α2 : «Στο όριο της όταν το τεινει στο , το x μπορεί να διατρέξει κάποια από τα σημεία στα οποία οι δυο συναρτήσεις δεν ταυτίζονται (είτε αυτά είναι πεπερασμένα στο πλήθος είτε αριθμήσιμα), π.χ αν σε κάθε x που οι , διαφέρουν είναι προφανές ότι για κάθε τέτοιο x έχουμε :
|| ≥ , άρα δεν μπορεί να ισχυριστούμε ότι το όριο της όταν το τείνει στο κάνει (εφόσον καθώς το x τείνει στο 0 κάποια στιγμή η f θα πάρει και τις τιμές για τις οποίες )».
Α3 : «εφόσον ΄το όριο είναι τοπική έννοια οι συναρτήσεις ακόμα και αν διαφέρουν σε αριθμήσιμο πλήθος σημείων τα όρια τους τελικά θα ταυτίζονται οπότε και στις δυο περιπτώσεις (πεπερασμένη ή άπειρη αριθμήσιμη) συμπεραίνουμε ότι τα 2 όρια ισουνται με »

Τι νομίζετε ότι έχει παρανοήσει όποιος μαθητής έδωσε λανθασμένη απάντηση και σε τι πιστεύετε ότι οφείλεται η παρανόηση του αυτή;

[Μπάμπης Στεργίου]

τέθηκε το ερώτημα στους μαθητές: «αν δύο συναρτήσεις και ορισμένες στο ταυτίζονται σε όλο το πεδίο ορισμού τους εκτός από πεπερασμένο πλήθος σημείων, και τι συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε για το όριο της στο ; Απαντήστε στο ίδιο ερώτημα αν διαφέρουν σε αριθμήσιμο πλήθος σημείων.»
Παρακάτω δίνονται οι απαντήσεις 3 μαθητών :
Α1 : «Εφόσον οι συναρτήσεις πιθανώς να μην ταυτίζονται σε κάποια σημεία κοντά στο έπεται ότι τα όρια δεν είναι κατά ανάγκη ίσα. Για τον ίδιο λόγο ούτε στην άλλη περίπτωση μπορούμε να έχουμε συμπέρασμα για την ισότητα ή μη των δυο ορίων».
Α2 : «Στο όριο της όταν το τεινει στο , το x μπορεί να διατρέξει κάποια από τα σημεία στα οποία οι δυο συναρτήσεις δεν ταυτίζονται (είτε αυτά είναι πεπερασμένα στο πλήθος είτε αριθμήσιμα), π.χ αν σε κάθε x που οι , διαφέρουν είναι προφανές ότι για κάθε τέτοιο x έχουμε :
|| ≥ , άρα δεν μπορεί να ισχυριστούμε ότι το όριο της όταν το τείνει στο κάνει (εφόσον καθώς το x τείνει στο 0 κάποια στιγμή η f θα πάρει και τις τιμές για τις οποίες )».
Α3 : «εφόσον ΄το όριο είναι τοπική έννοια οι συναρτήσεις ακόμα και αν διαφέρουν σε αριθμήσιμο πλήθος σημείων τα όρια τους τελικά θα ταυτίζονται οπότε και στις δυο περιπτώσεις (πεπερασμένη ή άπειρη αριθμήσιμη) συμπεραίνουμε ότι τα 2 όρια ισουνται με »

Τι νομίζετε ότι έχει παρανοήσει όποιος μαθητής έδωσε λανθασμένη απάντηση και σε τι πιστεύετε ότι οφείλεται η παρανόηση του αυτή;

Αν είναι ερώτηση για μαθητές, ειλικρινά,δεν ξέρω αν πρέπει να αναφωνήσω : ΜΠΡΑΒΟ ή ΕΛΕΟΣ !


Αλλά ο διδάσκων έχει πάντα τον πρώτο λόγο !
Μπάμπης

[deadly]

αν ήταν φοιτητές τι θα λέγαμε?

[Γιώργος Ρίζος]

αν ήταν φοιτητές τι θα λέγαμε?

Θα λέγαμε να θέτουν το ερώτημα σε άλλον κατάλληλο φάκελο.

[Mihalis_Lambrou]

τέθηκε το ερώτημα στους μαθητές: «αν δύο συναρτήσεις και ορισμένες στο ταυτίζονται σε όλο το πεδίο ορισμού τους εκτός από πεπερασμένο πλήθος σημείων, και τι συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε για το όριο της στο ;

Ξέρω να απαντήσω αλλά θα περιμένω να διατυπωθεί η ερώτηση χωρίς τις ασάφειες. Για παράδειγμα μας ζητά να απαντήσουμε κάτι για την χωρίς να έχει δοθεί καμία πληροφορία για την , όπως "το όριο υπάρχει" ή παρόμοια.

Αν είναι ερώτηση για μαθητές, ειλικρινά,δεν ξέρω αν πρέπει να αναφωνήσω : ΜΠΡΑΒΟ ή ΕΛΕΟΣ !

Θα συμφωνήσω απόλυτα με τον Μπάμπη, δεδομένου ότι η ερώτηση είναι στον φάκελο της Γ' Λυκείου.

[deadly]

είναι ασκηση από μάθημα πανεπιστημίου μαθηματικών που αναφέρεται σε διδασκαλία μαθηματικων κατεύθυνσης μαθητών γ λυκειου. Το όριο της g εννοειται οτι υπάρχει.

[Μπάμπης Στεργίου]

Στο αρχικό μου μήνυμα έγραψα αρχικά τις παρατηρήσεις του Μιχάλη, αλλά αφού δεν ήμουν σίγουρος για τον αποδέκτη του θέματος, το διέγραψα. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι απευθυνόμαστε σε φοιτητές .

α) Το πρόβλημα πρέπει να επαναδιατυπωθεί , ώστε να δοθούν οι αναγκαίες προσθήκες και να γίνει πιο σαφές. Όπως είναι διατυπωμένο, πιο δύσκολο είναι να καταλάβει κανείς το πρόβλημα παρά να το λύσει.Μπορεί ο συντάκτης να το έχει καλά στο μυαλό του, αλλά η τέχνη της έκφρασης και της απόδοσης πρέπει να σφραγίσει και την επιτυχία του περιεχομένου.

β) Ο προβληματισμός που περιέχει το θέμα είναι καλός.Κάθε φοιτητής πρέπει να κατανοήσει ότι τελικά ένα όριο δεν αλλάζει, αν από το πεδίο ορισμού Α εξαιρέσουμε ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων. Τι θα συμβεί όμως αν αφαιρέσουμε ένα το πολύ αριθμήσιμο σύνολο σύνολο σημείων ; Ο φοιτητής πρέπει αρχικά να ερευνήσει αν μετά την εξαγωγή αυτών των σημείων το σημείο θα παραμείνει σημείο συσσωρεύσεως. Εδώ είναι το πιο κρίσιμο σημείο και εκεί θα ξεχωρίσει αυτός που κατάλαβε καλά τα θεμέλια των αριθμών αλλά και την έννοια του ορίου.Εδώ που το πεδίο ορισμού είναι διάστημα, έχουμε και πλεονεκτήματα αλλά και μειονεκτήματα.

Δεν υπεισέρχομαι στις λεπτομέρειες, μια και είναι ευκαιρία να απαντήσουν οι φοιτητές του forum.

Ας μετακινήσει ένας επιμελητής ή συντονιστής το θέμα στον φάκελο Ανάλυση.

Μπάμπης

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

και οι τρεις απαντήσεις των φοιτητών είναι λάθος. τι έχουν στο κεφάλι τους εγώ δεν μπορώ να ξέρω.
το πρώτο είνα σωστό γιατί ένα από τα σημεία που διαφέρουν είναι κοντύτερα στο .τι κάνουν στο δεν μας ενδιαφέρει.
το δεύτερο είναι λάθος.πχ αν και ενώ για τα άλλα σημεία.






0

[Mihalis_Lambrou]

Επιμένω ότι η ερώτηση έχει πολλές ασάφειες. Για παράδειγμα γράφεις

<...> Το όριο της g εννοειται οτι υπάρχει.

ενώ στο αρχικό ερώτημα περιέχεται η φράση

|| ≥ , άρα δεν μπορεί να ισχυριστούμε ότι το όριο της όταν το τείνει στο κάνει

Δηλαδή, τουλάχιστον πρέπει στις υποθέσεις να μπει όχι μόνο η ύπαρξη του ορίου της αλλά και ότι ισούται με .

Γιατί τα λέω αυτά;

Για τον απλούστατο λόγο ότι χρειάζεται πρώτα να ξεκαθαρίσεις εσύ ο ίδιος τι ζητά η άσκηση πριν την τοποθετήσεις στο φόρουμ. Αλλιώς δίνεις την εντύπωση ότι ζητάς έτοιμες απαντήσεις σε εργασία που σου ανέθεσαν σε μάθημα που παρακολουθείς αλλά δεν έκανες τον κόπο να αφιερώσεις χρόνο να απαντήσεις μόνος σου.

[leuteris]

Τυχαία βρήκα αυτό : viewtopic.php?f=28&t=9971
,όπου το ίδιο ερώτημα έχει διατυπωθεί καλύτερα και νομίζω πως έχει απαντηθεί πλήρως από τον Σεραφείμ.

[Mihalis_Lambrou]

Τυχαία βρήκα αυτό : viewtopic.php?f=28&t=9971
, όπου το ίδιο ερώτημα έχει διατυπωθεί καλύτερα και νομίζω πως έχει απαντηθεί πλήρως από τον Σεραφείμ.

Δυστυχώς έχουμε τους επιτήδειους που δεν θέλουν να σκεφτούν και τοποθετούν στο φόρουμ τις ερωτήσεις που έχουν να παραδώσουν ως εργασία στο Σχολείο ή στο Πανεπιστήμιο.

Η παραπάνω ερώτηση είναι ακριβώς μία τέτοια περίπτωση, γι' αυτό και εμφανίστηκε για δεύτερη φορά στο .

Σωστά είχα μαντέψει όταν έγραφα

<...> ζητάς έτοιμες απαντήσεις σε εργασία που σου ανέθεσαν σε μάθημα που παρακολουθείς αλλά δεν έκανες τον κόπο να αφιερώσεις χρόνο να απαντήσεις μόνος σου.

Εν τω μεταξύ πληροφορήθηκα ότι η εν λόγω ερώτηση προέρχεται από σχετικό μάθημα του έγκριτου φίλου, καθηγητή Θεοδόση Ζαχαριάδη, στο Μαθηματικό Αθηνών.

Τι να πει κανείς!

Στο φόρουμ είναι συχνές οι περιπτώσεις που εμφανίζεται αυτό το νοσηρό φαινόμενο. Πρόκειται είτε για μαθητές/φοιτητές που ρωτούν απευθείας το φόρουμ για ασκήσεις που τους έθεσε ο Δάσκαλός τους, είτε για "ιδιαιτεράδες" που εισέπραξαν την ερώτηση από μαθητή τους αλλά δεν κατάφεραν να την διεκπεραιώσουν μόνοι τους.

Σε τέτοιες περιπτώσεις προσπαθώ πάντα να ενθαρρύνω τον ερωτώντα να επεξεργάζεται με ουσιαστικό τρόπο τις ερωτήσεις που έχει λάβει από τον Δάσκαλό του. Δεν είναι κακό να ρωτάμε τις απορίες μας. Το αντίθετο, μάλιστα. Όμως αυτό που είναι μεμπτό είναι να ρωτάμε με σκοπό να υποσκελίσουμε αυτόν που μας έθεσε την ερώτηση.

Προσπαθώ με κάθε τρόπο, σε βαθμό που γίνομαι ανιαρός, να ενθαρρύνω την Μαθηματική αυτοδυναμία του καθενός. Πιστεύω ακράδαντα ότι πρόκειται για ιδιαίτερα χρήσιμη συμβουλή, πλην όμως υπάρχουν και αυτοί που με παρερμηνεύουν, όπως πρόσφατα εδώ. Όπως και να είναι, θα συνεχίσω να εργάζομαι για την βελτίωση των Μαθηματικών των μαθητών/φοιτητών μας, έστω και αν γίνομαι στόχος από άτομα που δεν κατανόησαν το υγιές κίνητρό μου.

[Μπάμπης Στεργίου]

Θα πρόσθετα στο παραπάνω μήνυμα του Μιχάλη ότι ακόμα και σε περίπτωση εργασίας, οι αναγνώστες μας δεν είναι ντροπή να πούνε την αλήθεια :

- Έχουμε αυτή την εργασία ή να μελετήσουμε αυτό το θέμα κλπ

- Έχω φτάσει μέχρι εκεί. Δυσκολεύομαι σε αυτό το σημείο.Μπορώ να έχω μια βοήθεια; Σε ποια βιβλία μπορώ να ανατρέξω ;


Μόνο έτσι θα αποκομίσει ο φοιτητής ουσιαστικά οφέλη. Η εργασία είναι η αφορμή. Γνώση θα δώση η έρευνα του θέματος : να βρεις βιβλία, να ψάξεις για παρόμοιο θέμα, να κάνεις συσχετισμούς ! Το έτοιμο στα μαθηματικά, είναι να σαν να δούσουνε αλεσμένο φαγητό : έχασε τη νοστημιά του !

Πόσες φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε μια άσκηση πέσαμε σε άλλα πιο καλά ακόμα θέματα , λύσαμε άλλα θέματα, συχνά άσχετα και επιστρέψαμε μετά από μήνες στο κυρίως θέμα !

Αυτή η περιπέτεια είναι η ομορφιά στην μελέτη και τη σπουδή των μαθηματικών !