Απλή άσκηση

elena97 · #1

Θεωρούμε τη συνάρτηση

με $f(x)=ln(\frac{1+x} {1-x})$ .
1.Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

.
2.Να βρεθούν τα όρια $\lim _{x\rightarrow -1}f(x)$ , $\lim _{x\rightarrow 1}f(x)$ .
3.Να αποδείξετε ότι η

αντιστρέφεται και είναι $f^{-1}(x)=\frac{e^x -1} {e^x +1}$ .
4.Να υπολογιστεί το όριο $\lim _{x\rightarrow 1}[f(x)* \sin (\frac{1} {f(x)})]$ .

#2

Βλέπε το σχόλιο εδώ

elena97 · #3

Σε αυτή την άσκηση ήθελα να ρωτήσω στο 2 ερώτημα,αφού "σπάσω" το λογάριθμο τί ακριβώς να κάνω και στο 3 ερώτημα πως βρίσκω την αντίστροφη.

dennys · #4

Γειά σου έλενα97

Λοιπόν να σου πώ την γνώμη μου.
1) Πρώτα παίρνεις ότι $\cfrac{1+x}{1-x}>0 \Leftrightarrow (1+x)(1-x)>0, x\in (-1,1)$

Ειδα τι έγραψε ο κ. Λάμπρου και τα έσβησα .Συγγνώμη.

elena97 · #5

προσπαθώντας να λύσω την άσκηση έχανα πάντα ένα πρόσημο βγάζοντας μου το χ=1 και όχι $x=\frac{1-e^y} {1+e^y}$ .
Ακόμη θα ήθελα να ρωτήσω,μην τυχόν έχω κάνει καμιά πατάτα,στο τελευταίο ερώτημα παίρνω τη σχέση όπως είναι χωρίς να κάνω τη σχέση μέσα στο ημίτονο f^-1(x)

;

pana1333 · #6

Έλενα προσοχή η αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}\left(x \right)$ δεν ισούται με $\frac{1}{f\left(x \right)}$

Αρχιμήδης 6 · #7

Εφόσον δεν είσαι σίγουρη για την λύση σου πως την χαρακτηρίζεις απλή?

elena97 · #8

Ετσι μου την χαρακτήρισε ο καθηγητης στο σχολείο

#9

1. Πρέπει $\displaystyle{1-x \neq 0, \frac{1+x}{1-x}>0 \Leftrightarrow -1<x<1}$ , άρα $\displaystyle{A_f=(-1,1)}$ .

2. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -1}f(x)= \lim_{x \rightarrow -1^+}ln\frac{1+x}{1-x}=-\infty}$ .

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}f(x)= \lim_{x \rightarrow 1^-}ln\frac{1+x}{1-x}=+\infty}$ .

3.Έστω $x_1,x_2 \in (-1,1)$ με
$\displaystyle{f(x_1)=f(x_2) \Leftrightarrow ln\frac{1+x_1}{1-x_1}= ln\frac{1+x_2}{1-x_2} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{1+x_1}{1-x_1}= \frac{1+x_2}{1-x_2} \Leftrightarrow 1-x_2+x_1-x_1x_2=1+x_2-x_1-x_1x_2 \Leftrightarrow x_1=x_2}$ ,

οπότε η συνάρτηση

είναι ένα προς ένα, άρα αντιστρέφεται.

Η συνάρτηση

είναι συνεχής στο (-1,1)

και $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -1^+}f(x)=-\infty, \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=+\infty}$ , άρα $\displaystyle{f(A)=\mathbb{R}}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{f: (-1,1) \rightarrow \mathbb{R}}$ , άρα $\displaystyle{f: \mathbb{R} \rightarrow (-1,1)}$ και θέτοντας όπου

το $f^{-1}(x)$ και όπου f(x)

το

, οπότε
$\displaystyle{x=ln\frac{1+f^{-1}(x)} {1-f^{-1}(x)} \Leftrightarrow f^{-1}(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}}$ .

4. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1} \left(f(x) \eta \mu \frac{1}{f(x)} \right)= \lim_{u \rightarrow 0^+} \frac{\eta \mu u}{u}=0}$ .

pana1333 · #10

Αυτή ή άσκηση περιέχει βασικά πράγματα που πρέπει να γνωρίζεις. Θα σου πρότεινα και τα εξής.....

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:1. Πρέπει $\displaystyle{1-x \neq 0, \frac{1+x}{1-x}>0 \Leftrightarrow -1<x<1}$ , άρα $\displaystyle{A_f=(-1,1)}$ .

Διάβασε από το σχολικό της Β λυκείου τις ασκήσεις με το πρόσημο ρητών συναρτήσεων (πινακάκι)

2. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -1}f(x)= \lim_{x \rightarrow -1^+}ln\frac{1+x}{1-x}=-\infty}$ .

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}f(x)= \lim_{x \rightarrow 1^-}ln\frac{1+x}{1-x}=+\infty}$ .

Διάβασε από το σχολικό σου βιβλίο τα όρια εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης και προσπάθησε να τα βρίσκεις από τη γραφική παράσταση.

3.Έστω $x_1,x_2 \in (-1,1)$ με
$\displaystyle{f(x_1)=f(x_2) \Leftrightarrow ln\frac{1+x_1}{1-x_1}= ln\frac{1+x_2}{1-x_2} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{1+x_1}{1-x_1}= \frac{1+x_2}{1-x_2} \Leftrightarrow 1-x_2+x_1-x_1x_2=1+x_2-x_1-x_1x_2 \Leftrightarrow x_1=x_2}$ ,

οπότε η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, άρα αντιστρέφεται.

Η συνάρτηση είναι συνεχής στο και $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -1^+}f(x)=-\infty, \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=+\infty}$ , άρα $\displaystyle{f(A)=\mathbb{R}}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{f: (-1,1) \rightarrow \mathbb{R}}$ , άρα $\displaystyle{f: \mathbb{R} \rightarrow (-1,1)}$ και θέτοντας όπου το $f^{-1}(x)$ και όπου το , οπότε
$\displaystyle{x=ln\frac{1+f^{-1}(x)} {1-f^{-1}(x)} \Leftrightarrow f^{-1}(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}}$ .

Διάβασε την παράγραφο 1.3 του σχολικού και την εφαρμογή της παραγράφου

4. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1} \left(f(x) \eta \mu \frac{1}{f(x)} \right)= \lim_{u \rightarrow 0^+} \frac{\eta \mu u}{u}=0}$ .

Διάβασε τριγωνομετρικά όρια και όρια σύνθετης συνάρτησης καθώς και το παράδειγμα της παραγράφου 1.5

elena97 · #11

pana1333 έγραψε:Αυτή ή άσκηση περιέχει βασικά πράγματα που πρέπει να γνωρίζεις. Θα σου πρότεινα και τα εξής.....

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:1. Πρέπει $\displaystyle{1-x \neq 0, \frac{1+x}{1-x}>0 \Leftrightarrow -1<x<1}$ , άρα $\displaystyle{A_f=(-1,1)}$ .

Διάβασε από το σχολικό της Β λυκείου τις ασκήσεις με το πρόσημο ρητών συναρτήσεων (πινακάκι)

2. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -1}f(x)= \lim_{x \rightarrow -1^+}ln\frac{1+x}{1-x}=-\infty}$ .

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}f(x)= \lim_{x \rightarrow 1^-}ln\frac{1+x}{1-x}=+\infty}$ .

Διάβασε από το σχολικό σου βιβλίο τα όρια εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης και προσπάθησα να τα βρίσκεις από τη γραφική παράσταση.

3.Έστω $x_1,x_2 \in (-1,1)$ με
$\displaystyle{f(x_1)=f(x_2) \Leftrightarrow ln\frac{1+x_1}{1-x_1}= ln\frac{1+x_2}{1-x_2} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{1+x_1}{1-x_1}= \frac{1+x_2}{1-x_2} \Leftrightarrow 1-x_2+x_1-x_1x_2=1+x_2-x_1-x_1x_2 \Leftrightarrow x_1=x_2}$ ,

οπότε η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, άρα αντιστρέφεται.

Η συνάρτηση είναι συνεχής στο και $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -1^+}f(x)=-\infty, \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=+\infty}$ , άρα $\displaystyle{f(A)=\mathbb{R}}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{f: (-1,1) \rightarrow \mathbb{R}}$ , άρα $\displaystyle{f: \mathbb{R} \rightarrow (-1,1)}$ και θέτοντας όπου το $f^{-1}(x)$ και όπου το , οπότε
$\displaystyle{x=ln\frac{1+f^{-1}(x)} {1-f^{-1}(x)} \Leftrightarrow f^{-1}(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}}$ .

Διάβασε την παράγραφο 1.3 του σχολικού και την εφαρμογή της παραγράφου

4. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1} \left(f(x) \eta \mu \frac{1}{f(x)} \right)= \lim_{u \rightarrow 0^+} \frac{\eta \mu u}{u}=0}$ .

Διάβασε τριγωνομετρικά όρια και τριγωνομετρικά όρια σύνθετης συνάρτησης καθώς και το παράδειγμα της παραγράφου 1.5

ευχαριστώ πολύ

Απλή άσκηση

Απλή άσκηση

Re: Απλή άσκηση

Re: Απλή άσκηση

Re: Απλή άσκηση

Re: Απλή άσκηση

Re: Απλή άσκηση

Re: Απλή άσκηση

Re: Απλή άσκηση

Re: Απλή άσκηση

Re: Απλή άσκηση

Re: Απλή άσκηση

Μέλη σε σύνδεση