Γεωμετρικός τόπος με δύναμη

[george visvikis]

Γεωμετρικός τόπος με δύναμη.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Δίνεται κύκλος , ένα σταθερό σημείο εκτός αυτού, και η εφαπτομένη του κύκλου σε ένα σταθερό σημείο του . Από το σημείο φέρνουμε μεταβλητή ευθεία που τέμνει την εφαπτομένη στο σημείο και στην προέκταση της παίρνουμε ένα σημείο , ώστε το γινόμενο να είναι ίσο με τη δύναμη του ως προς τον κύκλο . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου .

[S.E.Louridas]

Γιώργο γεια και χαρά.

Αν δεν έχω παραβλέψει κάτι, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το αντίστροφο της ευθείας κέντρου και λόγου αντιστροφής που είναι κύκλος.

[Doloros]

Το συνημμένο Γεωμετρικός τόπος με δύναμη.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Δίνεται κύκλος , ένα σταθερό σημείο εκτός αυτού, και η εφαπτομένη του κύκλου σε ένα σταθερό σημείο του . Από το σημείο φέρνουμε μεταβλητή ευθεία που τέμνει την εφαπτομένη στο σημείο και στην προέκταση της παίρνουμε ένα σημείο , ώστε το γινόμενο να είναι ίσο με τη δύναμη του ως προς τον κύκλο . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου .

Καλησπέρα σε όλους.

Γεωμετρικός τόπος με δύναμη_1.png (34.25 KiB) Προβλήθηκε 501 φορές

Ας δούμε την κατασκευή της ωραίας λύσης του Σωτήρη .

Φέρνουμε την και τέμνει τον κύκλο και στο . Γράφουμε ημικύκλιο με διάμετρο το και υψώνουμε κάθετο στο σ αυτή ( την ).

Η κάθετος αυτή τέμνει το ημικύκλιο στο αν θα είναι δηλαδή την δύναμη του σημείου ως προς τον κύκλο .

Κατά την αντιστροφή της ευθείας με πόλο το και δύναμη αντιστροφής ο κύκλος αντιστροφής είναι ο που τέμνει την ευθεία στα σημεία .

.Αν η κάθετη από το στην την τμήσει στο σταθερό και το σταθερό σημείο στην σταθερή ευθεία για το οποίο ,

ο κύκλος διαμέτρου είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος διέρχεται δε από τα , οπότε κατασκευάζεται (απ’ ευθείας) ως ο περίκυκλος του σταθερού τριγώνου .

Αν τυχαία ευθεία δια του τμήσει την στο και τον προαναφερθέντα κύκλο στο θα είναι αφού το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο .

Φιλικά Νίκος

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Δίνεται κύκλος , ένα σταθερό σημείο εκτός αυτού, και η εφαπτομένη του κύκλου σε ένα σταθερό σημείο του . Από το σημείο φέρνουμε μεταβλητή ευθεία που τέμνει την εφαπτομένη στο σημείο και στην προέκταση της παίρνουμε ένα σημείο , ώστε το γινόμενο να είναι ίσο με τη δύναμη του ως προς τον κύκλο . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου .

Αν τότε από εγγράψιμο

οπότε ανήκει σε κύκλο σταθερής χορδής που δέχεται σταθερή γωνία ή

Στάθης

[george visvikis]

Καλό μεσημέρι σε όλους.

Σας ευχαριστώ όλους για την ενασχόλησή σας με το θέμα.
Η λύση μου είναι ίδια με του Στάθη. Να επισημάνω μόνο ότι ο κύκλος του γεωμετρικού τόπου εφάπτεται του κύκλου .

Γεωμετρικός τόπος με δύναμη.ΙΙ.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

Πράγματι, αν η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει τη στο , τότε: . Άρα η εφάπτεται και στον άλλο κύκλο, οπότε και οι κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους.