...ΑΞΙΩΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

gabriel · #1

ΑΣΚΗΣΗ
Έστω

παραγωγίσιμη στο $\mathbb R$ με συνεχή παράγωγο και τέτοια ώστε: f΄(x)>1

για κάθε $x\in \mathbb R$ .Nα δείξετε ότι f(R)=R

.
ΛΥΣΗ

AΠΟΡΙΑ 1.
Σύμφωνα με όσα γνωρίζω εφαρμόζοντας ΘΜΤ στα [x,0]

και

διαδοχικά προκύπτει σε καθένα από τα διαστήματα ότι: $f(x)=xf΄(\xi )+f(0)$ η οποία αφού την <<φράξουμε>> κατάλληλα $f(x)=xf΄(\xi )+f(0)<x+f(0)$ για x<0

και $f(x)=xf΄(\xi )+f(0)>x+f(0)$ για x>0

και εκμεταλλευόμενοι την μονοτονία της

προσδιορίζουμε το ζητούμενο. Αυτό διότι σύμφωνα με το αξίωμα της επιλογής(;;;;) το $f '(\xi)$ δεν είναι <<ακριβώς>> ένας αριθμός , αλλά περιγράφει(;;;) ακολουθία διαστημάτων άρα δεν μπορούμε άμεσα από τις ισότητες να βρούμε τα ζητούμενα όρια. Σωστά τα παραπάνω ή όχι;;;;

ΑΠΟΡΙΑ 2
Αν τα παραπάνω ισχύουν τότε το αντίστοιχο $f '(\xi)$ που προκύπτει από το Θ.Μ.Τ έχει πρόσημο αφού είναι f΄(x)>1

;;;;;

ΘΑ ΗΘΕΛΑ ΤΗΝ ΑΠΟΨΗ ΣΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΚΑΠΟΙΕΣ <<ΠΗΓΕΣ>> ΠΟΥ ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑ ΝΑ ΒΡΩ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ.....

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΕΚ ΤΩΝ ΠΡΟΤΕΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ...

abgd · #2

gabriel έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ
Έστω παραγωγίσιμη στο $\mathbb R$ με συνεχή παράγωγο και τέτοια ώστε: για κάθε $x\in \mathbb R$ .Nα δείξετε ότι .
ΛΥΣΗ

AΠΟΡΙΑ 1.
Σύμφωνα με όσα γνωρίζω εφαρμόζοντας ΘΜΤ στα και διαδοχικά προκύπτει σε καθένα από τα διαστήματα ότι: $f(x)=xf΄(\xi )+f(0)$ η οποία αφού την <<φράξουμε>> κατάλληλα $f(x)=xf΄(\xi )+f(0)<x+f(0)$ για και $f(x)=xf΄(\xi )+f(0)>x+f(0)$ για και εκμεταλλευόμενοι την μονοτονία της προσδιορίζουμε το ζητούμενο. Αυτό διότι σύμφωνα με το αξίωμα της επιλογής(;;;;) το $f '(\xi)$ δεν είναι <<ακριβώς>> ένας αριθμός , αλλά περιγράφει(;;;) ακολουθία διαστημάτων άρα δεν μπορούμε άμεσα από τις ισότητες να βρούμε τα ζητούμενα όρια. Σωστά τα παραπάνω ή όχι;;;;

ΑΠΟΡΙΑ 2
Αν τα παραπάνω ισχύουν τότε το αντίστοιχο $f '(\xi)$ που προκύπτει από το Θ.Μ.Τ έχει πρόσημο αφού είναι ;;;;;

ΘΑ ΗΘΕΛΑ ΤΗΝ ΑΠΟΨΗ ΣΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΚΑΠΟΙΕΣ <<ΠΗΓΕΣ>> ΠΟΥ ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑ ΝΑ ΒΡΩ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ.....

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΕΚ ΤΩΝ ΠΡΟΤΕΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ...

Δεν καταλαβαίνω γιατί έχεις πρόβλημα με την επιλογή του $\xi$ . Μπορείς να δεις το πρόβλημα ως εξής: Για οποιαδήποτε επιλογή του αριθμού

θα μπορείς να βρεις έναν αριθμό $\xi$ ο οποίος - δεν είναι απαραίτητο και δεν μας ενδιαφέρει να μάθουμε τη σχέση που έχει με τοΝ επιλεγμένο

.
Οι ανισότητες που προκύπτουν είναι ικανές να σου δώσουν το σύνολο τιμών αφού σ΄αυτές έχουμε αποφύγει τον αριθμό $\xi$

gabriel · #3

Αν είναι έτσι ποιος ο λόγος να φράξω την ισότητα που προκύπτει απο το ΘΜΤ και να μην βρώ άμεσα το ζητούμενο όριο;;; Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι σωστό, από όσο γνωρίζω.....

abgd · #4

gabriel έγραψε:Αν είναι έτσι ποιος ο λόγος να φράξω την ισότητα που προκύπτει απο το ΘΜΤ και να μην βρώ άμεσα το ζητούμενο όριο;;; Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι σωστό, από όσο γνωρίζω.....

Δεν είπα να μη φτιάξεις την ανισότητα. Αυτή είναι απαραίτητη για να βρεις το όριο γιατί δεν μπορείς να βρεις το $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}{f(\xi)}}$

gabriel · #5

Γιατί να μην μπορώ να βρώ το όριο, αν το $f' (\xi)$ είναι αριθμός και μάλιστα θετικός, αφού είναι f ΄(x)>1>0

για κάθε $x\in \mathbb R$ άρα και $x=\xi$ ;;;; Κάπου εκεί το<<χάνω>>....Κάπου εκεί ανακατέυεται και το αξίωμα της επιλογής.....

abgd · #6

Πρόσεξε.
Ο αριθμός $\xi$ του Θ.Μ.Τ. είναι ένας αριθμός μεταξύ των αριθμών

και

.
Για κάθε αρνητικό αριθμό

έχεις έναν αριθμό $\xi:\xi(x)$ .
Θεωρώντας τώρα το

να μεταβάλλεται και να κινείται στο $-\infty$ αναγκαστικά θα μεταβάλλεται και το $\xi$ .
Το $\xi$ δηλαδή θα είναι μία συνάρτηση, (ίσως), του

, έστω συμβολικά: $\xi(x)$ , για την οποία το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζουμε, για τις ανάγκες του προβλήματος, είναι ότι $f^{\prime}(\xi(x))>1$ και όχι το $\displaystyle {\lim_{x\to-\infty}{f^{\prime}(\xi(x))}}$

#7

abgd έγραψε:Το $\xi$ δηλαδή θα είναι μία συνάρτηση, (ίσως),

Ακριβώς εδώ χρησιμοποιείται το αξίωμα της επιλογής.

gabriel · #8

ευχαριστώ πολύ για την διευκρίνηση.

#9

gabriel έγραψε: ... το $f '(\xi)$ δεν είναι <<ακριβώς>> ένας αριθμός , αλλά περιγράφει(;;;) ακολουθία διαστημάτων άρα δεν μπορούμε άμεσα από τις ισότητες να βρούμε τα ζητούμενα όρια. Σωστά τα παραπάνω ή όχι;;;;

Ίσως αξίζει να σχολιάσω (αν και η ερώτηση και η απάντηση είναι εκτός φακέλου) ότι το παραπάνω δεν είναι ορθό.

Οι απαντήσεις που σου δίνουν οι δύο προλαλήσαντες συνάδελφοι είναι, εννοείται, απόλυτα σωστές. Ίσως θα πρέπει επισημάνω ότι η λύση στην άσκηση δεν χρησιμοποιεί το αξίωμα επιλογής. Το αξίωμα αυτό χρησιμοποιείται μόνο αν θέλεις να εκφράσεις το $\xi$ ως συνάρτηση του

.

...ΑΞΙΩΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

...ΑΞΙΩΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

Re: ...ΑΞΙΩΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

Re: ...ΑΞΙΩΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

Re: ...ΑΞΙΩΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

Re: ...ΑΞΙΩΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

Re: ...ΑΞΙΩΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

Re: ...ΑΞΙΩΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

Re: ...ΑΞΙΩΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

Re: ...ΑΞΙΩΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

Μέλη σε σύνδεση