Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

(α) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{n^4+n^2+1=\left(n^2+n+1\right)\left(n^2-n+1)}$
(β) Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{n}$ για τους οποίους η παράσταση $\displaystyle{n^4+n^2+1}$ είναι πρώτος αριθμός.

Πρόβλημα 2

(α) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{4}{\left(2k+1\right)^2-1}}$
(β) Αν $\displaystyle{S=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{49}+...+\dfrac{1}{2015^2}}$ , να δείξετε ότι: $\displaystyle{S<\dfrac{1}{4}}$

Πρόβλημα 3

Πόσα τετράγωνα σχηματίζονται από τις γραμμές του πλέγματος στο παρακάτω διάγραμμα;

: Diagramma.png (1.83 KiB) Προβλήθηκε 1974 φορές

Πρόβλημα 4

Ο Ανδρέας, η Βίκυ, ο Κώστας και ο Νίκος παίζουν επιτραπέζια αντισφαίριση. Σε κάθε παιχνίδι παίζουν δύο παίκτες και ο ηττημένος φεύγει από το τραπέζι, για να αντικατασταθεί με κάποιον από τους άλλους δύο που είναι εκτός παιχνιδιού. Στο παιχνίδι μπαίνει αυτός που είναι εκτός για μεγαλύτερο αριθμό συνεχόμενων παιχνιδιών (αν δύο παίκτες έχουν μείνει εκτός για ίσο αριθμό παιχνιδιών, τότε μπορεί να μπει οποιοσδήποτε από τους δύο). Στο τέλος της ημέρας, ο Ανδρέας έπαιξε $\displaystyle{61}$ παιχνίδια, η Βίκυ έπαιξε $\displaystyle{22}$ παιχνίδια, ο Κώστας έπαιξε $\displaystyle{21}$ παιχνίδια και ο Νίκος έπαιξε $\displaystyle{20}$ παιχνίδια. Ποιοι έπαιξαν στο $\displaystyle{33^o}$ παιχνίδι;

Πρόβλημα 5

Στο τετράγωνο $\displaystyle{ABCD}$ το $\displaystyle{E}$ είναι σημείο στην πλευρά $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{F}$ σημείο στην $\displaystyle{CD}$ τέτοια, ώστε όταν διπλωθεί το τετράγωνο κατά μήκος της $\displaystyle{EF}$ , η νέα θέση $\displaystyle{A'}$ του $\displaystyle{A}$ να βρίσκεται στην $\displaystyle{BC}$ . Αν $\displaystyle{D'}$ δηλώνει τη νέα θεση του $\displaystyle{D}$ και το $\displaystyle{Z}$ είναι το σημείο τομής της $\displaystyle{CF}$ και $\displaystyle{A'D'}$ , να δείξετε ότι: $\displaystyle{A'E+FZ=A'Z}$

: IMC3.png (10.47 KiB) Προβλήθηκε 1974 φορές

#2

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 4

Ο Ανδρέας, η Βίκυ, ο Κώστας και ο Νίκος παίζουν επιτραπέζια αντισφαίριση. Σε κάθε παιχνίδι παίζουν δύο παίκτες και ο ηττημένος φεύγει από το τραπέζι, για να αντικατασταθεί με κάποιον από τους άλλους δύο που είναι εκτός παιχνιδιού. Στο παιχνίδι μπαίνει αυτός που είναι εκτός για μεγαλύτερο αριθμό συνεχόμενων παιχνιδιών (αν δύο παίκτες έχουν μείνει εκτός για ίσο αριθμό παιχνιδιών, τότε μπορεί να μπει οποιοσδήποτε από τους δύο). Στο τέλος της ημέρας, ο Ανδρέας έπαιξε $\displaystyle{61}$ παιχνίδια, η Βίκυ έπαιξε $\displaystyle{22}$ παιχνίδια, ο Κώστας έπαιξε $\displaystyle{21}$ παιχνίδια και ο Νίκος έπαιξε $\displaystyle{20}$ παιχνίδια. Ποιοι έπαιξαν στο $\displaystyle{33^o}$ παιχνίδι;

Ευχαριστούμε για τα προβλήματα!

Συνολικά πραγματοποιήθηκαν $\displaystyle{\frac{61+22+21+20}{2}=62}$ παιχνίδια. Οπότε ο Ανδρέας δε συμμετείχε μόνο σε ένα παιχνίδι. Αυτό μπορεί να συνέβη μόνο στο πρώτο ή στο τελευταίο παιχνίδι. Επειδή η Βίκυ κέρδισε περισσότερα παιχνίδια από τους Κώστα και Νίκο, τα πιθανά ζευγάρια αγώνων είναι (πρώτος ο νικητής του ζεύγους)

$\displaystyle{(B,K)\to (A,B)\to (A,N)\to (A,K)\to (A,B)\to ... \to (A,B)\to (A,N)\to (A,K)\to (A,B)}$

ή

$\displaystyle{(A,B)\to (A,K)\to (A,N)\to (A,B)\to ... \to (A,B)\to (A,K)\to (A,N)\to (A,B)\to (B,K)}$

Σε κάθε περίπτωση έπαιξαν οι Ανδρέας και Νίκος.

Soteris · #3

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

(α) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{n^4+n^2+1=\left(n^2+n+1\right)\left(n^2-n+1)}$
(β) Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{n}$ για τους οποίους η παράσταση $\displaystyle{n^4+n^2+1}$ είναι πρώτος αριθμός.

(α) Είναι: $\displaystyle{\left(n^2+n+1\right)\left(n^2-n+1\right)=n^4-n^3+n^2+n^3-n^2+n+n^2-n+1=n^4+n^2+1}$

(β) Για να είναι ο $\displaystyle{n^4+n^2+1}$ πρώτος, πρέπει ο ένας από τους δύο παράγοντές του να είναι ίσος με $\displaystyle{1}$ . Επειδή $\displaystyle{n^2+n+1>n^2-n+1}$ για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ , έχουμε $\displaystyle{n^2-n+1=1}$ , συνεπώς $\displaystyle{n=1}$ και $\displaystyle{n^4+n^2+1=3}$ .

T-Rex · #4

Πρόβλημα 3

Πόσα τετράγωνα σχηματίζονται από τις γραμμές του πλέγματος στο παρακάτω διάγραμμα;

Diagramma.png

Να κάνω μία προσπάθεια
Αν δεν υπήρχε το τετραγωνάκι θα μετρήσουμε τα κέντρα των τετραγώνων και όλα τα τετράγωνα θα είναι
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}=\frac{9.10.19}{6}=285$
Μετρούμε τα κέντρα από τα τετράγωνα που οι πλευρές πέφτουν μέσα στο χρωματισμένο τετράγωνο
και για τα τετράγωνα πλευράς

είναι

για τα τετράγωνα πλευράς

είναι

,
πλευράς

είναι

,πλευράς

είναι

,πλευράς

είναι

πλευράς

είναι

και τα τετράγωνα πλευράς 7,8,9

δεν πέφτουν στο χρωματισμένο
Αρα σχηματίζονται 285-9-16-25-26-16-4=189

Δεν γνωρίζω αν είναι σωστό κύριε Σωτήρη και σίγουρα υπάρχει κάτι απλό
Υ.Γ Ευχαριστώ τον κύριο Σωτήρη για την επισήμανση, ξέχασα να προσθέσω το χρωματισμένο τετράγωνο άρα μας κάνουν 189+1=190

Πολύ πονηρή άσκηση

T-Rex · #5

Πρόβλημα 2

(α) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{4}{\left(2k+1\right)^2-1}}$
(β) Αν $\displaystyle{S=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{49}+...+\dfrac{1}{2015^2}}$ , να δείξετε ότι: $\displaystyle{S<\dfrac{1}{4}}$

((α) $\frac{4}{(2k+1)^{2}-1}=\frac{4}{(2k+1-1).(2k+1+1)}=\frac{4}{4k^{2}+4k}=\frac{1}{k.(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$
(β) $\frac{4}{2015^{2}}\prec \frac{4}{2015^{2}-1}=\frac{1}{1007}-\frac{1}{1008}$
$\frac{4}{5^{2}}\prec \frac{4}{5^{2}-1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$\frac{4}{3^{2}}\prec \frac{4}{3^{2}-1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$
Αν τα προσθέσουμε κατά μέλη
$4S\prec 1-\frac{1}{1008}\Leftrightarrow 4S\prec 1\Leftrightarrow S\prec \frac{1}{4}$

#6

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 5

Στο τετράγωνο $\displaystyle{ABCD}$ το $\displaystyle{E}$ είναι σημείο στην πλευρά $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{F}$ σημείο στην $\displaystyle{CD}$ τέτοια, ώστε όταν διπλωθεί το τετράγωνο κατά μήκος της $\displaystyle{EF}$ , η νέα θέση $\displaystyle{A'}$ του $\displaystyle{A}$ να βρίσκεται στην $\displaystyle{BC}$ . Αν $\displaystyle{D'}$ δηλώνει τη νέα θεση του $\displaystyle{D}$ και το $\displaystyle{Z}$ είναι το σημείο τομής της $\displaystyle{CF}$ και $\displaystyle{A'D'}$ , να δείξετε ότι: $\displaystyle{A'E+FZ=A'Z}$

IMC3.png

Επαναφορά!

#7

socrates έγραψε:
Soteris έγραψε:Πρόβλημα 5

Στο τετράγωνο $\displaystyle{ABCD}$ το $\displaystyle{E}$ είναι σημείο στην πλευρά $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{F}$ σημείο στην $\displaystyle{CD}$ τέτοια, ώστε όταν διπλωθεί το τετράγωνο κατά μήκος της $\displaystyle{EF}$ , η νέα θέση $\displaystyle{A'}$ του $\displaystyle{A}$ να βρίσκεται στην $\displaystyle{BC}$ . Αν $\displaystyle{D'}$ δηλώνει τη νέα θεση του $\displaystyle{D}$ και το $\displaystyle{Z}$ είναι το σημείο τομής της $\displaystyle{CF}$ και $\displaystyle{A'D'}$ , να δείξετε ότι: $\displaystyle{A'E+FZ=A'Z}$

Το συνημμένο IMC3.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Επαναφορά!

Καλησπέρα!

Λόγω συμμετρίας είναι AE=A'E, DF=D'F

και η

είναι μεσοκάθετος της AA'

. Φέρνω

(

σημείο της

). Από το παραλληλόγραμμο EBHF

είναι

.

Τα τρίγωνα ABA', BHC

είναι ίσα (είναι ορθογώνια, AB=BC

και $\hat{BAA'}=\hat{CBH}$ , ως οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες ). Άρα, $\displaystyle{BA' = CH \Leftrightarrow A'C = HD = HF + FD \Leftrightarrow }$ $\boxed{A'C=BE+FD}$ (1)

: IMC stage III 2015.png (14.3 KiB) Προβλήθηκε 1649 φορές

Τα τρίγωνα FD'Z, ZCA'

είναι όμοια: $\displaystyle{\frac{{FD'}}{{A'C}} = \frac{{FZ}}{{A'Z}} \Leftrightarrow \frac{{FD}}{{A'C}} = \frac{{FZ}}{{A'Z}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{FZ = \frac{{FD \cdot A'Z}}{{A'C}}}$ (2)

Τα τρίγωνα A'ZC, EBA'

είναι επίσης όμοια: $\displaystyle{\frac{{A'E}}{{A'Z}} = \frac{{BE}}{{A'C}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{A'E = \frac{{A'Z \cdot BE}}{{A'C}}}$ (3)

Mε πρόσθεση των (2), (3)

κατά μέλη: $\displaystyle{A'E + FZ = \frac{{A'Z(BE + FD)}}{{A'C}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{A'Z \cdot A'C}}{{A'C}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{A'E+FZ=A'Z}$

christodoulos703 · #8

Θα μπορούσε να μου εξηγήσει κάποιος τι επιπέδου είναι ο IMC/Stage;

Κατερινόπουλος Νικόλας · #9

christodoulos703 έγραψε:Θα μπορούσε να μου εξηγήσει κάποιος τι επιπέδου είναι ο IMC/Stage;

Δημοτικού. Υπάρχει κι άλλος ένας με παρόμοιο όνομα, αλλά είναι για φοιτητές.

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Μέλη σε σύνδεση