Γεωμετρική ερμηνεία...

[Θωμάς Ποδηματάς]

Καλημέρα και χρόνια πολλά σ' όλο το

Συνάδελφοι, κυρίως βαθμολογητές, θα ήθελα να σας παρακαλέσω να μου πείτε αν ισχύει μια δήλωση καθηγήτριας στο Βόλο :

Για την λύση της άσκησης "Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και , έχουν μοναδικό κοινό σημείο στο διάστημα "

η κατασκευή ενός σχήματος με την ένδειξη "Νάτο !" είναι πλήρως αποδεκτή και βαθμολογείται με το σύνολο των μονάδων του θέματος.

Προσωπικά, έχω επιφυλάξεις και θεωρώ ότι αυτό είναι γεωμετρική ερμηνεία και όχι λύση... Θα παρακαλούσα την εκλεκτή παρέα να με (μας) διαφωτίσει...

Ευχαριστώ θερμά εκ των προτέρων

Την καλημέρα μου και τα Χρόνια μου Πολλά σε όλους

Θωμάς

[Γιώργος Απόκης]

Καλημέρα Θωμά.

Δεν είμαι βαθμολογητής αλλά η γνώμη μου είναι ότι δεν αποτελεί απόδειξη το σχήμα.

Ένδειξη είναι ότι κάτι ισχύει και, όπως είπες, ερμηνεύει γεωμετρικά κάποια πρόταση.

[Doloros]

Από μόνη της,η εποπτεία δεν αποτελεί απόδειξη.
Ας δούμε στη σελίδα 192 του σχολικού ( Θ. ) ότι : η απόδειξη παραλείπεται.

Φιλικά Νίκος

[Θωμάς Ποδηματάς]

Ευχαριστώ θερμά... Θα προτιμούσα αν μπορεί κάποιος βαθμολογητής να μας πει κάτι όσο το δυνατόν πιο έγκυρο γίνεται,

γιατί στο Λύκειο αυτό, ειπώθηκε ότι στείλανε στην κεντρική επιτροπή ερώτηση και η απάντηση της επιτροπής ήταν,

αυτό που έγραψα, δηλαδή ότι όλες οι μονάδες δίνονται, δηλαδή μόνο του το σχήμα παίρνει ...

Σας λέω ότι ένα ολόκληρο Λύκειο (5ο) βρίσκεται σε σύγχυση...

Ας μάθουμε κάτι όσο γίνεται πιο σίγουρο, να πούμε στα παιδιά μας...

Ευχαριστώ

Θωμάς

[APO]

Σε σχετική συζήτηση που έγινε πρόσφατα στο σεμινάριο διδακτικής στα Ιωάννινα
τονίστηκε από σχολικό σύμβουλο ότι αυτό αποτελεί γεωμετρική ερμηνεία, αλλά σε
καμιά περίπτωση απόδειξη.

[nsmavrogiannis]

Θωμά και λοιποί φίλοι καλησπέρα.
1) Στις εξετάσεις η αξιοποίηση ενός σχήματος αξιολογείται θετικά αλλά από μόνη της δηλαδή η απλή παρουσίαση ενός σχήματος (όσο ακριβές και αν είναι) χωρίς άλλο συνοδευτικό συλλογισμό, δεν θεωρείται απάντηση. Ειδικά στην Ανάλυση που δεν ξέρουμε τι μας επιφυλάσσουν οι διάφορες συναρτήσεις. Ένα σχήμα μόνο του αποτελεί εικονογράφηση και τίποτε περισσότερο. Μία απάντηση που υποστηρίζεται από ένα σχήμα μόνο σε καμμία περίπτωση δε μπορεί να λάβει το σύνολο των μονάδων.
2) Ποια χρονιά εστάλη τέτοια οδηγία; Σε κανονικές εξετάσεις ή σε επαναληπτικές; Για τις κανονικές εξετάσεις δεν θυμάμαι, τουλάχιστον τα τελευταία 15 χρόνια, να λάβανε στα βαθμολογικά κέντρα τέτοια οδηγία. Δεν νομίζω να με απατά η μνήμη μου τόσο πολύ. Εξ' άλλου οι, εύλογες, αντιδράσεις των βαθμολογητών εναντίον μιας τέτοιας οδηγίας θα ήταν τόσο έντονες και τουλάχιστον αυτές θα δεν θα επέτρεπαν να ξεχαστεί το γεγονός.
3) Ένα παράδειγμα για το πόσο παραπειστικό μπορεί να είναι ένα σχήμα, άρα ορθά δε μπορούμε να το πάρουμε τοις μετρητοίς είναι το ακόλουθο:
Πόσα κοινά σημεία έχουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων , ;
Ιδού το σχήμα της Geogebra.

graphics.png (14.24 KiB) Προβλήθηκε 2967 φορές

Μαυρογιάννης

[KARKAR]

Θα υπέθετε κανείς , βλέποντας το σχήμα του Νίκου , ότι το τρίτο σημείο τομής των δύο καμπυλών είναι

πολύ μακρυνή υπόθεση . Κι όμως μόλις για οι δύο καμπύλες θα ξανατμηθούν ( με τιμή ) .

Όμως για το αρχικό πρόβλημα , νομίζω ότι θα πρέπει να είμαστε πιο γενναιόδωροι με το μαθητή που πρότεινε

αυτή τη λύση . Διότι εν προκειμένω , έχουμε δύο συναρτήσεις γνωστής γραφικής παράστασης

( υπάρχουν στο σχολικό ) , πασίγνωστης μονοτονίας και πλειστάκις χρησιμοποιημένες από όλους τους διδάσκοντες .

Δύσκολα θα με πείθατε να του "κόψω" , ακόμη και ένα μόριο ....

[Θωμάς Ποδηματάς]

Καλησπέρα ξανά.

Ευχαριστώ όσους ασχολήθηκαν. Εγώ, αφού δεν υπάρχει τέτοια οδηγία - Νίκο ευχαριστώ πραγματικά - εξακολουθώ να λέω αυτό που έλεγα και πριν.

Δηλαδή ότι άλλο είναι η γεωμετρική ερμηνεία και άλλο η Μαθηματική απόδειξη. Τι πιο φανερό από το Θεώρημα του και γιατί τότε να απαιτείται απόδειξη ;;;

Καταλαβαίνω ότι είναι γνωστές οι δύο καμπύλες, αλλά δεν παύει να είναι γεωμετρική ερμηνεία !

Στο παρακάτω σχήμα, "φαίνεται" ότι από οποιοδήποτε σημείο του , εκτός από το ,

άγονται δύο εφαπτόμενες προς το ... Όμως κάτι τέτοιο συμβαίνει ΜΟΝΟ από τα σημεία του

που είναι ΠΑΝΩ από την πλάγια ασύμπτωτη του στο που είναι η .

16_12_14.png (25.3 KiB) Προβλήθηκε 2875 φορές

Δε συμφωνώ ότι το σχήμα είναι λύση, ακόμη και όταν είναι "δύο συναρτήσεις γνωστής γραφικής παράστασης

( υπάρχουν στο σχολικό ) , πασίγνωστης μονοτονίας και πλειστάκις χρησιμοποιημένες από όλους τους διδάσκοντες"

Αυτό πιστεύω, αυτό γράφω. Θα παρακαλούσα πάντως θερμά και άλλου βαθμολογητές να με (μας) διαφωτίσουν περαιτέρω,

αν και αυτό που ήθελα να δω, το είδα !

Καλό βράδυ σε όλους !

Θωμάς

[STOPJOHN]

Θωμά Καλημέρα
Στο παράδειγμα σου ΔΕΝ είναι βασικές συναρτήσεις από το σχολικό βιβλίο διαταυτα ξεφεύγουμε από τη συζήτηση .Από την εμπειρεία μου των βαθμολογικών κέντρων,πιστευω ότι σε ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΊΟ ,
π.χ δεν χρειάζεται αιτιολόγηση για μονοτονία και ακρότατα και θα έδινα όλες τις μονάδες.
Βέβαια το πάντρεμα της γεωμετρικής ερμηνείας και της απόδειξης είναι υποχρεωτικό ΑΛΛΑ ΣΕ θέματα που δεν είναι βασικά και εκτός σχολικού βιβλίου για τη θεωρία .Θάθελα να ρωτήσω τους συναδέλφους τι μονάδες θα έδιναν ; σε πανελλήνιες εξετάσεις; σε παρόμοιες περιπτώσεις δόθηκαν ΟΛΕΣ οι μονάδες
ΚΑΛΗΜΕΡΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΚΑΙ ΝΑ ΤΑ ΕΚΑΤΟΣΤΗΣΕΙ ΤΟ

φιλικά
Γιάννης

[Θωμάς Ποδηματάς]

Καλημέρα Γιάννη

Το θέμα μου έχει να κάνει με το αν η γεωμετρική εποπτεία αποτελεί ή όχι (προσωπικά λέω ΟΧΙ)

και όχι το αν είναι γνωστές ή όχι οι καμπύλες του κάθε προβλήματος.

Όπως καταλαβαίνω, λες ότι επειδή τόσο η όσο και η είναι βασικές και μελετημένες στο σχολικό, άρα γνωστές,

η απάντηση ενός μαθητή μέσω σχήματος και της ένδειξης "Νάτο !" θα ήταν επαρκής στις Εξετάσεις... Οκ σέβομαι την άποψή σου,

αλλά δεν την ασπάζομαι !

Η συζήτηση είναι ανοικτή και όποιος συνάδελφος έχει να πει κάτι, τον παρακαλώ εκ νέου, να εκφέρει την άποψή του,

είτε αυτή είναι προσωπική, είτε από κάποια σχετική εμπειρία από κάποιο βαθμολογικό κέντρο,

για ένα ανάλογο περιστατικό που ίσως συνέβη στο παρελθόν.

Την καλημέρα μου και τα Χρόνια μου Πολλά στο , το Σχολείο μας...

Θωμάς

[STOPJOHN]

Θωμά επανέρχομαι και συμφωνούμε ότι η γεωμετρική εποπτεία και η απόδειξη χρειάζονται ,όμως ΜΟΝΟ για τις ΒΑΣΙΚΕΣ συναρτήσεις που είναι και θεωρία στο σχολικό βιβλίο στις εξετάσεις δεν χρειάζεται απόδειξη. Σε παρόμοια περίπτωση στις πανελλαδικές εξετάσεις ,η ομάδα των Μαθηματικών,που προβληματιστηκαμε αρκετά..... έδωσε όλες τις μονάδες και νομίζω ότι είναι δίκαιο και το δίκαιο είναι ΕΝΑ ΜΟΝΟ.....

Καλή συνέχεια
φιλικά
Γιάννης

[Μπάμπης Στεργίου]

Καλημέρα και χρόνια πολλά σ' όλο το

Συνάδελφοι, κυρίως βαθμολογητές, θα ήθελα να σας παρακαλέσω να μου πείτε αν ισχύει μια δήλωση καθηγήτριας στο Βόλο :

Για την λύση της άσκησης "Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και , έχουν μοναδικό κοινό σημείο στο διάστημα "

η κατασκευή ενός σχήματος με την ένδειξη "Νάτο !" είναι πλήρως αποδεκτή και βαθμολογείται με το σύνολο των μονάδων του θέματος.

Προσωπικά, έχω επιφυλάξεις και θεωρώ ότι αυτό είναι γεωμετρική ερμηνεία και όχι λύση... Θα παρακαλούσα την εκλεκτή παρέα να με (μας) διαφωτίσει...

Ευχαριστώ θερμά εκ των προτέρων

Την καλημέρα μου και τα Χρόνια μου Πολλά σε όλους

Θωμάς

Θωμά και λοιποί φίλοι γεια σας !

Ας πάρουμε τα πράγματα με τη σειρά :

α) Μεταξύ μαθηματικών η έννοια της απόδειξης έχει μια γενικότερη σημασία και σπουδαιότητα , αν και μεταξύ μας υπάρχουν πολλά σημεία , στα οποία θα είχαμε διαφορετική άποψη.
Έτσι, με απλά λόγια, απόδειξη είναι ό,τι στηρίζεται στα αξιώματα και προχωράει με ορθούς συλλογισμούς.

β) Όσον αφορά το σχολείο τα πράγματα έχουν συχνά διαφορετική ερμηνεία και πολλές φορές το τι είναι απόδειξη εξαρτάται από την τάξη, το μάθημα αλλά και το στόχο που εξετάζουμε.Έτσι :

i) Αν φτιάξουμε στον πίνακα για μαθητές της β' λυκείου τρεις συναρτήσεις και ρωτήσουμε τα παιδιά να μας πούνε ποια είναι η άρτια, ποια η περιττή και ποια η γνησίως αύξουσα, τότε σωστή απάντηση(άρα και απόδειξη για το μαθητή) είναι η ορθή ερμηνεία των ορισμών και των διαγραμμάτων. Ο μαθητής θα πει ότι αυτή που ανεβαίνει συνεχώς είναι η γνησίως αύξουσα και δεν νομίζω ότι ο καθηγητής θα ζητήσει άλλη απόδειξη.

ii) Αν σε ένα τμήμα της γ' λυκείου δώσουμε ως άσκηση αντιστοίχισης να αντιστοιχίσουν τις γραφικές παραστάσεις , μια κυρτή, μια κοίλη και μια που δεν είναι τίποτα από τα δύο, ο μαθητής θα βασιστεί στο σχήμα, μην έχοντας τίποτα άλλο να κάνει. Ο μαθητής λοιπόν είναι από τις πολύ μικρές ταξεις εξοικειωμένος πολύ με την γραφική αντιμετώπιση θεμάτων και συχνά θεωρεί ότι η αυστηρή αλγεβρική απόδειξη είναι απόρροια και όχι προϋπόθεση της γεωμετρικής.

iii) Όταν ζητάμε από τα παιδιά να λύσουν γραφικά ένα σύστημα(γραμμικό ή μη), μια σωστή λύση ο μαθητής δεν θα τη θεωρήσει ως απόδειξη ; Προσωπικά ποτέ δεν είπα στο μαθητή που την έλυσε σωστά στο τετραγωνισμένο χαρτί ότι αυτή η λύση είναι μόνο προσωρινά σωστή και πως ότι μόνο αν την λύση με αλγεβρικό τρόπο θα είναι σωστή. Το ίδιο φαντάζομαι θα συμβαίνει με πολλούς .

iv) Στο συγκεριμένο παράδειγμα που έθεσε ο Θωμάς, μπορεί το ''Νάτο '' να ακούγεται άσχημα, αλλά αν ο μαθητής σου πει'' η μία ανεβαίνει και η άλλη κατεβαίνει , άρα έχουν μόνο ένα κοινό σημείο '', αυτό δεν είναι πλήρης αυστηρή απόδειξη ; Ας μην ξεχνάμε ότι απόδειξη είναι η λογική επεξεργασία και όχι η χρήση μαθηματικών συμβόλων. Άλλωστε, όταν λέμε ότι η διαφορά μας γνησίως αύξουσας από μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, δεν είναι απόδειξη ; Τι παραπάνω κάνει η γραφή και η μεταγλώσσα ; Απλά , η εικόνα των σχημάτων γίνεται εικόνα συμβόλων και με αυτή την έννοια πάλι γραφική ''λύση '' είναι.

Στο μαθητή λοιπόν είναι βαθειά χαραγμένη η πεποίθηση ότι και οι γραφικές λύσεις είναι συχνά αποδείξεις, σωστές δηλαδή λύσεις , ειδικά όταν αυτές αναφέρονται σε πράγματα που τα έχει διδαχθεί στο σχολείο . Άλλωστε , όλη η αποδεικτική πορεία στη γεωμετρία δεν στηρίζεται στο σχήμα ; Τι θα λέγατε αν ζητούσαμε από έναν μαθητή που φέρνει τη διχοτόμο ενός τριγώνου να αποδείξει ότι αυτή βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο και μετά να συνεχίσει !

Συμπέρασμα :

α) Όλοι συμφωνούμε στο ότι γενικά σε ένα τυχαίο πρόβλημα η εποπτεία δεν είναι απόδειξη. Τα έχουμε πει χίλιες φορές και ευτυχώς έχουμε ένα κοινό σημείο αναφοράς.

β) Στη σχολική τάξη ο εκάστοτε διδάσκων μπορεί να θέσει τους κανόνες για το τι θα θεωρήσει ή όχι ως πλήρη λύση(απόδειξη) ενός προβλήματος. Ακόμα και στην γ' λυκείου ο μαθητής που θα πει '' από τη γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης προκύπτει ότι αυτή είναι γνησίως αύξουσα '' θα είναι τελείως μέσα στα αυστηρά πλαίσια της απόδειξης.Την ορθότητα της σκέψηε του δεν την αντλεί επειδή του την είπε ο καθηγητής του ή το βιβλίο, αλλά επειδή έχει στο μυαλό του ή μπροστά του το σχήμα.
Ένας πάλι μαθητής λέει ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διότι το ολοκλήρωμα παριστάνει εμβαδόν και αφού η συνάρτηση είναι θετική, το εμβαδόν αυξάνει καθώς το αυξάνει. Είναι να απορρίπτουμε τέτοιες λύσεις με το σκετπικό ότι είναι γραφικές ; Το ίδιο συμβαίνει και σε πολλές άλλες περιπτώσεις.

γ) Στις πανελλήνιες εξετάσεις όλες οι προσπάθειες συνεκτιμούνται. Μερικές φορές είναι πιο ευφυές να δει κάποιος μαθητής μια γεωμετρική - γραφική λύση, παρά να κάνει την αλγεβρική(τη δέουσα). Αν για παράδειγμα μια σχέση με μιγαδικούς μεταφερθεί από το μαθητή σε μια προφανή ή άλλη γνωστή γεωμετρική πρόταση, μπορούμε να του πούμε ότι η λύση του είναι λάθος ή ελλειπής ; Νομίζω πως όχι.Θα πούμε ότι η λύση αυτή είναι γραφική, μπαίνοντας στον κίνδυνο να χαρακτηρτούμε εμείς γραφικοί ;

Ας αφήσουμε λοιπόν απέξω την Δαμόκλειο σπάθη των βαθμολικών κέντρων-δεν υπάρχει τέτοιο σπαθί - και ας μείνουμε στην όμορφη μαθηματική πλευρά που είναι η ανακάλυψη, η έρευνα, η συσχέτιση των διάφορων μαθηματικών κλάδων κπου κάνουν το μάθημα και το σχολείο ευχάριστα.
Η χρήση των ΤΠΕ δεν αυξάνει και δεν ενισχύει άραγε κάθε προσπάθεια ανακάλυψης μέσω της δοκιμής και της εποπτείας ; Πώς να απαιτήσουμε από το μαθητή να τα διαγράψει όλα αυτά, αν του έρθει μια έμπνευση ;

Ο μαθητής ,μόνο αν σπουδάσει μαθηματικά, θα καταλάβει την αξία των καθαρών, αυστηρών μαθηματικών αποδείξεων , την αξιωματική θεμελίωση και την παραγωγική ανάπτυξη μιας μαθηματικής θεωρίας.

Είναι όμως συγχρόνως επιβεβλημένο ,στις μεγάλες τάξεις κυρίως , όπου δίνεται ευκαιρία, να περνάμε από τις γεωμετρικές ή εποπτικές ενδείξεις ή εικασίες στις σωστές αποδείξεις που βασίζονται στα θεωρήματα και τους ορισμούς. Έτσι, ο μαθητής θα μάθει να είναι προσεκτικός και να χρησιμοποιεί την εποπτεία μόνο ως μέσο για να πετύχει μια σωστή απόδειξη και όχι να θεωρεί την ίδια την εποπτεία απόδειξη

Τώρα , όσον αφορά τις βαθμολογήσεις και τις αξιολογήσεις τέτοιων εποπτικών προσπαθειών , μπορούμε να είμαστε λογικοί και να βρίσκουμε πάντα την καλύτερη αντιμετώπιση. Υπάρχει και η μέση λύση και θα πρότεινα αυτή η μέση λύση να τείνει προς τα πάνω και όχι προς την απόρριψη.

Αυτό που αξίζει είναι η φαντασία και όχι η γνώση αυτή καθεαυτή.

Μπάμπης

[nsmavrogiannis]

Γεια σας
Επανέρχομαι στο θέμα για να πω ότι θεωρώ ότι το αν κάποιες συναρτήσεις είναι οικείες δεν μας απαλλάσσει από την υποχρέωση να κάνουμε αποδείξεις.
Παράδειγμα 1
Στην άσκηση 8 της σελίδας 292 του σχολικού για το ότι η βρίσκεται πάνω από την πρέπει να κάνουμε απόδειξη
Παράδειγμα 2
Στις εξετάσεις του 2006 για το ότι οι ίδιες συναρτήσεις έχουν δύο κοινές εφαπτομένες χρειάσθηκε να γίνει απόδειξη
Παράδειγμα 3
Να δύο οκείες (αλήθεια πόσο;) συναρτήσεις:
, .
Ποια είναι τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων τους;

Ας μην ξεχνάμε ότι τα Μαθηματικά επινοήθηκαν για να βλέπουμε περισσότερα πράγματα απ΄όσα βλέπουμε. Στην τελευταία φράση κάπου χρειάζονται εισαγωγικά. Τοποθετήστε τα όπου κρίνετε εσείς. Ad libitum.
Μαυρογιάννης

[STOPJOHN]

Kαλημέρα σε όλους
Αν ένας μαθητής μας γράψει ότι η συνάρτηση δεν τέμνει τον οριζόντιο άξονα γιατί είναι γνωστό από τη θεωρία δηλαδή γεωμετρικά Τι θα του πούμε κάνε την απόδειξη;;;;

Γιάννης

[nsmavrogiannis]

Kαλημέρα σε όλους
Αν ένας μαθητής μας γράψει ότι η συνάρτηση δεν τέμνει τον οριζόντιο άξονα γιατί είναι γνωστό από τη θεωρία δηλαδή γεωμετρικά Τι θα του πούμε κάνε την απόδειξη;;;;

Γιάννης

Γιάννη νομίζω ότι αυτή η περίπτωση είναι διαφορετική. Εδώ ξέρουμε ήδη ότι όλες οι εκθετικές συναρτήσεις είναι θετικές.
Και επειδή έγινε λόγος για απόφαση κάποιου βαθμολογικού κέντρου για ποιά χρονιά και ποιο θέμα αναφερόμαστε;
Μαυρογιάννης

[Demetres]

Τα πιο κάτω είναι προσωπικές απόψεις. Δεν έχω γνώση για το τι οδηγίες υπάρχουν ούτε έχω διδάξει στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση.

Η βαθμολόγηση πρέπει να είναι συνυφασμένη με την φιλοσοφία του μαθήματος στην κάθε τάξη. Π.χ. σε μια μικρότερη τάξη η απάντηση θα έπρεπε να πάρει όλες (ή σχεδόν όλες) τις μονάδες.

Εδώ ζητούνται δυο πράγματα. Η ύπαρξη του σημείου τομής και η μοναδικότητά του.

Η ύπαρξη εξετάζει την κατανόηση και την χρήση του θεωρήματος ενδιάμεσης τιμής. Στην ύπαρξη επομένως του σημείου τομής ο μαθητής δεν πρέπει να πάρει καμία μονάδα αφού έδειξε πλήρη άγνοια για το θεώρημα.

Στην μοναδικότητα του σημείου τομής θα έδινα κάποιες μονάδες (ένα 20-30%) διότι ο μαθητής μέσω του σχήματος δείχνει να καταλαβαίνει τι συμβαίνει (η μια συνάρτηση είναι αύξουσα και η άλλη φθίνουσα) αλλά είτε δεν μπορεί να το εξηγήσει είτε δεν κατανοεί ότι πρέπει να το εξηγήσει, είτε και τα δύο. Εδώ είναι καθαρά αλγεβρικό αυτό το κομμάτι και δεν υπάρχουν οι εκπλήξεις της ανάλυσης. Οπότε εδώ η σωστή διαίσθηση επιβραβεύεται αλλά αδυναμία εξήγησης τιμωρείται. Αν υπήρχαν από κάτω λόγια ότι η μια είναι αύξουσα και η άλλη φθίνουσα το ποσοστό των μονάδων για την μοναδικότητα θα πήγαινε στο 50% αφού εξηγεί περισσότερο αυτό που σκέφτεται, αλλά πάλι δεν ξέρει να το αποδείξει αλγεβρικά.

Τέλος αφού το κύριο ζητούμενο είναι η ύπαρξη και όχι η μοναδικότητα αυτό θα έπαιρνε το περισσότερο βάρος. Άρα ολικά μάλλον θα έβαζα 1 από τα 10 για την απάντηση.

[STOPJOHN]

Nίκο καλημέρα δεν αναφέρθηκα σε απόφαση Βαθμολογικού κέντρο αλλά ομάδας βαθμολογητών,ίσως δεν έγινα κατανοητός ,δηλαδή βαθμολογούσα εγώ και είχαμε σχηματίσει ομάδα ,όπως το συνηθίζουμε πέντε βαθμολογητών ,και συζητούσαμε τις δύσκολες περιπτώσεις. Κάποια χρονιά (δεν είμαι σίγουρος για τη χρονολογία ) τέθηκε θέμα με ολοκλήρωμα και όριο και είδαμε γραπτό στο όριο με γεωμετρική ερμηνεία ΧΩΡΙΣ απόδειξη ,μας προβληματισε έντονα και η γεωμετρική σκέψη καλή λύση στο όριο .Ισως θάπρεπε να είχα κρατήσει αρχείο για τα γραπτά αυτού του είδους..δεν το έκανα .
Θα δω τα θέματα των Πανελληνίων και εφόσον το βρώ θα επανέλθω.

Γιάννης

[Ανδρέας Πούλος]

Αγαπητοί συνάδελφοι,
δεν είναι σωστό να γράφουμε ότι σε ένα σχολείο στον Βόλο η καθηγήτρια ή ο καθηγητής του σχολείου είπε ... ...
Πρώτον, δεν ξέρουμε τι ακριβώς είπε, κάτω από ποιες συνθήκες το είπε και τι αντιλήφθηκε ο ακροατής (ο μαθητής ή η μαθήτρια) από αυτά που είπε.
Ο καταλληλότερος τρόπος είναι, να θέτουμε το ερώτημα ως γενική απορία, ακόμα και αν δεν έχουμε τέτοια απορία ή είναι εντελώς το θέμα προφανές για εμάς.
Δεν είναι ευγενικό ούτε εποικοδομητικό να ερχόμαστε σε αντιπαραθέσεις με συναδέλφους, αλλά μόνο με τις λανθασμένες αντιλήψεις που αφορούν τη διδασκαλία των Μαθηματικών και τον τρόπο που τα παρουσιάζουμε στο σχολείο.

Για το συγκεκριμένο ερώτημα θεωρώ από την εμπειρία μου στα βαθμολογικά κέντρα, αλλά επειδή γνωρίζω τις πρακτικές της πλειοψηφίας των συναδέλφων διορθωτών, οι οποίες το τονίζω σε αρκετές περιπτώσεις δεν επηρεάζονται και πολύ από τις οδηγίες των συντονιστών του μαθήματος των Μαθηματικών, δεν θα έβλεπαν με καθόλου "¨καλό μάτι" μια τέτοια πρακτική. Αν δεν το πιστεύει ο συγκεκριμένος μαθητής ή μαθήτρια δεν έχει παρά να το δοκιμάσει τον Μάιο.
Βέβαια για μιλήσουμε σοβαρά, το θέμα της αιτιολόγησης μέσω γραφικών παραστάσεων είναι πρωτίστως παιδαγωγικό και δυστυχώς δεν έχουμε μία σαφή εικόνα από τις οδηγίες που αποστέλλονται κάθε χρόνο για τη διδασκαλία του μαθήματος των Μαθηματικών. Προσπάθησα κι εγώ να τις ξαναδιαβάσω με ευκαιρία αυτή τη συζήτηση, αλλά δεν βρήκα κάτι που να μου δίνει ένα στήριγμα.

Αντιγράφω ένα απόσπασμα από τη σελίδα 7 των οδηγιών για τη διδασκαλία των Μαθηματικών της Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) με την υποσημείωση ότι τα αποσπάσματα μπορούν πολλές φορές να τα χρησιμοποιούμε, είτε προς τη μία πλευρά είτε προς την άλλη.
Επίσης, κατά τη διδασκαλία των θεωρημάτων Bolzano, ενδιάμεσων τιμών και μέγιστης και ελάχιστης τιμής, καθώς και της πρότασης ότι η συνεχής εικόνα διαστήματος είναι διάστημα, να δοθεί έμφαση και να συζητηθούν οι γραφικές παραστάσεις που ακολουθούν τις τυπικές διατυπώσεις αυτών, ώστε οι μαθητές να βοηθηθούν στην ουσιαστική κατανόηση τους.
Αν το ερμηνεύσουμε αυτό ως βοήθεια για την ουσιαστική κατανόηση ενός θέματος ή στην απόδειξη ενός προβλήματος, έχει καλώς. Οι οδηγίες δεν αναφέρουν ότι αυτή η πρακτική αποτελεί ερμηνεία.
Η ερμηνεία, η απόδειξη, η εξήγηση ή όπως αλλιώς αποκαλέσουμε τη διαδικασία αιτιολογημένου λόγου με επιχειρήματα, βασισμένου σε προηγούμενες προτάσεις και άλλα επιχειρήματα, δεν μπορεί να βασιστεί σε εικόνες οι οποίες σε πολλές περιπτώσεις είναι "θολές".
Η ιστορία των Μαθηματικών είναι γεμάτη με παραδείγματα που, άλλα έβλεπαν τα μάτια μας και άλλο συνέβαινε στη "μαθηματική πραγματικότητα".
Νομίζω ότι ήμουν αρκετά φλύαρος, ουσιαστικά θα μπορούσα να πω το κείμενο ή τα κείμενα του Νίκου του Μαυρογιάννη με κάλυψαν πλήρως,
αλλά ξέρετε υπάρχει και αυτό που στα λαϊκά το αποκαλούμε "ας πω κι εγώ τα δικά μου".
Τώρα μπήκα στο Φόρουμ και έπεσε η ματιά μου σε αυτή την συζήτηση και την βρήκα, όχι μόνο ενδιαφέρουσα, αλλά και ζήτημα υπαρκτό, που το συζητάμε συχνά στο μάθημα κλπ.

Ανδρέας Πούλος