Νέος μιγαδικός

KARKAR · #1

: Σημείο του μιγαδικού επιπέδου.png (29.27 KiB) Προβλήθηκε 1122 φορές

Τα σημεία A , B

του μοναδιαίου κύκλου , είναι οι εικόνες των μιγαδικών

και

. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου στα σημεία αυτά τέμνονται στο σημείο

, το οποίο θεωρούμε εικόνα του μιγαδικού

.

Μπορούμε , άραγε , να εκφράσουμε το μιγαδικό

, ως συνάρτηση των z , w

?

Αν αυτό φαντάζει δύσκολο , δώστε συντεταγμένες στα σημεία και "πλαγιοκοπήστε" το θέμα

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε:
Σημείο του μιγαδικού επιπέδου.png
Τα σημεία του μοναδιαίου κύκλου , είναι οι εικόνες των μιγαδικών και . Οι εφαπτόμενες

του κύκλου στα σημεία αυτά τέμνονται στο σημείο , το οποίο θεωρούμε εικόνα του μιγαδικού .

Μπορούμε , άραγε , να εκφράσουμε το μιγαδικό , ως συνάρτηση των ?

Αν αυτό φαντάζει δύσκολο , δώστε συντεταγμένες στα σημεία και "πλαγιοκοπήστε" το θέμα

Καλημερα

Ισχύουν οι σχέσεις $\left|s \right|^{2}=1+\left|z-s \right|^{2},(*) \left|s \right|^{2}=1+\left|w-s \right|^{2},(**)$

Ακόμη οι εικόνες των μιγαδικών z,w

βρίσκονται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο δηλαδή

$\bar{z}z=1,\bar{w}w=1$

Oι σχέσεις (*),(**)

μετασχηματίζονται

$s\bar{z}+z\bar{s}=2 s\bar{w}+w\bar{s}=2$

Mε απαλοιφεί του συζυγή του s έχουμε

$s=\dfrac{2z-2w}{z\bar{w}-w\bar{z}}\Leftrightarrow s=\dfrac{2zw}{z+w}$

...με τους περιορισμούς για τον παρονομαστή

φιλικά Γιάννης

#3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Σημείο του μιγαδικού επιπέδου.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Τα σημεία του μοναδιαίου κύκλου , είναι οι εικόνες των μιγαδικών και . Οι εφαπτόμενες

του κύκλου στα σημεία αυτά τέμνονται στο σημείο , το οποίο θεωρούμε εικόνα του μιγαδικού .

Μπορούμε , άραγε , να εκφράσουμε το μιγαδικό , ως συνάρτηση των ?

Αν αυτό φαντάζει δύσκολο , δώστε συντεταγμένες στα σημεία και "πλαγιοκοπήστε" το θέμα

Καλησπέρα.

Έστω z=a+bi,w=k+mi, s=x+yi

. Είναι:

, απ' όπου λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε:

$\displaystyle{s = \frac{{m - b}}{{ma - kb}} + \frac{{a - k}}{{ma - kb}}i = \frac{{(m - b)i + k - a}}{{(ma - kb)i}} = 2\frac{{w - z}}{{\overline z w - z\overline w }}}$

$\displaystyle{s = \frac{{2wz(w - z)}}{{{w^2}z\overline z - {z^2}w\overline w }} = \frac{{2wz(w - z)}}{{(w - z)(w + z)}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{s = \frac{{2zw}}{{z + w}},z \ne \pm w}$

: Νέος μιγαδικός.png (11.45 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές

#4

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Σημείο του μιγαδικού επιπέδου.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Τα σημεία του μοναδιαίου κύκλου , είναι οι εικόνες των μιγαδικών και . Οι εφαπτόμενες

του κύκλου στα σημεία αυτά τέμνονται στο σημείο , το οποίο θεωρούμε εικόνα του μιγαδικού .

Μπορούμε , άραγε , να εκφράσουμε το μιγαδικό , ως συνάρτηση των ?

Αν αυτό φαντάζει δύσκολο , δώστε συντεταγμένες στα σημεία και "πλαγιοκοπήστε" το θέμα

: Μιγαδικός karkar_1.png (17.96 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής των $OS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ . Τότε για τον μιγαδικό

που έχει εικόνα το

ισχύει : $\boxed{g = \frac{{z + w}}{2}}$ .

Αν

το συμμετρικό του

ως προς τον οριζόντιο άξονα και

ο μιγαδικός που έχει εικόνα το

θα ισχύει : $\boxed{t = \overline g = \frac{{\overline {z + w} }}{2}}$ .

Όμως $O{A^2} = OG \cdot OS \Rightarrow |g| = \dfrac{1}{{|s|}}$ , αλλά το όρισμα του

είναι αντίθετο του ορίσματος του

και άρα $\boxed{t = {s^{ - 1}}}$ συνεπώς $s = \dfrac{1}{t} \Rightarrow \boxed{s = \dfrac{2}{{\overline {z + w} }}}$ με $s + w \ne 0$ .

Η απάντηση είναι κατ’ ουσία η ίδια αυτή των Γιάννη και Γιώργου .

Φιλικά Νίκος

#5

Τα $\displaystyle{S,G}$ είναι συμμετρικά ως προς τον κύκλο κάτοπτρο στην υπερβολική γεωμετρία

Νέος μιγαδικός

Νέος μιγαδικός

Re: Νέος μιγαδικός

Re: Νέος μιγαδικός

Re: Νέος μιγαδικός

Re: Νέος μιγαδικός

Μέλη σε σύνδεση