ΜΙΚΡΗ ΚΑΙ ΕΞΥΠΝΗ

gabriel · #1

Έστω $z\epsilon C$ για τους οποίους: $\left|\bar{z}-1 \right|=\frac{6}{\left|z-1 \right|+1}$ .
i. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z.
ii. Nα υπολογίσετε το $\int_{-1}^{3}{\sqrt{3+2x-x^{2}}}dx$

gavrilos · #2

Καλησπέρα.

Α) Ισχύει $\displaystyle{|\overline{z}-1|=|\overline{z-1}|=|z-1|}$ άρα η σχέση γράφεται $\displaystyle{|z-1|^{2}+|z-1|-6=0\Leftrightarrow (|z-1|-2)(|z-1|+3)=0}$ .

Από αυτήν παίρνουμε $\displaystyle{|z-1|=2}$ άρα ο $\displaystyle{z}$ κινείται στον κύκλο $\displaystyle{(x-1)^{2}+y^{2}=4}$ .

Β) Έχουμε $\displaystyle{\sqrt{3+2x-x^{2}}=\sqrt{4-(x-1)^{2}}}$ .Όμως η εξίσωση $\displaystyle{y=\sqrt{4-(x-1)^{2}}}$ παριστάνει το "πάνω" ημικύκλιο του κύκλου $\displaystyle{(x-1)^{2}+y^{2}=4}$ .

Το ημικύκλιο αυτό είναι η γ.π. της συνάρτησης.Αφού η διάμετρος του ημικυκλίου αυτού έχει άκρα με τετμημένες $\displaystyle{3,-1}$

το ζητούμενο εμβαδόν είναι το εμβαδόν όλου του ημικυκλίου που ισούται με $\displaystyle{\frac{\pi R^{2}}{2}=\boxed{2\pi}}$ .

ΜΙΚΡΗ ΚΑΙ ΕΞΥΠΝΗ

ΜΙΚΡΗ ΚΑΙ ΕΞΥΠΝΗ

Re: ΜΙΚΡΗ ΚΑΙ ΕΞΥΠΝΗ

Μέλη σε σύνδεση