Περιοδική f

#1

Έστω συνάρτηση $\,\,\,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,\,\,$ για την οποία ισχύουν

$\bullet f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),\,\,$ για κάθε $\,\,\ x,y\in\mathbb{R}$

$\bullet$ υπάρχει $x_{0}\in\mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\,\,f(x_{0})=-1$

να αποδείξετε ότι η $\,\,\ f\,\,$ είναι περιοδική

#2

Όμορφη

#3

Ενδιαφέρουσα άσκηση αποτελεί η εύρεση της f με την επιπλέον προϋπόθεση ότι είναι συνεχής.

Αλέξανδρος

#4

Σεραφείμ έγραψε:Όμορφη

Σεραφείμ ευχαριστώ

Ιστοσελίδα · #5

Καλή, μία είναι το συν(χ)...

Ilias_Zad · #6

Οντως Αλεξανδρε εχει ενδιαφερον με συνεχεια η ασκηση.
Για οποιον την προσπαθει βαζω τις λυσεις της συναρτησιακης σε hidden.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιστοσελίδα · #7

Ilias_Zad έγραψε:Οντως Αλεξανδρε εχει ενδιαφερον με συνεχεια η ασκηση.
Για οποιον την προσπαθει βαζω τις λυσεις της συναρτησιακης σε hidden.
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$0,\cosh kx,\cos kx$

Ναι αυτές είχα σκεφτεί κι εγώ.
Έχουμε όμως απόδειξη ότι είναι οι μοναδικές λύσεις;
Ή μήπως υπάρχουν και άλλες;

#8

polysot έγραψε: Ναι αυτές είχα σκεφτεί κι εγώ.
Έχουμε όμως απόδειξη ότι είναι οι μοναδικές λύσεις;
Ή μήπως υπάρχουν και άλλες;

Υπάρχει και η $f(x)=1 \ \ \forall x\in\mathbb{R}$ . Αυτές οι 4 είναι και οι μοναδικές λύσεις της παραπάνω. Μάλιστα μπορεί να αποδειχθεί ότι αν υπάρχει κάποιο x_0

για το οποίο να ισχύει f(x_0)<1

τότε $f(x)=cos(kx) \ \ \forall x\in\mathbb{R}$ για κατάλληλο

ή $f(x)=0 \ \ \forall x\in\mathbb{R}$ . Αν όμως $f(x)\geq 1 \ \ \forall x\in\mathbb{R}$ τότε $f(x)=1 \ \ \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f(x)=\cosh{kx} \ \ \forall x\in\mathbb{R}$ για κατάλληλο

.

Αλέξανδρος

Ilias_Zad · #9

Αλεξανδρε την εχω συμπεριλαβει και την f(x)=1

. Προκυπτει απο την $\cos kx$ που εγραψα για k=0

Μάκης Χατζόπουλος · #10

Φωτεινή έγραψε:
Σεραφείμ έγραψε:Όμορφη
Σεραφείμ ευχαριστώ

Η άσκηση ή η Φωτεινή Σεραφείμ;;

#11

Φωτεινή έγραψε:
Σεραφείμ έγραψε:Όμορφη
Σεραφείμ ευχαριστώ

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
Φωτεινή έγραψε:
Σεραφείμ έγραψε:Όμορφη
Σεραφείμ ευχαριστώ
Η άσκηση ή η Φωτεινή Σεραφείμ;;

Βρε Σατανάδες!!

#12

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
Φωτεινή έγραψε:
Σεραφείμ έγραψε:Όμορφη
Σεραφείμ ευχαριστώ
Η άσκηση ή η Φωτεινή Σεραφείμ;;

Μάκη ,Μάκη ... .... τώρα το είδα το μηνυματάκι σου και τις απορίες σου ...

Μάκης Χατζόπουλος · #13

Το κλείνω για να μην φάω και ξύλο... λοιπόν η ΑΣΚΗΣΗ είναι φωτεινή και όμορφη!! Πες του άντρα σου Φωτεινή να ματαιώσει το ταξίδι για Αθήνα

!! Θα είμαι καλό παιδί από δω και πέρα

!

#14

Πωπω .. κι εγώ τώρα το είδα ..

Κύριε Μάκη Χατζόπουλε ..... Εικόνα

Όχι βέβαια ότι .. λες ψέμματα

Περιοδική f

Περιοδική f

Re: Περιοδική f

Re: Περιοδική f

Re: Περιοδική f

Re: Περιοδική f

Re: Περιοδική f

Re: Περιοδική f

Re: Περιοδική f

Re: Περιοδική f

Re: Περιοδική f

Re: Περιοδική f

Re: Περιοδική f

Re: Περιοδική f

Re: Περιοδική f

Μέλη σε σύνδεση