Τύπου Γ

elena97 · #1

'Εστω μιγαδικός αριθμός

και συνάρτηση

ορισμένη στο $\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει:
$e^{f(x)}+f(x)=x$ για κάθε $x\epsilon \mathbb{R}$ και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο A(e+1,|z|)

.
1.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της.
2.Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις της

και της αντίστροφης της δεν τέμνονται.
3.Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών

.
4.Αν

να βρείτε τον

.
5.Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός $w=z+ (\frac{1} {z})$ είναι πραγματικός.

#2

Βλέπε το σχόλιο εδώ

elena97 · #3

διαβάζω μόνη στο σπίτι χωρίς να κάνω κάποιο επιπλέον μάθημα εκτός σχολείου.Αυτή είναι η άσκηση,συγκεκριμένα, που μου έδωσε ο καθηγητής του σχολείου και δεν έχει τύχη να κάνουμε παρόμοια μαζί του.Για το λόγο αυτό ζητάω βοήθεια τώρα.Διαφορετικά θα ρωτούσα για κάθε άσκηση που μου δόθηκε σε όλο το πέρας της μέχρι τώρα σχολικής χρονιάς.

dennys · #4

1)Aπο $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow e^{f(x_1)}=e^{f(x_2)}$ και με πρόσθεση $x_1=x_2 \Rightarrow f "1-1"$

Aν $g(x)=e^x+x, g{'}(x)>0\Rightarrow g$ γν.αύξουσα αρα "1-1".Για το πεσίο τιμών της

αρκεί να δείξουμε οτι η εξίσωση $f(x)=y,\forall y\in \mathbb R$ έχει λύση .Ετσι $f(x)=y\Rightarrow g(f(x))=g(y)$

x=e^y+y

δηλ βρήκαμε το $x\Rightarrow f(R)=R.$

Απο $g(f(x))=x\Rightarrow f(x)=g^{-1}(x)\Rightarrow f^{-1}=(g^{-1})^{-1}=g(x)\Rightarrow f^{-1}(x)=e^x+x$

2)Απο την δοσμ΄'ενη $x-f(x)=e^{f(x)}>0 \Rightarrow f(x)<x \Rightarrow f^{-1}(x)>x>f(x)$ αρα δεν τέμνονται .

3) $f(e+1)=|z|\Rightarrow f^{-1}(|z|)=e+1=f^{-1}(1)\Rightarrow |z|=1$ αφου είναι $f^{-1} "1-1"$ .

Ετσι η εικόνα του μιγ.κινείται στον μοναδιαίο κύκλο.

4)Απο $|z-2f(e+1)i|=|z-f(1)i|, f(e+1)=|z|=1, f^{-1}(0)=1\Rightarrow f(1)=0,\Rightarrow |z-2i|=|z|=1,z=x+yi,x^2+y^2=1, x=...,y=...$

5)Eπειδή $|z|=1\Rightarrow z\bar z=1,\bar z=1/z\Rightarrow z+1/z=z+\bar z =2 Re(z) \in R$

anastasispk · #5

Καλησπέρα, προκειμένου να προχωρήσεις με την άσκηση, πες μας το σημείο που κολλάς, για να σε βοηθήσουμε.
Ενδεικτικά για τα πρώτα δύο:

elena97 έγραψε:1.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της.

Το πιο κλασικό ερώτημα στην αντίστροφη συνάρτηση. Σε αυτά τα ερωτήματα αρκεί να δείξεις ότι είναι "1-1" είτε με τον ορισμό, είτε
αποδεικνύοντας ότι είναι γνησίως μονότονη (αν είναι).

elena97 έγραψε:2.Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις της f και της αντίστροφης της δεν τέμνονται.

Επίσης κλασικό. Έστω ότι τέμνονται, τότε τα σημεία τομής τους σε ποια ευθεία θα ανήκουν;

Φιλικά,
Αναστάσης

Edit: Με πρόλαβε ο dennys με την ολοκληρωμένη λύση.

elena97 · #6

ευχαριστώ πολύ

Τύπου Γ

Τύπου Γ

Re: Τύπου Γ

Re: Τύπου Γ

Re: Τύπου Γ

Re: Τύπου Γ

Re: Τύπου Γ

Μέλη σε σύνδεση